量纲分析和相似原理在流体力学的应用钟文车辆1003摘要：量纲分析法是研究较为复杂的自然现象中各物理量之间的关系及内在规律性的有效工具,也是相似理论的理论基础.量纲分析法的理论和应用,在科学研究和物理学领域中有着十分重要的地位.而对于设计制造复杂庞大的机械，往往要根据相似原理，进行模拟实验，将实验结果推广到同类型中，以相似原理为基础的模型试验方法在流体中有广发的应用。

关键词：量纲分析法；相似原理；流体力学；应用0 前言本文在充分研读[1] 《工程流体力学》（莫乃容）第九章节及相关书籍后，对量纲分析和相似原理有了一个深刻的认识，在对量纲分析和相似原理实际操作上做了一些范例，同时在了解的基础上继续做了一些实际的推广，将量纲分析的基本原理，相似原理引入相似结构大变形非线性动态响应分析。

对车身典型薄壁件进行了轴向冲击响应与压溃变形的相似分析，得到模型与原型之间的相似比，并进一步得出了由缩比模型预测相似模型碰撞响应。

实验可分为两类，即直接试验和模拟实验。

直接实验就是在所研究的对象即原型上直接进行实验，这种方法具有很大的局限性：实验结果只能用于特定的实验条件，或只能推广到与实验条件完全相同的现象上去：对于某些设备，由于实验条件的限制，如高温高压或者设备尺寸太大或者太小，都可能使实验难以进行；对于那些尚未建造的设备，如要设计一座新的水坝，则根本谈不上用实验方法探索其规律性；直接实验的方法不适用于大型设备的破坏性实验。

模拟实验即模化实验克服乐山直接实验的缺点，根据相似原理，按一定原则把流动实物原型缩小或放大，或者把复杂的、苛刻的工况条件转化为简单 的实验条件，或者更换为流体介质，把易燃、易爆、有毒、昂贵的流体介质更换为空气或水，制成模拟试验台，把模型试验台上测定流动参数，找出模型中流体的运动规律，然后将这些规律运用于与模型相似的各种实验设备上去。

用模型试验方法解决流体力学所依据的基本理论和方法是量纲分析和 相似原理。

1量纲分析1.1量纲和单位物理量单位的种类称为量纲，表示物理量的本质属性，用dim 表示。

一个物理量可以用不同的单位度量，但量纲却是唯一的。

例如长度、宽度、高度、厚度、深度都可以用米、英尺等长度单位来度量，但是它们的量纲都是长度量纲L 。

由于许多物理量的量纲之间都有一定的联系，在量纲分析时选少数几个物理量的量纲作为基本量纲，其他物理量的量纲都可以由这些基本量纲导出，称为导出量纲。

基本量纲是相互独立的，而不能由其他量纲的组合来表示，在工程流体力学中常用质量、长度、时间（M 、 L 、T ）作为基本量纲。

在一般的力学问题中，任意一个物理量B 的量纲都可以用M ， L ，T 这三个基本量纲的指数乘积来表示dim B =M αL βT γ在量纲分析中，有一些物理量的量纲为1 ，称为无量纲量，用M 0L 0T 0表示。

无量纲量就是一个数，但可以把它看成由几个物理量组合而成的综合表达。

例如雷诺相似准数的量纲dim Re = dim （υvl）=000121T L M T L L LT =--为一个无量纲的量。

为了区别于纯数，把无量纲量看成是由多个物理量组成的综合物理量更合适些，如我们应该把雷诺相似准数Re 看成由流速v 、特征尺度l 和流体运动粘度系数υ这三个物理量的综合表达，或者把它看成由流速v 、特征尺度l 、流体密度ρ和流体动力粘度系数υ这四个物理量的综合表达。

1.2量纲分析的概念与分析步骤量纲分析法主要用于分析物理现象中的未知规律，通过对有关的物理量作量纲幂次分析，将它们组合成无量纲形式的组合量，用无量纲参数之间的关系代替有量纲的物理量之间的关系，揭示物理量之间在量纲上的内在联系，降低变量数目，可以用于指导理论分析和实验研究。

量纲分析的步骤为：1. 列出所有与该物理现象有关的变量。

它取决于我们对流动过程的理解、观察和分析，对流动过程中的的重要变量要保留，而一些次要变量可以忽略；2. 将这些变量的量纲用基本量纲M ，L ，T 表示出来；3. 将变量组成由基本量纲M ，L ，T 表示的量纲一致的函数关系（通常为各变量指数乘积关系）；4. 将各量的量纲代入上面的函数关系；5. 利用函数关系式的量纲的一致性，对各基本量纲的指数列出代数方程，联立求解方程，将所得的指数代入函数中，得到函数的具体形式；1.3量纲分析的应用量纲分析方法中得到广泛应用的π定理（Buckingham 定理）π定理（Buckingham 定理）：对于某个流动现象或某个流动过程，如果存在有n 个变量互为函数关系f(a1,a2,a3......,an)=0而这些变量中含有m 个基本量纲，则可把这n 个有量纲的变量的函数关系转换成)(n-m)个无量纲量的函数关系F(π1,π2,π3,.......πn-m) =0上面这个函数关系式全部是无量纲量),πi=(1,2,3.....n-m)。

这个定理表达出了物理方程的明确的量间关系，并把方程中的变量数减少m 个，更主要的是，这个定理把流动现象或流动过程更概括地表示在此函数关系中。

[2]例题： 在水平等直径的圆管内流动的流体的压降p ∆与下列因素有关：管径d ，管长l ，管壁粗糙度∆，管内流体密度ρ，流体的动力粘度μ，以及断面平均流速v 等有关。

