等差数列求和公式的
说课稿
说课稿：等差数列的前n项和
一、教材分析
本节课主要研究如何应用倒序相加法求等差数列的前n项和以及该求和公式的应用．是继等差数列通项公式之后的又一重要概念，与前面学习的函数有着密切的联系；通过对公式的推导，可以让学生进一步掌握从特殊到一般的研究问题的方法，也为以后推导等比数列求和公式奠定了基础；同时等差数列在现实生活中比较常见，因此等差数列求和在实际生活中有着广泛的应用.
二、学情分析
学生已经学习了等差数列的通项公式及基本性质，也对高斯算法有所了解，这都为倒序相加法的教学提供了基础；同时学生已有了函数知识，因此在教学中可适当渗透函数思想．高斯的算法与一般的等差数列求和还有一定的距离，如何从首尾配对法引出倒序相加法，这是学生学习的障碍．
三、教学目标
知识目标：掌握等差数列的前n项和公式，能熟练的应用等差数列的前n 项和公式求和；
能力目标：在知识发生、发展以及形成过程中遵循从特殊到一般的认知规律，培养学生的类比思维能力，通过对公式从不同角度不同侧面的剖析，培养学生思维的灵活性，提高学生分析问题解决问题的能力
情感目标：通过生动具体的现实问题，以及令人着迷的数学史，激发学生探究的兴趣，产生热爱数学的情感。

四、教学重点、难点
教学重点：等差数列的前n项和公式，学会用公式解决一些实际问题
教学难点：获得等差数列前n项和公式的推导思路
五、教学方法
利用计算机和实物投影辅助教学，采用启发探究相结合的教学模式
六、教学过程
学生是认知的主体，设计教学过程必须遵循学生的认知规律，尽可能地让学生去经历知识的形成与发展过程，结合本节课的特点，我设计了如下的教学过程：
（一）创设情境——引入问题
首先讲述世界七大奇迹之一泰姬陵的传说（泰姬陵坐落于印度古都阿格，
绝，成为世界七大奇迹之一。

）
共有100层（见下图），
你知道这个图案一共花了多少宝石吗？也就是计算1+2+3+ (100)
紧接着讲述高斯算法：高斯，德国著名数学家，被誉为“数学王子”。

200多年前，高斯的算术教师提出了下面的问题：1＋2＋3＋…+100＝？
据说，当其他同学忙于把100个数逐项相加时，
10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：
（1＋100）＋（2＋99）＋……＋（50＋51）＝101×50＝5050
【设计说明】了解历史，激发兴趣，提出问题，紧扣核心。

（二）层层铺垫——发现方法
学生对高斯的算法是熟悉的，知道采用首尾配对的方法来求和，
但是他们对这种方法的认识可能处于模仿、记忆的阶段，
为了促进学生对这种算法的进一步理解，设计了下面问题。

探究1：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？这是求奇数项和的问题，学生们会提出以下方法
方法1：原式＝（1＋2＋…＋10＋12…＋21）＋11
方法2：原式＝0＋1＋2＋……＋20＋21
方法3：原式＝（1＋2＋3＋……＋20）＋21
以上方法实际上是用了“化归思想”，将奇数项问题转化为偶数项求解，老师对学生的解法给予肯定表扬，并进一步提出新的问题
探究2：是不是求前若干个自然数之和需要看其项数的奇偶呢？即求1+2+3+…+n需讨论n的奇偶呢？学生们很自然就想到要用分类讨论来解决此类问题，老师要肯定学生的想法，指出此方法的缺点是繁琐，进而促使学生探索更简捷的做法。

【设计说明】借此渗透分类讨论意识以及化归思想，并激发学生探索的兴趣
用多媒体做一个实验：把“全等三角形”倒置，与原图补成平行四边形，让学生
观察效果很容易获得结果：
2
) 21
1(
21 21+
=
S，并尝试将直观问题抽象成数学问题。

【设计说明】在教学中，要鼓励学生借助几何直观进行思考，揭示研究对象的性质和关系，从而渗透了数形结合的数学思想。

但是如何将直观问题抽象化，此处也是教学的一个难点。

老师启发学生一起去发现两个三角形体现的求和思想，板书给出
2120112121++++++= S
1211202121+++++= S ⇒ )211(21221+=S ⇒ 2
)211(2121+=S 通过这个过程让学生理解“倒置”与“倒序”，“补”与“相加”的对应关系。

