成都七中2019—2020学年度下期高2018级半期考试高二数学试卷(文科)考试时间：120分钟满分：150分命题人:审题人：一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知复数12z i ，则=z （）（A ）5（B ）1+2i（C ）12+55i（D ）1255i2．在空间直角坐标系O xyz 中，点2,1,3A 关于yOz 平面对称的点的坐标是（）（A ）2,1,3（B ）2,1,3（C ）2,1,3（D ）2,1,33.在极坐标系中，过点2,2且与极轴平行的直线方程是（）（A ）2ρ（B ）2θ（C ）cos 2ρθ（D ）sin =24.如图是函数()yf x 的导函数()yf x 的图象，则下面判断正确的是（）（A ）在区间2,1上()f x 是增函数（B ）在区间1,3上()f x 是减函数（C ）在区间4,5上()f x 是增函数（D ）当2x时，()f x 取到极小值5.函数()2cos f x xx 在0,2上的极大值点为（）（A ）0（B ）6（C ）3（D ）26.某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度(支持与不支持)的关系，运用2×２列联表进行独立性检验，经计算K 2＝6.705，则所得到的统计学结论是：有________的把握认为“学生性别与支持该活动有关系”（）P (K 2≥k 0)0.1000.0500.0250.0100.001 k 02.7063.8415.0246.63510.828 （A ）1%（B ）0.1% （C ）99%（D ）99.9%7.成都七中某社团小组需要自制实验器材，要把一段长为12cm 的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是（）（A ）2332cm（B ）24cm（C ）232cm（D ）223cm8.若3211()232f x xxax 在(1,)上存在单调递增区间，则a 的取值范围是（）（A ）(,0]（B ）(,0)（C ）[0,)（D ）(0,)9.两动直线1ykx 与21yx k的交点轨迹是（）（A ）椭圆的一部分（B ）双曲线的一部分（C ）抛物线的一部分（D ）圆的一部分10.我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在2+2+2+L 中“L ”即代表无限次重复，但原式却是个定值x ，这可以通过方程2+xx 确定=2x ，则11+=11+1+L是（）（A ）1+52（B ）512（C ）512（D ）15211.已知函数()f x 的导数()f x 满足()10f x x f x 对x R 恒成立，且实数,x y 满足110x f xy f y，则下列关系式恒成立的是（）（A ）331111xy（B ）xyee（C ）xyx y ee（D ）sin sin x y x y12.已知函数ln 2f xm x x ，若不等式12x f x mx e 在0,x 上恒成立，则实数m 的取值范围是（）（A ）2m （B ）2m （C ）m （D ）2m 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.112zi （i 为虚数单位）的虚部是.14.已知0,2x，则函数xf xx e 的值域是 .15.已知曲线2cos:(03sinxC yy为参数且）.若点P 在曲线C 上运动，点Q 为直线:260l x y 上的动点，则PQ 的最小值为 .16.已知函数211,0,2ln ,0.xe x x x ef xx x x若方程0f x m 恰有两个实根，则实数m 的取值范围是 . 三、解答题：本大题共6小题，共70分.其中17题10分，18—22题每小题12分17.（本小题满分10分）已知函数311()32f x x．（Ⅰ）求曲线()y f x 在点51,6P 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；（Ⅱ）求过点12,2A 作曲线()yf x 的切线方程．18.（本小题满分12分）如图，五面体11ABCC B 中，41AB ．底面是正三角形ABC ，2AB.四边形11BCC B 是矩形，二面角1A BCC 是直二面角.（Ⅰ）点D 在AC 上运动，当点D 在何处时，有//1AB 平面1BDC ；（Ⅱ）求点B 到平面11AB C 的距离.C 1B 1D CBA19.（本小题满分12分）已知直线l 的参数方程为1cos 0sinx t t yt 为参数，，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为212cos4sin．（Ⅰ）求圆C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与圆C 相交于A B 、两点，且23AB ,求的值．20.（本小题满分12分）某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，下表是该地一建设银行连续五年的储蓄存款(年底余额)，如下表1：年份x20152016201720182019储蓄存款y(千亿元)567810表1为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，t ＝x －2 014，z ＝y －5得到下表2：时间代号t12345z1235表2（Ⅰ）求z 关于t 的线性回归方程；（Ⅱ）通过（Ⅰ）中的方程，求出y 关于x 的回归方程；（III ）用所求回归方程预测到2022年年底，该地储蓄存款额可达多少？(附：对于线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^＝∑ni ＝1x i y i －nx －·y －∑ni ＝1x 2i －nx－2，a ^＝y －－b ^x －)21.（本小题满分12分）已知椭圆P 的中心O 在坐标原点，焦点在x 轴上，且经过点A(0，23)，离心率为12.（Ⅰ）求椭圆P 的方程；（Ⅱ）是否存在过点E(0，－4)的直线l 交椭圆P 于点R ，T ，且满足OR →·OT →＝167？