专题一二次根式【知识点1】二次根式的概念：一般地，我们把形如.a _0（a 一0）的式子叫做二次根式。
二次根式的实质是一个非负数数a的算数平方根。
【注】二次根式的概念有两个要点：一是从形式上看，应含有二次根号；二是被开方数的取值范围有限制：被开方数a必须是非负数。
例 1 下列各式1）L；,2）.飞,3） - -X22,4）、一4,5）L（-；）2,6）.,口,7）, a2—2a 1，其中是二次根式的是_________ （填序号）.例2使，x +“ ；x-2有意义的x的取值范围是（）A ,x > 0B ,x 丰 2 C.x>2 D ,x > 0 且 2.[来源：学*科* 网Z*X*X*K]例 3 若y= .、X -5 + _ 5 -X +2009，则x+y= ______________练习1使代数式有意义的x的取值范围是（）x —4A 、x>3B x> 3C x>4 D、x >3 且x丰4练习2若x —1 - .1—x = （x y），则x —y 的值为（）A. —1 B . 1 C . 2 D . 3例 4 若a—2|+5/^5 =0,贝U a2—b= ____________________ 。
例5 在实数的范围内分解因式：X4 - 4X 2 + 4= ________ ___________例6 若a、b为正实数，下列等式中一定成立的是（）：A、诟+ 品=^a2+b2;B、寸（a2+b2）2=a2+b2；C、（ .a + . b ）2= a2+b2;D、. （a—b）2=a—b;【知识点2】二次根式的性质：（1）二次根式的非负性，■. a 一0（a 一0）的最小值是0;也就是说=（「：—•）是一个非负数，即二二0注：因为二次根式=（，二I）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数, 0的算术平方根是0,所以非负数（一丨）的算术平方根是非负数，即=上0 （一;二I ）,这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类 似。
这个性质在解答题目时应用较多，如若 心丁心：-卩，则a=O,b=O ;若;;，'■; _ v ，则 a=O,b=O ;若上；，贝U a=O,b=O 。
（2） •^「-上（匚二丨）文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平 方等于这个非负数。
(3)文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
注：1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数 a 是正数还是负数，若是正 数或O ，则等于a 本身，即：is ，;若a 是负数，则等于a 的相反数 -a,即存二同二认<0）； 2、J 中的a 的取值范围可以是任意实数，即不论a 取何值，J 一定有意义; 3、化简 Q 时，先将它化成a ，再根据绝对值的意义来进行化简。
（4）与J 「的异同点不同点：与匕' 表示的意义是不同的， 表示一个正数a 的算术平方根的平方，而二 表示一个实数a 的平方的算术平方根；在中-;二-上面的公式也可以反过来应用：若■■- - 1，则，.，如：.<■ '''，: \注：二次根式的性质公式 匸「一匸（「： _ I ）是逆用平方根的定义得出的结论。
\^"=匕|二〈—<1 0)而魚U , J 「茸。
因而它的运算的结果是有差别的-11'，~ct 0）二」时，*•：「= { ■； - .11 时，丄」无• ■. a 2 = . (_a)2 >- a 2 B .、a 2 > . (_a)2 >- . a 2.a 2 < . (_a)2 <- ■. a 2D . - . a 2 八 a 2 = .. (_a)20<x v 1，^y J (X _[)2+4 _ J (X +£)2 _4 等于L 中a 可以是正实数，0，负实数。
但与'I 都是非负数，即 相同点：当被开方数都是非负数, a 、b 、c 为三角形的三条边，则..(a b -c)把(2-x) J —?的根号外的（2-x ）适当变形后移入根号内，得（）A 、- • 2 - x D 、- x - 2 a 010 11 12 13若二次根式、、-2x 6有意义，化简|x-4 | - | 7-x |。
已知x 、y 是实数，且满足 y= x —6 +飞［6— x +1试求9x —2y 的值 若实数a 满足.a? +a=0,则有（ A. a>0 B . a > 0 下列命题中，正确的是（A .若 a>b ，则• . a > • b C.若 |a|=（ b ） 2，贝U a=b . 24n 是整数，则正整数 n )C ) B D的最小值是a<0 D . a < 0a >a ，则 a>0 a 2=b ，贝U a 是b 的平方根 B 、5;、6;D 、 7.14 实数a 、 b 在数轴上的位置如图所示，那么a -b - • a 2的结果是什么?15 161 — 1a 7 ,则 a -aa> 0时，•一 a 2 、 、. （-a ）2、- •、a 2，比较它们的结果，下面四个选项中正确已知已知 172 2(A) (B)—(C)—2x (D) 2xx x1 2 1 2 1 2 1 2【提示】(x—) + 4= (x + ) , (x+ ) —4= (x —).