第二十一章一元二次方程21．1 一元二次方程预习检测1.一元二次方程必须同时具备的三个条件：①方程的两边都是；②方程中只含有个未知数；③未知数的最高次数是.2.一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理（去分母、去括号、移项、合并同类项等），都能化成,这种形式叫一元二次方程的一般形式.其中是二次项,是二次项系数；是一次项,是一次项系数；是常数项.问题思考1.下面的这些方程是一元二次方程吗？为什么？⑴0422=-+x x ； ⑵942=x ； ⑶3x =0； ⑷7532=-x y ； ⑸132=+xx ； ⑹22)1()2(-=+x x ； ⑺x x 32-=. 2.关于x 的方程0232=+-x mx 一定是一元二次方程吗？为什么？ 3.若关于x 的方程 012)2(=-++x xm m是一元二次方程，则m =.当堂检测1.已知关于x 的方程：①0322=-x ；②1112=-x ；③0131212=+-x x ;④022=++c y ay ；⑤5)3)(1(2+=+-x x x ；⑥02=-x x ；2x -=其中是一元二次方程的有（只填序号）.2.方程0112=++mx x m )－（是关于x 的一元二次方程，则m 的值是（ ） A.任何实数 B.0≠m C .1≠m D.1-≠m3.若x x m －m+-222)(-3=0是关于x 的一元二次方程，则m 的值是______.4.将方程化成一般形式为___________,它的二次项系数为 _____，一次项系数为_____，常数项为______.5.（湛江）湛江市2009年平均房价为每平方米4000元．连续两年增长后，2011年平均房价达到每平方米5500元，设这两年平均房价年平均增长率为x ，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）A ．5500（1+x ）2=4000B ．5500（1-x ）2=4000C ．4000（1-x ）2=5500D ．4000（1+x ）2=5500★6．把关于x 的一元二次方程(2－n )x 2－n (3－x )＋1=0化为一般形式为_______________，二次项系数为______，一次项系数为______，常数项为______．★7.已知关于x 的方程013)1()122=-+++-m x m x m （，求当m 为时，它是一元二次方程.当m 为时，它是一元一次方程.★8.一元二次方程0)1()1(2=+-+-c x b x a 化为一般形式后为01322=-x x －，则cba +的值为. ★★9.已知a 是方程0120142=+-x x 的一个根，求12014201322++-a a a 的值.21．2 解一元二次方程 21.2．1配方法（第一课时）预习检测1.解方程：092=-x解：移项得，92=x ，因此，=x ．（这里实际上就是求9的平方根.）2(21)(3)(21)6x x x -+--=∴ =1x ______，=2x ______．像这种根据平方根的意义通过开平方运算解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法．2.解方程：5)32=+x （3.用直接开平方法解一元二次方程实质上是把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程.问题思考1.说说你解下列方程的方法:⑴(2x －1)2＝5； ⑵x 2＋6x ＋9＝2.2.解关于x 的方程m n x =+2)（当堂检测1.方程2)1(2=-x 的根是（ ）A.-1、3B.1、-3C.2-1、21+D.1-2、12+ 2.方程3x 2＋9＝0的根为（ ）A.3B.－3C.±3D.无实数根 3.如果x ＝1是方程ax 2＋bx ＋3＝0的一个根，则（a －b ）2+4ab 的值为．4.使关于x 的方程m x =2有解的m 的取值范围为.5.解方程:⑴05)32(2=-+x ; ⑵08)2(22=--x ; ⑶4962=+-x x .21.2．1配方法（第二课时）预习检测1.填上适当的数，使下列等式成立：⑴ ⑵ ⑶ ⑷2.若226m x x ++是一个完全平方式，则m 的值是.3.把一元二次方程的左边配成一个,右边是的形式，然后用法进行求解,这种解法叫做配方法.配方是为了，把一个一元二次方程化为一元一次方程来解.4.试着自己用配方法解下列方程：⑴0232=--x x ; ⑵01522=-+x x ; ⑶04632=+-x x问题思考1.用配方法解一元二次方程的步骤是： （1） （2） （3） （4）2.什么样的一元二次方程用配方法比较简便？当堂检测25____(____x x x ++=+2)21____(____2x x x ++=+2)2____(____x x +=-2)2____(____b x x x a++=+2)1.用配方法解方程542=-x x 时，方程两边同时加上，使方程左边配成完全平方式．2.若方程01)2(42=+--x m x 的左边可以写成一个完全平方式，则m 的值为. 3.用配方法解下列方程：⑴0822=-+x x ;⑵5322=+x x⑶01422=+-x x .(4)x x 7622=+.★4.不论x 、y 为什么实数，代数式x 2＋y 2＋2x －4y ＋7的值（ ） A.总不小于2 B.总不小于7 C.可为任何实数 D.可能为负数★5.如果01326422=+++++-z y y x x ，求z xy )(的值．21.2．2公式法预习检测1.一元二次方程)(002≠=++a c bx ax 的根由方程的系数a 、b 、c 而定.⑴解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式02=++c bx ax ，当ac b 42－≥0 时，将a 、b 、c 代入式子x=就得到方程的根,这个式子叫做一元二次方程的求根公式. ⑵式子叫做根的判别式，通常用希腊字母表示. ⑶利用求根公式解一元二次方程的方法叫. ⑷由求根公式可知：当042>ac b －时,一元二次方程有个的实数根；当042=ac b －时,一元二次方程有个的实数根； 当042<ac b －时,一元二次方程实数根. 2.应用公式法解一元二次方程的一般步骤是: （1） ； （2） ； （3） ； （4） .问题思考1.用公式法解一元二次方程02=++c bx ax 时，为什么必须要求ac b 42－≥0 ？2.已知关于x 的一元二次方程0542=-+-k kx kx 有两个相等的实数根，求k 的值 . 做完这道题，你有什么收获？