和学生一起完成 ：求1到n 的正整数之和，并板书
1)2()1(321++-+-+=++++= n n n S n
S n n
个
n n n n n S )1()1()1(2++++++= ⇒2)1(+=n n S n 然后让学生反思求和过程，体会其中的数列具有怎样的关键特点？并指出这种方法就是“倒序相加法” 有些学生会发现特点一：在于前n 个自然数具有一种“对称性”。

即：与首末两项等距离的两数之和都等于首末两数之和。

即“首尾配对”。

这个性质在等差数列中具有普遍性吗？带着学生去验证等差数列具有：1121a a a a a a n n n +==+=+-
特点二：即“从前往后看，每一项都比前一项多d ”“从后往前看，每一前项比后一项少d ”。

即“递进递减”
【设计说明】从求确定的前n 个正整数之和到求一般项数的前n 个正整数之和，旨在让学生体验“倒序相加求和”这一算法的合理性，从心理上完成对“首尾配对求和”算法的改进。

从反思中进一步体会等差数列具有“首尾配对”“递进递减”的两个特点，为后面顺利完成等差求和的推导奠定基础。

本节课的难点得以突破。

（三）归纳整理——思想升华
完成上述推导以后，我再顺势引导学生能否将问题一般化？分别叫学生到黑板上推导，老师个别指导
方法一：121321a a a a S a a a a S n n n n n
n ++++=++++=--
)(21n n a a n S += 2)(1n n a a n S += ⇒公式2 d n n na S n 2
)1(1-+= 方法二：[]
[]d n a d a a S d n a d a a S n n n n n )1()()1()(111--++-+=-+++++=
)(21n n a a n S += 1公式⇒ 2)(1n n a a n S += ⇒公式2 d n n na S n 2
)1(1-+= 【设计说明】在教师的引导下，让学生主动思考主动参与体会知识结论的形成过程，对等差数列有了更深刻的理解
（四）巩固练习——全面认识
例1、 等差数列{}n a 中，已知629,37,20===n S n d ，求1a 和n a
【设计说明】本例是使用等差数列的求和公式和通项公式求未知元。

可以使用公式2，先求出首项，再使用通项公式求尾项。

也可以使用公式1和通项公式，联立方程组求解。

事实上，在求和公式、通项公式中共有首项、公
差、项数、末项、前n 项和五个元素，如果已知其中三个，联列方程组，就可求其余二个。

例2、 在等差数列{}n a 中，（1）已知36151252=+++a a a a ，求16S
（2）已知166=a ，求11S
【设计说明】每道小题通过所给条件是无法将首项和公差全部求出来的，本例是引导学生认识求和公式中的整体思想，由（2）给出等差数列中
n n a n S )12(12-=- .
（五）梳理知识——形成系统
引导学生回顾公式、推导方法鼓励学生积极回答，然后老师再从知识点及数学思想方法两方面总结。

（1）回顾从特殊到一般的研究方法；
（2）体会等差数列的基本元表示方法，倒序相加的算法，及数形结合的数学思想；
（3）掌握等差数列的两个求和公式及简单应用
（4）前n 项和公式的函数意义
（六）布置作业 分层练习
课本118页 习题3.3 第２、３、４。

选做题 已知函数f （x ）
，则)6()4()5(f f f ++-+- 的值等于多少？
思考题：若数列{}n a 的前n 项和2An Bn =+n S （B A ∈R 、），则数列{}n a 是等差数列。

【设计意图】出选做题的目的是注意分层教学和因材施教，让学有余力的学生有思考的空间。

（七）教学反思
本节课是通过介绍高斯的算法，探究这种方法如何推广到一般等差数列的求和．本节课的难点在于如何获得推导公式的“倒序相加法”这一思路．为了突破这一难点，在教学中采用了以问题驱动的教学方法，设计的三个问题体现了分析、解决问题的一般思路，即从特殊问题的解决中提炼方法，再试图运用这一方法解决一般问题．在教学过程中，通过教师的层层引导、学生的合作学习与自主探究，尤其是借助图形的直观性，学生“倒序相加法”思路的获得就水到渠成了．
（八）板书设计。