导读
本<四维几何基础知识>系列文章一共有五章,分别为:
第一章名词术语和简单的夬
第二章位置关系
第三章投影
第四章面轴
第五章曲体
这是其中的一章.如果您对其他章节感兴趣,请在百度文库中查找,或光临本人的微博: “四维几何基础知识”,里面有打包下载的更新链接.
在本系列文章中,有个非常重要的问题要说明,那就是”多胞体”这个名称用”夬(jué)”字暂代了,例如:五胞体→五体夬,正八胞体→正方夬,超球体→圆夬.其原因已在<前言>中说明,在此不再重复.
感谢您的关注,希望<四维几何基础知识>系列文章能够为您的学业有所帮助.
作者
四维几何基础知识(201802第一次更新)
第二章位置关系
一>低维理论的升级
下面是一些关于四维几何的公设,这些公设若要证明是非常复杂,但基于我们通常的数学认知,可以认为这些公设是正确的.
1>在四维空间中,一条不与立体空间平行的直线,与此空间有且只有一个交
点.
2>在四维空间中,不与立体空间平行的平面,与此空间相交于一条直线.
3>在四维空间中,两个互不平行的立体空间,相交于一个平面.
4>在四维空间中,若立体A平行于立体B, 立体B平行于立体C,则立体A平
行于立体C.
5>在四维空间中,若直线a垂直于立体V, 直线b也垂直于立体V,则直线a
平行于直线b.
…………………
其实我们之前学习的二维和三维的几何理论,大部分在四维空间中都是适用的.在这里先例举一些,希望能够达到举一反三的效果.
二>平行
三维几何中平行的概念只包含直线和平面,在四维几何中平行概念得以进一步扩充,本节讨论直线与立体平行,平面与立体平行,立体与立体平行.
1>
在四维空间中,一条与参照立体空间平行的直线,与此空间是没有交点的.这条直线上的任意一点,到参照立体空间的距离都相等.
设直线a平行于立体空间O-XYZ,在直线a上任取两点,作垂直于参照空间的垂线与空间相交于两点,连接此两点形成直线b,则直线a平行于直线b.
在参照立体空间内,任何平行于直线b的直线都平行于直线b在空间外的平行直线a.
在参照立体空间内,任何平行于直线b的平面都平行于直线b在空间外的平行直线a.图一(1)
2>
在四维空间中,与参照立体空间平行的平面,与此空间没有相交线.平面上的任意一点,到参照立体空间的距离都相等.
设平面S1平行于立体空间O-XYZ,则平面S1内任意直线皆平行于立体空间O-XYZ.
在平面S1上任取三点,作垂直于参照空间的垂线与空间相交于三个交点,过此三
交点作一平面S2,则平面S2平行于平面S1.
在参照立体空间内,任何平行于平面S2的直线都平行于平面S2在空间外的平行平面S1.
在参照立体空间内,任何平行于平面S2的平面都平行于平面S2在空间外的平行平面S1. .图一(2)
3>
在四维空间中,与参照立体空间平行的立体,与此空间没有相交面. 立体上的任意一点,到参照立体空间的距离都相等.
设立体V1平行于立体空间O-XYZ,则立体V1内任意直线或平面皆平行于立体空间O-XYZ, 空间O-XYZ内任意直线或平面也平行于立体V1.
在之后的章节,以上概念和推论将直接应用,不会再作相应的叙述.
三>相交
本节讨论四维空间中三种相交状况:直线与立体相交,平面与立体相交,立体与立体相交
1>
直线与立体相交,有且只有一个交点.
在四维空间中有一直线AP与立体空间O-XYZ相交于点P,过点A作垂线垂直于空间O-XYZ且与空间相交于点B,连接PB,则∠APB是直线AP与空间O-XYZ 的夹角.
特殊情况,当∠APB等于90度时, 直线AP垂直于立体空间O-XYZ,同时也垂直于此空间内所有的直线和平面.
在立体空间O-XYZ内,过点P作平面S垂直于PB,则直线AP也垂直于平面S. 图二(1)
2>
平面与立体相交于一条直线.
在四维空间中有一平面S1与立体空间O-XYZ相交于直线L,在平面S1上任取一点A作垂线垂直于直线L且与L相交于点P, 过点A作垂线垂直于空间O-XYZ 且与空间相交于点B,连接PB,则∠APB是平面S1与空间O-XYZ的夹角.
当∠APB等于90度时, 平面S1垂直于立体空间O-XYZ.