试用Π定理推出压降p ∆的表达式。

解：所求问题的函数关系表达式可以表示为0),,,,,,(=∆∆l d v p f μρ式中物理量的个数为 n=7， 采用基本量纲 M ，L ，T ，m=3，根据Π定理，这n 个物理量的关系式可以转换成（n-m ）=4个无量纲量的函数关系式0),,,(4321=ππππF从7个物理量中选出3个基本物理量ρ，v ，d ，这三个基本量的量纲中包含了M ，L ，T 这3个基本量纲，可以用它们组成4个无量纲量1111γβαρπd v l = 2222γβαρπd v ∆= 3333γβαμρπd v = 4444γβαρπd v p ∆= 其中i α，i β，i γ（为i=1，2，3）为待定系数。

写出各π数方程的量纲式000131111)()()(dim T L M L LT ML L ==--γβαπ000132222)()()(dim T L M L LT ML L ==--γβαπ00013113333)()()(dim T L M L LT ML T ML ==----γβαπ00013214444)()()(dim T L M L LT ML T ML ==----γβαπ根据量纲一致性原理由第一式解得M ：01=αL ：01=βT ：013111=+++-γβα由上式得到：01=α，01=β，11-=γ，因此d l /1=π根据量纲一致性原理由第二式解得M ：02=αL ：02=-βT ：013222=+++-γβα由上式得到：02=α，02=β，12-=γ，因此d /2∆=π同样可以解得Re13===vd d v υρμπ 24v p ρπ∆=因此无量纲π数表示的方程为0),Re 1,,(2=∆∆v p d d l F ρ 上式可以整理为Re),()Re 1,,(212d F d l d d l F vp ∆⋅=∆=∆ρ Re),(2Re),(224232dF g v d l d F g v d l p ∆⋅⋅=∆⋅⋅⋅=∆γ 令Re),(4dF ∆=λ，则 gv d l p 22⋅⋅=∆λγ 2相似原理2.1流体相似条件[3]流动相似条件是指保证流动相似的充要条件，模型实验必须遵循相似条件。

一共有三个相似条件：1）相似第一条件：相似的流动属于同一类流动，其运动微分方程必相同。

2）相似第二条件：单值条件相似。

3）相似第三条件：由单值条件中涉及的物理量组成的相似准则数相等2.2常见相似准则描写流体运动和受力关系的是流体运动微分方程（动力学方程）。

两个相似流动必须满足同一运动微分方程（N-S 方程）。

现分别写出模型流动和原型流动的不可压缩流体的运动微分方程标量形式第一式xp p pp p xp p xp zp p xp yp p xp xp p xpv x p f z v v y v v x v v t v ∆+∂∂-=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂υρ1xm m mm m xm m xm zm m xm ym m xm xm m xm v x p f z v v y v v x v v t v ∆+∂∂-=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂υρ1所有同类物理量均具有同一比例系数，因此有mf p m p p xm xp m p m t p zmv zp yxm v yp xm v xp m l p m l p m l p f f p p t t v v v v v v z z y y x x λλυλυρλρλλλλλλλυρ===========;;;;;;由对模型的和原型的两运动微分方程以及同类物理量有同一比例的关系并经对比可写出下式22lvl p g l v t v λλλλλλλλλλλυρ====上述5项分别表示单位质量的时变惯性力、位变惯性力、质量力、法向表面力-压力、切向表面力-摩擦力，因此上式就表示模型流动与原型流动的力多边形相似。

将上式中的位变惯性力⎥⎦⎤⎢⎣⎡l v λλ2除全式，可得vl v p v g l t v l λλλλλλλλλλλλυρ====221 上式中的各项表示模型流动和原型流动在动力相似时各比例系数之间有一个约束，并非各比例系数的数值可以随便取值。

对其进一步分析可以得到以下各相似准则（相似准数）：1. Re 数（雷诺数）Re 数以英国工程师雷诺（O.Reynolds ）命名，是流体力学中最重要的相似准则数，所有与粘性流动有关的模型实验都必须考虑Re 数。

Re 数是惯性力与粘性力之比μρVlRe =上式中 l 为物体特征长度，如对圆管流动取管直径，对钝体绕流取绕流截面的宽度； V 为特征速度，如对圆管流动取管内平均速度，对钝体绕流取来流速度等， ν为运动粘性系数。

2. Fr 数（弗劳德数）Fr 数以英国船舶设计师弗劳德（W.Froude ）命名。

当模拟具有自由液面的液体流动时，如水面船舶运动、明渠流动等， Fr 数是必须考虑的相似准则数。

Fr 数是惯性力与重力之比：gl V Fr ==重力惯性力上式中 l 为船舶或明渠的特征长度，对船舶取船长，对明渠取水深； V 为特征速度（ Fr 数对明渠流动的影响将在C3.9节中讨论）。

3. Eu 数（欧拉数）Eu 数以瑞士数学家欧拉（L.Euler ）命名。

当讨论流场中某点的特征压强或两点间的压强差时常用到 Eu 数。

Eu 数是压力或压差力与惯性力之比2V p Eu ρ==惯性力压力或2V p Eu ρ∆==惯性力压力差在描述压强差时 Eu 数常被称为压强系数，并表示为221p V pc ρ∆=当液体流动中局部压强 p 低于当地蒸汽压强v p 时会产生空化效应或气蚀，Eu 数被称为空泡数或空蚀系数，并表示为4. Sr 数（斯特劳哈尔数）Sr 数以德国物理学家斯特劳哈尔（V.Strouhal ）命名，他在研究风吹过金属丝发出鸣叫声时创立此数。