ˆ1
ut ut 1 ut12
r
tn1(Yt Y)(Xt X)
tn1(Yt Y)2
tn1(Xt X)2
根据相关系数的定义，u t 和u t1 之间的相关系数 为：
utut1
ut2
u2 t1
utut1
ut2
u2 t1
uuttu1 t 21ˆ1
式中 u t 是u t -1 滞后一期的随机误差项。因此，计算
自相关往往可写成如下一阶自回归形式：
t=β1t-1+vt
-1<<1
记 为 AR(1) ， 称 β1 为 自 回 归 系 数 （ coefficient of AutoRegression）
vi是满足以下标准的OLS假定的随机干扰项：
一阶自相关系数
根据普通最小二乘法原理，模型中 1的OLS估计式
为：
还有生产企业当期的产出水平要受到上期产出水 平的影响。
2、模型设定不当
主要表现在模型中丢掉了重要的解释变量或模型函 数形式有偏误。 1）模型中略去了具有自相关性的解释变量
例如，本来应该估计的模型为
Yt=0+1X1t+ 2X2t + t， 其中Yt为需求，X1为猪肉价格，X2为消费者收入 水平，ut是无自相关的。 但在模型设定中做了下述回归：
如果忽略了消费支出变量的滞后作用，把模型设定为 ：
Y t01 X 1 t2 X 2 t v t
而被解释变量和随机扰动又有着相同的分布，这样，上述这 些被解释变量的自相关，很可能引起随机扰动项的自相关。
3、数据处理造成的相关
在实际经济问题中，有些数据是通过已知数据 生成的。因此，新生成的数据与原数据间就有了 内在的联系，表现出序列相关性。 例如：季度数据来自月度数据的简单平均，这 种平均的计算减弱了每月数据的波动性，使季度 数据具有平滑性，从而使随机干扰项出现序列相 关。
3）由被解释变量本身的自相关性所决定
例如：消费支出Yt不仅和收入X1，价格X2有关， 而且与前期消费支出有关，由于心理，习惯，环 境等方面的原因，消费者在收入下降或者价格上 升时也要保持原有的消费水平，所以，本期的消 费支出Yt与前期消费支出Yt-1有关，正确模型设
定应该是 Y t 0 1 X 1 t 2 X 2 t 3 Y t 1 u i
Yt=0+1X1t+ vt 因此， vt=2X2t + t，如果X2确实影响Y，则出现 自相关。
2）模型的函数形式不适当
例如：如果真实的边际成本回归模型应为：
Yt= 0+1Xt+2Xt2+t
其中：Y=边际成本，X=产出， 但建模时设立了如下模型：
Yt= 0+1Xt+vt 因此，由于vt= 2Xt2+t, ，包含了产出的平方对 随机项的系统性影响，随机项也呈现自相关性。
ij, i,j=1,2, …,n
如果对于不同的样本点，随机误差项之间不再
是不相关的，而是存在某种相关性，则认为出现 了自相关性（auto correlation） 。
序列相关
序列相关指的是两个（或更多）不同变量之间 的关系，自相关性是序列相关的一种特殊情况
。它是指同一变量的逐次项之间的关系，因此 ,自相关较多地表现在时间序列数据中，由于 序列相关性经常出现在以时间序列为样本的模 型中，因此，本节将用下标t代表i。
自相关也是相关的一种，即指一随机变量在时
间上与其滞后项之间的相关。这里是指回归模
型中随机误差项ut与其滞后项的相关关系。
即
C ( u to ,u t i) v 0 ,i 1 ,2 , ,t.
自相关性的分类
Yt 01Xtut
如果仅存在 E(t t-1)0
t=1,2, …,n
称为一阶自相关，或自相关（autocorrelation）
Co (utv,uts)s2
二、自相关性的原因
1、经济变量固有的惯性 大多数经济时间数据都有一个明显的特点:惯性， 表现在时间序列不同时间的前后关联上。
例如，绝对收入假设下居民总消费函数模型：
Ct=0+1Yt+t t=1,2,…,n 由于消费习惯的影响被包含在随机误差项中，则 可能出现序列相关性（往往是正相关 ）。
§第5章 自相关性
Serial Corre关性概念 二、自相关性的来源 三、自相关性的后果 四、自相关性的检验 五、自相关性的解决办法 六、案例
一、自相关性概念
对于模型
Yi=0+1X1i+2X2i+…+kXki+i
i=1,2, …,n
随机项互不相关的基本假设表现为
Cov(i , j)=0
在经济计量分析中，通常采用一阶自回归形式，
即假定自回归形式为一阶自回归 A R (1 ) 。
一阶自回归形式的性质
对于一元线性回归模型:
Y=1+2X+u
假定随机误差项 u 存在一阶自相关:
ut =ut-1+vt
其中，u t 为现期随机误差，u t - 1 为前期随机误差。
v t 是经典误差项，满足零均值 E(vt ) = 0 ，同方
的自相关系数 称为一阶自相关系数。对于大样本 显然有 ˆ1 ，一阶自回归形式可表示为：
ut = ut-1 + vt.
二阶自相关系数
如果式中的随机误差项 v t 不是经典误差项，即
其中包含有 u t 的成份，如包含有 u t 2 则需将 u t - 2 显含在回归模型中，即为
ut =1ut-1+2ut-2+vt
其中， 1 为一阶自相关系数， 2 为二阶自相关系 数，v t 是经典误差项。此式称为二阶自回归模式，
记为 A 。R (2 )
高阶自相关系数
一般地，如果 u1,u2 ,...,ut 之间的关系为
u t= 1 u t- 1 + 2 u t- 2 + ...+ m u t- m + v t
其中， v t 为经典误差项。则称此式为 m 阶自回 归模式，记为 AR (m ) 。
差 Var(vt)=v2 ，无自相关 E(vtvs)0(ts)
的假定v，t 与 ut-s不相关，即E(utvts)0 。
可得出如下结论：
Co(vut,ut1)E(utut1)E[(ut1 vt )ut1] E(ut21 ut1vt ) E(ut21)E(ut1vt ) 2
类似地， 一般地，
C ov(ut,ut 2)E (utut 2)E [ut 1 ut 2vtut 2] E (ut 1,ut 2)2 2