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由.22.（本小题满分12分）已知函数ln f x ax x a R ．（Ⅰ）求函数f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数f x 有两个零点12,x x ，证明：12112ln ln x x ．成都七中2019～2020学年度下期2021届高二半期考试数学试卷（文科）答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 BBDCBCDDAADB12.解：由ln 2f x m x x ，故2x xf e mxe 由不等式12x f x mx e 在0,x上恒成立，则1x f x f e 在0,x上恒成立.11xx eQ ln 2f x m x x 在1,x上单调递减20m f xx对1,x 恒成立2m x 对1,x 恒成立2m 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.1214.21,2e说明：不写为集合的形式扣2分15.25516．1,0e16.解：数形结合时注意渐近线三、解答题：（本大题共6小题，共70分.其中17题10分，18—22题每小题12分）17.解：（Ⅰ）由函数311()32f x x，则2()f x x ．曲线()y f x 在点51,6P 处的切线斜率11,k f故切线方程为51,6610.6yx xy 故所求三角形的面积1111.26672S………5分（Ⅱ）由点12,2A 及311()32f x x，则811(2)322f ，不妨设切点为00,P x y ，则2000030003111193222122k f x x x x y xy y y k x 或…………8分故切线方程为1182350.2yx y 或…………10分（漏解扣2分）18. 解：（Ⅰ）当D 为AC 中点时,有//1AB 平面1BDC ………2分连结1B C 交1BC 于O ,连结DO∵四边形11BCC B 是矩形∴O 为1B C 中点又D 为AC 中点,从而1//DO AB ………3分∵1AB 平面1BDC ,DO 平面1BDC ∴//1AB 平面1BDC ………6分（Ⅱ）设点B 到平面11AB C 的距离为d ，则由1111BAB C A BB C V V 知111121522333232d，解得2155d.…………12分19.解：（Ⅰ）由圆C 的极坐标方程为212cos4sin，知圆C 的直角坐标方程为222410xyx y．……………………4分（Ⅱ）解法1：将直线l 的参数方程代入到圆C 的直角坐标方程222410xy x y 中，有24sin 0tt ．设A B 、两点对应的参数分别为12,t t ，则12124sin 0t t t t ．……………………8分由21212121244sin 23ABt t t t t t t t ，得32sin.233或……………………12分解法2：化为直角坐标方程求解．20.解（Ⅰ）t －＝3，z －＝2.2，∑5i ＝1t i z i ＝45，∑5i ＝1t 2i ＝55，b ^＝45－5×3×2.255－5×9＝1.2，a ^＝z －－b ^t －＝2.2－3×1.2＝－1.4，所以z ^＝1.2t －1.4.…………4分（Ⅱ）将t ＝x －2 014，z ＝y －5，代入z ^＝1.2t －1.4，得y －5＝1.2(x －2 014)－1.4，即y ^＝1.2x －2 413.2.…………8分（III ）因为y ^＝1.2×2 022－2 413.2＝13.2，所以预测到2022年年底，该地储蓄存款额可达13.2千亿元.…………12分21.解（Ⅰ）设椭圆P 的方程为x 2a 2＋y2b2＝1(a>b>0)，由题意得b ＝23，e ＝c a ＝12，∴a ＝2c ，b 2＝a 2－c 2＝3c 2，∴c ＝2，a ＝4，∴椭圆P 的方程为x 216＋y 212＝1.…………4分（Ⅱ）假设存在满足题意的直线l ，易知当直线l 的斜率不存在时，OR →·OT →<0，不满足题意.故可设直线l 的方程为y ＝kx －4，R (x 1，y 1)，T(x 2，y 2).∵OR →·OT →＝167，∴x 1x 2＋y 1y 2＝167.由y ＝kx －4，x 216＋y 212＝1得(3＋4k 2)x 2－32kx ＋16＝0，由Δ>0得(－32k)2－64(3＋4k 2)>0，解得k 2>14.①（没考虑的扣1分）…………6分∴x 1＋x 2＝32k 3＋4k 2，x 1x 2＝163＋4k2，∴y 1y 2＝(kx 1－4)(kx 2－4)＝k 2x 1x 2－4k(x 1＋x 2)＋16，故x 1x 2＋y 1y 2＝163＋4k 2＋16k 23＋4k 2－128k 23＋4k 2＋16＝167，解得k 2＝1.②…………10分由①②解得k ＝±１，∴直线l 的方程为y ＝±x －4.故存在直线l ：x ＋y ＋4＝0或x －y －4＝0满足题意.…………12分22.解：（Ⅰ）由已知得110ax f x axxx，①当0a 时，0f x ，f x 在0,上单调递减．………1分②当0a时，令=0f x ，则1xa10,0x fx a 当时，f x 在10,a上单调递减；1,0xfx a 当时，f x在1,a上单调递增．………4分综上所述，①当0a 时，函数f x 的单调递减区间是0,，无单调递增区间；②当0a时，函数f x 的单调递减区间是10,a，单调递增区间是1,a. ………5分（Ⅱ）证明:由函数f x 有两个零点12,x x ，不妨设12x x ,则11ln 0,x ax 22ln 0,x ax 2121ln ln ,x x a x x ………6分要证12112ln ln x x ，只需证12112ax x ，即证1212+,2x x a x x 只需证12211221+ln ln ,2x x x x x x x x ………7分只需证22212121ln,2xxx x x x 只需证2211121ln ,2x x x x x x 令211x t x ，即证11ln ,2t t t设11ln ,12t tt tt，则2222121022t t t ttt………10分即函数t在1,上单调递减，则10t ，即得12112ln ln x x 成立. ……12分。