x
2 dx
−
4∫
xdx
+
4∫
dx
=
1 3
x
3
−
2x
2
+
4x
+C
.
(11) ∫ (x2 + 1)2 dx ;
解
∫
(
x
2
+1)
2
dx
=
∫
(
x
4
+
2
x
2
+1)dx
=
∫
x
4
dx
+
2∫
x
2
dx
+
∫
dx
=
1 5
x
5
+
2 3
x
3
+
x
+
C
.
(12) ∫ ( x +1)( x3 −1)dx ;
1
3
解 ∫ ( x +1)( x3 −1)dx = ∫ (x 2 − x + x3 −1)dx = ∫ x 2dx − ∫ x 2 dx + ∫ x 2 dx − ∫ dx
dx =
∫
−1
x2
dx =
−
1 1 +1
− 1 +1
x2
+C
=2
x +C .
2
(4) ∫ x 2 3 xdx ;
解
∫x23
7
xdx = ∫ x 3 dx =
1
7 +1
x3
+C =
3
7 +1
10
x33
x +C
.
3
(5)
∫
1 x2
x
dx
;
解
∫
1 x2
x
dx
=
∫
x
−
5 2
dx
=
−
1 5 +1
x
−
5 2
+1
(5) xdx= d (1− x 2 ) ;
解 xdx = − 1 d (1− x 2 ) . 2
(6)x3dx= d(3x4−2); 解x3dx= 1 d(3x4−2).
12 (7)e 2x dx= d(e2x);
解e 2x dx= 1 d(e2x). 2
(8)
e
−
x 2
dx
=
d
(1+
e
−
x 2
)
+1
dx
=
∫
(3x
2
+
x
1 )dx 2 +1
=
x3
+
arctan
x
+
C
.
(15)
∫
x 1+
2
x
2
dx
;
解
∫
x 1+
2
x
2
dx = ∫
x 2 +1−1 1+ x 2
dx
=
∫
(1−
1 1+ x
2
)dx = x −arctan x +C
.
(16)
∫
(2e
x
+
3 x
)dx
;
解
∫
(2e
x
+
3 x
)dx
=
2∫
e
;
解
e
−
x 2
dx
=
−2
d
(1+
e
−
x 2
)
.
(9) sin 3 xdx = d (cos 3 x) ;
2
2
解 sin 3 xdx = − 2 d (cos 3 x) .
2
3
2
(10) dx = d (5ln| x|) ; x
解 dx = 1 d (5ln| x|) . x5
(11) dx = d (3−5ln|x|) ; x
=
∫
ln
x
1 ln
ln
x
d
ln
x
=
∫
ln
1 ln
x
d
ln
ln
x
=
ln|ln
ln
x|+C
.
(9) ∫ tan 1+ x 2 ⋅ x dx ;
1+ x 2
解 ∫ tan 1+ x2 ⋅
x
dx = ∫ tan
1+ x 2 d
1+ x 2 = ∫ sin
1+ x 2 d
1+ x 2
1+ x2
cos 1+ x 2
−
1 3
d
(2
−
3x)
=
−
1
⋅
3
(2
−
3x)
2 3
32
+
C
=
−
1
(2
−
3x)
2 3
2
+C
.
x
(5) ∫(sinax−e b )dx ;
解
∫(sin ax−e
x b
)dx =
1 a
∫ sin
axd (ax) − b∫ e
x b
d( x)=− b
1 a
cos ax − be
x b
+C
.
(6) ∫ sin t dt ;
dx
=∫
e x dx = e2x +1
∫
1 1+ e
2
x
de x
= arctane x
+C
.
(12) ∫ xe−x2 dx ;
解
∫
xe −x2
dx =−
1 2
∫e−x2
d (− x 2
)=−
1 2
e−x2
+C.
(13) ∫ x⋅cos( x2 )dx ;
解
∫
x⋅cos(x2)dx
=
1 2
∫
cos(x2)d(x2) =
+
C
=
−
3 2
⋅
x
1
x
+C
.
2
(6) ∫ m x n dx ;
解
∫m
n
x n dx = ∫ x m dx =
1
n +1
xm +C=
m
n +1
n+m
m+n
xm
+C
.
m
(7) ∫5x3dx ;
解
∫
5x
3 dx
=5∫
x 3 dx
=
5 4
x
4
+C
.
(8) ∫(x 2 −3x+ 2)dx ;
解
∫
(
x
2
−3x
+
(22)
∫
cos
2
x 2
dx
;
解
∫ cos 2
x 2
dx
=
∫
1+
cos 2
x
dx =
1 2
∫ (1+ cos
x)dx =
1 2
(x +sin
x)+C
.
(23)
∫
1+
1 cos
2x
dx
;
解
∫
1+
1 cos
2x
dx
=
∫
2
1 cos
2
x
dx
=
1 2
tan
x
+
C
.
(24)
∫
cos 2x cos x − sin
1 2
sin(x2) +C
.
(14) ∫ x dx ;
2 −3x 2
解∫
x 2 −3x 2
dx
=
−
1 6
∫
(2
−
3x
2
)
−
1 2
d
(2
−
3x
2
)
=
−
1 3
(2
−
3x
2
)
1 2
+C =− 1 3
2−3x2 +C .
(15)
∫
3x 3 1− x 4
dx
;
解
∫
3x3 1− x 4
dx = −
3 4
∫
1 1− x
=
∫[2
−
5(
2 3
)
x
]dx
=2xFra bibliotek−5
(2 3 ln
)x 2
+C =2x−
5 (2)x ln 2−ln3 3
+C
.
3
(21) ∫sec x(sec x− tan x)dx ;
解 ∫secx(secx−tan x)dx = ∫(sec2 x−secxtan x)dx = tan x−secx+C .
2)dx
=
∫
x
2
dx
−
3∫
xdx
+
2∫
dx
=
1 3
x
3
−
3 2
x