当堂检测1.用公式法解方程4x 2-12x =3，得到（ ）A.32x ±=－ B.32x ±= C.32x ±=－ D.32x ±= 2.方程0263422=++x x 的根是（ ） A.x 1＝2，x 2＝3 B.x 1＝6，x 2＝2C.x 1＝x 2＝2D.x 1＝x 2＝－63.若关于x 的一元二次方程(m －1)x 2＋2mx ＋m ＋3=0有两个不等的实根，则m 的取值范 围是( )．A.23<mB.23<m 且m ≠1 C.23≤m 且m ≠1 D.23>m4．已知c b a ,,分别是三角形的三边长，则方程0)(2)(2=++++b a cx x b a 的根的情况为.5.不解方程，判定方程根的情况⑴16x 2＋8x ＝－3; ⑵9x 2＋6x ＋1＝0;⑶x 2－7x －18＝0; ⑷x 2－3x －41＝0; 6.用公式法解关于x 的方程：⑴3x 2＋5x －2＝0 ⑵ 8（2－x ）＝x 2.7.证明：无论p 取何值，方程0-2-3)(x -x 2=p ）（总有两个不相等的实数根.21.2．3因式分解法编写教师 王春荣预习检测1.如果0)32)(4=-+x x （，那么x 的值是.2.用最简便的方法解下列方程：(1) 0)2)(1(=+-x x （2）032=-x x （3）)2(5)2(3-=-x x x问题思考1.什么样的一元二次方程用因式分解法解更简便？2.用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是什么? （1） （2）（3） （4）当堂检测1.方程x (x －2)＝2(2－x )的根为( ) A.－2B.2C.±2D.2，22.经计算整式1x +与4-x 的积为234x x --，则一元二次方程0432=--x x 的所有 根是（）A.4,121-=-=x x B.4,121=-=x x C.4,121==x x D.4,121-==x x3.三角形的每条边的长都是方程x 2-6x +8=0的根，则三角形的周长是. 4.若04)3)((2222=--++b a b a ，则=+22b a . 5.用因式分解法解下列方程．⑴3y 2－6y ＝0; ⑵25y 2－16＝0;⑶x 2－12x －28＝0; ⑷2x (x －2)＝2－x.21.2．4一元二次方程的根与系数的关系预习检测1.完成下列表格2.若一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两根分别为x 1、x 2，则有x 1＋x 2＝，x 1•x 2＝；， 3.4.1212 x 1•x 2＝．问题思考1.已知1=x 是方程052=-+mx x 的一个根，求m 的值及方程的另一个根.2.设x 1，x 2是方程5x 2-7x +2=0的两个根，求下列代数式的值： (1)x 12+x 22； (2)(x 1+1)(x 2+1)当堂检测1.根据根与系数的关系写出下列方程的两根和与两根积（方程两根为x 1，x 2、k 是常数） （1）2x 2－3x ＋1＝0 x 1＋x 2＝ ________ x 1x 2＝_________（2）3x 2＋5x ＝0 x 1＋x 2＝________ x 1x 2＝__________（3）5x 2＋x=2 x 1＋x 2＝ _______ x 1x 2＝__________ （4）5x 2＋kx －6＝0 x 1＋x 2＝_________ x 1x 2＝_________ 2．已知方程2520x x -+=的两个解分别为1x 、2x ，则1212x x x x +-⋅的值为（ ） A ．7-B ．3-C ．7D ．33.已知0=x 是方程022=++a x x 的一个根，则方程的另一个根为．4．如果关于x 的方程2x 2－5x ＋m ＝0的两个实数根互为倒数，那么m 的值为（ ） A ．12B ．－12C ．2D ．－2★5.已知关于x 的方程k 2x 2＋(2k －1)x ＋1＝0有两个不相等的实数根x 1、x 2． （1）求k 的取值范围；（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．21.3 实际问题与一元二次方程（1）预习检测有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人可传染人数患流感总人数第0轮 1（传染源） 1第1轮 x ____________第2轮 ___________ ____________列方程答：每轮传染中平均一个人传染了________个人.问题思考某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？当堂检测1.中新网4月26日电，据法新社26日最新消息，墨西哥卫生部长称，可能已有81人死于猪流感．若有一人患某种流感，经过两轮传染后共有81人患流感，则每轮传染中平均一人传染了人，若不加以控制，以这样的速度传播下去，经三轮传播，将有人被感染．2.某种树木的主干长出若干支杆，每个支杆又长出同样数目的小分支，主干、支杆和小分支的总数为91，每个支杆长出多少小分支？21.3 实际问题与一元二次方程（2）预习检测两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？解得1=；2=.解得1=；2=.问题思考1.经过上面的计算，你能得出什么结论？成本下降额大的药品，它的成本下降率也一定大吗？你对下降额与下降率有了新的认识吗？2.某化工厂今年一月份生产化工原料15万吨，通过优化管理，产量逐年上升，第一季度共生产化工原料60万吨，设二、三月份平均增长的百分率相同，均为x，可列出方程为．3.平均增长率（或平均减少率）问题：设平均增长率为x,n为增长或下降次数,原数（1＋）n=新数；原数（1－）n=新数当堂检测1.某超市一月份的营业额为200万元,已知第一季度的总营业额共1000万元, 如果平均 每月增长率为x ,则由题意列方程应为( )A.200(1+x )2=1000 B.200+200·2x =1000 C.200+200·3x =1000 D.200[1+(1+x )+(1+x )2]=10002.某糖厂2012年食糖产量为a 吨，如果在以后两年平均增长的百分率为x ，•那么预计2014年的产量将是吨．3.广安市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政 策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调 后，决定以每平方米4860元的均价开盘销售。