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例1. 若 X~P(),求D(X).
解: 已求得 E(X),
E(X

2)
k2
k
e
k2
k
e
k0 k!
k1 k!
e k
k1
k1 (k1)!
mk1
e
m
(m1)
m0
m!
[mmee=E(Xm)],其中(X~P1()λ )
m0 m!
m0m!
D(X)E(X2)[E(X)2 ](1)2λ .
(X )D (X )或 D (X ) 2 (X ).
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方 差D (X ) E [X E (X ) ] 2
注: (1) 由定义知，D(X)=E[X-E(X)]2 ≥0 ; (2) 方差D(X) 用来体现随机变量X取值分散的程度, 反映了X偏离其数学期望E(X)的程度. (3) 如果D(X)值越大(小)，表示X取值越分散(集中), 以E(X)作为随机变量X的代表性越差（好）.
证: D (X Y ) E [X ( Y ) 2 ] [ E (X Y )2]
E [X 2 2 X Y Y 2 ] [E (X ) E ( Y )2] E(X2)2E(X)E(Y)E(Y2)
[E(X)2 ][E(Y)2 ]2E(X)E(Y)
{ E ( X 2 ) [ E ( X )2 } ] { E ( Y 2 ) [ E ( Y )2 } ] D(X)D(Y).
解: 已求得 E(X ) 1 ,
E(X
2)
x2 exdxtx
0
1
2
t2etdt
0
1
2
t2det
0
=E(X),其中X~e( 1)
12(t2et 0 20 tetd)t
2 2
D(X)
E(X2)[E(X)2 ]
2
2
1
2
1 λ2 .
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补充： 函数
例 X~e(),
() x1exdx 求D(X).
显然 P(Xi=1)= p, P(Xi=0)=1-p, ∵ EXi =1·p + 0·(1-p ) = p,
且 EXi2 = p, 故 DXi = EXi 2 -(EXi)2
= p – p 2 = p (1 -p) = p q， i=1, 2,…, n
[xi E(X)]2piE[XE(X)2] i
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2.方差 (Variance 或 Dispersion)
定义. 设X是一随机变量，若E[X－E(X)]2存在，
则称E[X-E(X)]2称为X的方差, 记作D(X) 或 2 ( X )
即
D (X )E [XE (X )2].
方差的算术平方根 D( X ) 称为 X 的标准差， 记作 ( X ), 即
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3. 方差的计算
(1)利用随机变量函数的数学期望公式
离散随机变量的方差
D(X) [xi E(X)]2pi
i
其 X 的 中分 P (X 布 xi) 列 p i,i 为 1 ,2 , 连续随机变量的方差
D (X)[ xE(X)2]f(x)dx
其中X的概率密度f(为 x).
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复习: 数学期望
它反映随机变量取值的平均水平，是随机变量的 一个重要的数字特征.
EX xk pk, k1
X离散型
E X xf(x )d x,
X 连 续 型
EYE[g(X)]
g(xk)pk,
k1
X离散型
g(x)f(x)dx, X连续型
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第二节 方差
基本内容： 一、方差的定义 二、方差的性质
0
E(X 2)
函数有下列结论：
(1 ) (1 ) ();
(2Γ()n1 )n!;
tx
1
2
t2etdt
0
1 2
(3)
(3)(1)(2)1,(1).
2
1 2
2(2)
2 2
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二、方差的性质
(1) D(C)0, C为常； 量
证: D(C)E{C [E(X)2 ]}E{C [ C]2} 0.
(2 )若 D (X )存则 在 D (C) , X C 2D (X )C ,为； 常
证: D(CX) E{C [ X E(C)X2]}
E{C [ X C(E X)2]} E{C2[XE(X)2 ]}
C2E{X [E(X)2]}C2D(X).
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(3 )若 X 与 Y 相互 ， 且 D 独 (X )与 D 立 (Y )存 ， 则 在 D (X Y ) D (X ) D (Y ).
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一、方差 (Variance)
1. 问题的导入
引例 比较甲乙两个射手的射击水平
X 8 9 10 Y 8 9 10
P 0.1 0.8 0.1 P 0.4 0.2 0.4
分析
3
甲 E (X) xipi80.190.8100.1 9 .0
i 1
乙
3
E (Y) xipi80.490.2100.4 9
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例4. 设X服从二项分布B(n,p), 求方差D(X).
解: 设Xi为第i次试验中事件A出现的次数，即
X i 0 1 ,,在 在 i i 次 次 第 第 试 试 A A 不 出 验 验 ； .出 ( 现 i 中 1 中 ,2 ,现 ,n )
n
则 X 是Xni 次试验中A出现的次数， i1
.
0
i 1
但是乙射手的波动性较大, 不够稳定.
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如何描述这种差异呢？
设某射手击中的环数为随机变量X，其分布律为 P(X=xi)=pi ( i=1,2, ‥‥‥)
其平均射击水平为E(X)，则他每次射击的波动性为 xi - E(X) 或 | xi - E(X) |
为了数学上的方便，以[ xi-E(X) ]2 代替 | xi-E(X) | 则该射手的平均射击波动为
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例2.若X～U (a, b), 求D(X).
解: 已求得 E(X) ab,
2
E( X 2 )
b a
x2
b1adx
a2
abb2 3
.
D(X) E(X2)[E(X)2 ]
a2abb2
(ab)2
(b
a)2
.
3
2
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例3. 若X~e(),求D(X).
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(2)利用方差公式
由于 D(X ) E{X [E(X)2 ]}
E { X 2 2 X(X E ) [E (X )2 } ] E (X 2 ) 2 E (X )E (X ) [E (X )2] E(X2)[E(X)2].
定理：设随机变量X的数学期望E(X)存在，且E(X2) 也存在, 则
D (X )E (X 2) [E (X )]2.