又； O v x v 1,x x x x1 1••• x + >0, x —v 0 .【答案】D.x x【点评】本题考查完全平方公式和二次根式的性质. (A)不正确是因为用性质时没有注1意当O v x v 1 时，x—v0.x练习3 若|1 —x| —x2—8x+16 = 2x —5,则x的取值范围是( )A x>1 B. x<4 C . 1 < x < 4 D .以上都不对练习4若X兰0时，贝U 1 _ x|—j x2 = ______练习5若y = J3x — 6 + J6 — 3x + x3，则10x + 2y的平方根为 _____________练习6 若x = -3，则1-J(1+x f等于( )A.1 ; B 、—1 ; C 、3; D 、一3练习7已知X =号,化简J(x -2 )2+|x — 4|的结果是 ______________________练习8 若x2 - 3 • , 3 - x2• 2 = y 试求x y的值。
练习9 已知2x -1 • ...1 -2x = 2a • 4，求a的值。
练习10 若x -y ■ y2-4y ■ 4 = 0，求xy 的值专题二二次根式的乘除【知识点1】二次根式的乘法法则：、-a " f；ab(a 一0,b 一0)。
得出：二次根式相乘，把被开方数相乘，而根号不变。
将上面的公式逆向运用可得:••、ab =、..a「b(a —0,b 一0)积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的例 1 化简：(1) J64x2y3(x > 0, y > 0) = _________(2)a2b4 a4b2 (a > 0,(3)(4) (a-1)练习1化简二次根式【知识点2】二次根式的除法： (1) 一般地，对于二次根式的除法规定a(a —0,b ・0).商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式；b,'7a的算木平万根即、b :(a 一 0,b 0). ■- b【注】分母有理化二次根式的除法运算，通常是采用化去分母中的根号的方法来进行的。
分母有理化:(1) 定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化 (2) 关键：A. -5 3B. 5.3例2下列各式中不成立的是()A. Jd)=2x_ p 5T 54 c. ji —1 ： =——1 =——Y 19 丿 99练习2 下列各式中化简正确的是(A .、ab2二abc. 94 込二32乂小例3计算：c. _5、、3D. 30B. 一 402 一 242 二64一16 二32D. (.、6 、.2)(、、6 一 ,2^4) B.2 4. 、5ab 4 b 4 二 b 2、、5a 1例 4 若 b>0, x<0,化简：_ x 3b、、a把分子、分母都乘以一个适当的式子，化去分母中的根号。
例 5 J2+J 3的有理化因式是 ______________ ； x- jy 的有理化因式是______________- JE-丁口的有理化因式是 ___________________ .例6若.6 _4 2的整数部分为a ,小数部分为b 。
求a 2的值b练习3已知.11-1的整数部分为a ,小数部分为b ,试求,11 a iib 1的值⑶-3代尹一 2厅上（a>0）【知识点3】同类二次根式：（1）被开放数不含分母；（2）被开放数中不含开得尽方的因数或因式。
例8下列二次根式中，最简二次根式是（）（A ） '.12（B ） .... xy（C ） ,, 3（ D ） ■ 4a 3b 2例9已知xy ，化简二次根式x J^的正确结果为 ___________________ .例 10 设 a= 3 -2 , b=2 - 3 , c= • 5 - 2，则 a 、b 、c 的大小关系是 __________________________练习4如果、x （ y>0 ）是二次根式，化为最简二次根式是（）.(-1m例7）十(m>0 n>0)AX ——•亠(y>0) B • xy (y>0) C y.jxyy（y>0） D .以上都不对练习5化简二次根式a a22的结果是V aA、... -a -2B、-旺二a — 2 C 、..a「2 D 、- . a - 2练习6下列二次根式中，最简二次根式是（）A. a 1 r 2一彳{ 2— C..4ab;2.D. . a b专题三二次根式的加减【知识点1】同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式。
同类二次根式与同类项的异同：一.相同点：1. 两者都是两个代数式间的一种关系。
同类项是两个单项间的关系，字母及相同字母的指数都相同的项；同类二次根式是两个二次根式间的关系，指化成最简二次根式后被开方数相同的二次根式。
2. 两者都能合并，而且合并法则相同。
我们如果把最简二次根式的根号部分看做是同类项的字母及指数部分，把根号外的因式看做是同类项的系数部分，那么同类二次根式的合并法则与同类项的合并法则相同，即“同类二次根式（或同类项）相加减，根式（字母）不变，系数相加减”。