在立体空间O-XYZ内,过直线L作平面S垂直于PB,则平面S1也垂直于平面S. 图二(2)
3>
立体与立体相交于一个平面.
在四维空间中有一立体V1与立体空间O-XYZ相交于平面S,在立体V1内任取一点A作垂线垂直于平面S且与S相交于点P, 过点A作垂线垂直于空间O-XYZ 且与空间相交于点B,连接PB,则PB垂直于平面S,∠APB是立体V1与空间O-XYZ的夹角.
当∠APB等于90度时, 立体V1垂直于立体空间O-XYZ.
例一:求正五体夬表体之间的夹角.
答:图三是一个正五体夬,设棱长L=1.它的表体是五个正四面体,选取其中两个四面体:O-ABC和D-ABC.可见这两个表体有公共面即三角形ABC. 三角形ABC是等边三角形,选取其中心点P,连接DP和OP,则DP垂直于三角形ABC, OP也垂直于三角形ABC, ∠OPD就是两表体之间的夹角.
不难求得DP=OP=(√6)/3,OD=1,代入余弦定理得: ∠OPD=arccos(1/4)
例二: 图四是一个四维坐标系,在底空间中有直线a,b,c,在此空间之外有四面体D-ABC,其中棱AC平行于直线a, 棱AD平行于直线b, 棱BC平行于直线c,这三条棱不在同一平面上.求证四面体D-ABC平行于底空间.(图四1)
证明:首先采用反证法,假设”四面体D-ABC的棱AC不平行于底空间”.延长棱AC 使其与底空间相交于点M,在底空间内,过点M作直线MN平行于直线a,按照四维空间的平行定义, 直线MN必平行于直线a的平行线AC,但事实上直线MN与棱AC的延长线相交,所以”棱AC不平行于底空间”不成立,即棱AC平行于底空间.(图四2)
同理可证棱AD,棱BC也平行于底空间.
在四面体D-ABC中有三角形的两边AC,BC平行于底空间Z,则三角形ABC平行于底空间.设三角形ABC与底空间的距离为d,因为棱AD平行于底空间,所以棱AD到底空间的距离也为d.
将三角形ABC作为参照底面,把四面体D-ABC分解成无数个平行于三角形ABC 的三角面,每一个三角面都与棱AD相交.取其中任意一个三角形面A’B’C’,点A’在棱AD上,所以点A’到底空间的距离为d,因为三角形面A’B’C’平行于三角形ABC也平行于底空间,所以三角形面A’B’C’到底空间的距离也为d,这样就可以证
得四面体D-ABC内所有的点到底空间的距离均为d,原题得证.
例三: 求正方夬中,对角体,对角面,对角线与底体的夹角. (图五)
答:
1>从图五(左)中看到,对角体与底体相交于面OABC,对角体是一个长方体,所以
DO⊥面OABC,在底体中, EO⊥面OABC,所以∠DOE等于对角体与底体的夹角,它的值是π/4.
2>图五(中)中对角面与底体相交于棱OA,对角面为长方形, 所以FO⊥OA,因为
FP垂直于底体交点为P,所以FP⊥OP, PO⊥OA, ∠FOP等于对角面与底体的夹角,它的值是arccos((√6)/3).
3>图五(右)中对角线GO与底体相交于点O, GH垂直于底体交点为H,所以∠
GOH等于对角线与底体的夹角,它的值是arccos((√3)/2)= π/6.
四>与圆夬的位置关系
1>相切
这个概念与圆的切线类似,在四维空间中有立体和圆夬相交于一点,定义为此立体与圆夬相切.图六(1)
连接圆夬心和相交点的线段,垂直于此立体(也可称之为切体).
2>相交
立体与圆夬相交,相交部分为一个圆球.若立体是有形状和边界的,则相交部分视实际条件来判定. 图六(2)
3>外接圆夬
外接圆夬的概念类似于立体的外接圆球.因为不在同一平面的四点可以确定一个圆球表面,在圆球外任取一点,和此圆球就可以确定一个圆夬,五体夬有五个顶点,可以推断任意的五体夬都有一个外接圆夬. 图七(1)
长方夬和正方夬也有外接圆夬,判断四维夬是否有外接圆夬的必要条件是,必须存在一个点,到此四维夬所有顶点的距离都相等.
4>内切圆夬
内切圆夬的概念类似于立体的内切圆球.已知任意的五体夬和正方夬都有内切圆夬.判断任意四维夬是否有内切圆夬的必要条件,是在此四维夬的内部必须存在一点,到此四维夬所有的表体的距离都相等. 图七(2)。