高斯—勒让德积分公式摘要：高斯—勒让德积分公式可以用较少节点数得到高精度的计算结果,是现在现实生活中经常运用到的数值积分法。
然而，当积分区间较大时，积分精度并不理想。
T he adva ntage of Gauss-Legendre integral formula is tend to get high-precision calculational result by using fewer Gauss-points, real life is now often applied numerical integration method. But the precision is not good when the length of integral interval is longer.关键字：…积分计算，积分公式，高斯—勒让德积分公式，MATLABKeyword:Integral Calculation , Integral formula ,Gauss-Legendre integral formula, Matlab 引言：众所周知，微积分的两大部分是微分与积分。
微分实际上是求一函数的导数，而积分是已知一函数的导数，求这一函数。
所以，微分与积分互为逆运算。
】实际上，积分还可以分为两部分。
第一种，是单纯的积分，也就是已知导数求原函数，称为不定积分。
相对而言，另一种就是定积分了，之所以称其为定积分，是因为它积分后得出的值是确定的，是一个数，而不是一个函数。
计算定积分的方法很多，而高斯—勒让德公式就是其中之一。
高斯积分法是精度最高的插值型数值积分，具有2n+1阶精度，并且高斯积分总是稳定。
而高斯求积系数，可以由Lagrange多项式插值系数进行积分得到。
高斯—勒让德求积公式是构造高精度差值积分的最好方法之一。
他是通过让节点和积分系数待定让函数f(x)以此取i=0,1,2....n次多项式使其尽可能多的能够精确成立来求出积分节点和积分系数。
高斯积分的代数精度是2n-1，而且是最高的。
通常运用的是（-1，1）的积分节点和积分系数，其他积分域是通过变换x=(b-a)t/2 +(a+b)/2 变换到-1到1之间积分。
1.现有的方法和理论高斯勒让德求积公式在高斯求积公式(4.5.1)中，若取权函数，区间为，则得公式{我们知道勒让德多项式是区间上的正交多项式，因此，勒让德多项式的零点就是求积公式(上式)的高斯点．形如(上式)的高斯公式特别地称为高斯－勒让德求积公式．若取的零点做节点构造求积公式令它对准确成立，即可定出．这样构造出的一点高斯－勒让德求积公式是中矩形公式．再取的两个零点构造求积公式令它对都准确成立，有—．由此解出，从而得到两点高斯－勒让德求积公式．三点高斯－勒让德求积公式的形式是．如表列出高斯－勒让德求积公式的节点和系数．…12~34(公式(4.5.9)的余项由得，这里是最高项系数为１的勒让德多项式，由(3.2.6)及得．当时，有．它比辛普森公式余项还小，且比辛普森公式少算一个函数值．当积分区间不是[－１，１]，而是一般的区间时，只要做变换:可将化为［－１，１］，这时．对等式右端的积分即可使用高斯－勒让德求积公式．复化Gauss-Legendre求积公式将被积区间m等分, 记, 作变换在每个小区间上应用Gauss-Legendre公式, 累加即得复化Gauss-Legendre求积公式>不妨设则有:Gauss点个数时,Gauss点个数时,总结复化Gauss-Legendre求积过程如下:1. 分割区间, 记录区间端点值；2. 通过查表或求解非线性方程组, 在所有小区间上, 将Gauss系数和Gauss点的值代入变量替换后的公式；3. 将所有区间的结果累加, 即得到整个区间上的积分近似值.）针对Gauss点个数和的复化Gauss-Legendre求积公式编写的一个简单的MATLAB函数compgauss() 如下:function [ ] = compgauss(a, b, n)% Composite Gauss Integration% Equation Type: n=2, n=3% Coded by 2010-05-25% Divide Interval% Calculate% Sum Resultsformat longf = @(x) exp(x).*sin(x);—h=(b-a)/n;xk=zeros(n+1,1);xk(1,1)=a;xk(n+1,1)=b;fk1=zeros(n,1);fk2=zeros(n,1);for i=1:n-1xk(i+1,1)=a+h*i;endfor j=1:n{fk1(j)=f((xk(j)+xk(j+1))/2+(h/2)*(-1/sqrt(3)))+...f((xk(j)+xk(j+1))/2+(h/2)*(1/sqrt(3)));endfor r=1:nfk2(r)=(5/9)*f((xk(r)+xk(r+1))/2+(h/2)*(-sqrt(15)/5))+...(8/9)*f((xk(r)+xk(r+1))/2+(h/2)*(0))+...(5/9)*f((xk(r)+xk(r+1))/2+(h/2)*(sqrt(15)/5)); endmysum1=h*sum(fk1)/2;mysum2=h*sum(fk2)/2;、disp('Result of 2 Nodes:')disp(mysum1);disp('Result of 3 Nodes:')disp(mysum2);end龙贝格，三点，五点以及变步长高斯勒让德求积法以下是关于龙贝格，三点，五点以及变步长高斯勒让德之间精度的相互比较#include <>#include <>》#include <>#define Precision1# define e 2.#define MAXRepeat 10double function (double x){double s;s=1/x;return s;}'double Romberg(double a,double b,double f(double x)){int m,n,k;double y[MAXRepeat],h,ep,p,xk,s,q;h=b-a;y[0]=h*(f(a)+f(b))/;fx);3.数值实验用4点（n=3）的高斯——勒让德求积公式计算$xdx x cos 202⎰=I π.解：先将区间]2,0[π化为]1,1[-，由（1）dtba t ab f a b dx x f ba)22(2)(11++--=⎰⎰-.（1）有 dtt t )1(4cos )1()4(2311++=I ⎰-ππ.根据表4-7中n=3的节点及系数值可求得467402.0)(30≈≈I ∑=k k k x f A .（ 准确值 467401.0=I ）|用2,3n =的高斯-勒让德公式计算积分31sin .x e xdx ⎰解：31sin .x I e xdx =⎰[1,3],x ∈令2t x =-，则[1,1]t ∈-用2n =的高斯—勒让德公式计算积分0.5555556[(0.7745967)(0.7745967)]0.8888889(0)10.9484I f f f ≈⨯-++⨯≈用3n =的高斯—勒让德公式计算积分0.3478548[(0.8611363)(0.8611363)]0.6521452[(0.3399810)(0.3399810)]10.95014I f f f f ≈⨯-++⨯-+≈{用四个节点的高斯―勒让德求积公式计算定积分xx d 11⎰+，计算过程保留4位小数．解 ：高斯－勒让德求积公式只求积分区间为[－1,1]上的积分问题．需作变换，令212+=u x ，当x=1时，u=1;当x=0时，u=－1．于是，x x d 11⎰+＝uud 2232111⎰-+＝)21861.02321861.023(9347.0[21++-⨯ )]20340.0232340.023(1652.0++-⨯+9218.1]5445.21652.06423.29347.0[21=⨯+⨯=（2. 总结高斯―勒让德求积公式对定积分的计算拥有高精度的特点，但是这只存在于积分区间在[-1,1]上，区间的变大会导致精度的降低。
因此，寻找精度更高，加速更快的算法是必要的。
《参考文献》[1]《数值计算》张军、林瑛、钟竞辉清华大学出版社2008 6 17[2]《数值分析》陈晓江、黄樟灿·科学出版社2010 7 10[3]《数值分析原理》吴勃英科学出版社2009 7 23[4] 复化两点Gauss-Legendre求积公式的外推算法《桂林航天工业高等专科学校学报》2007年03期。