b)导体边界面形状比较规则，具 有一定对称性。
c) 给定边界条件
a）做替代时，所研究空间的泊松方程不能被改变（即自由 点电荷位置、Q 大小不能变）。所以假想电荷必须放在 所求区域之外。
b）不能改变原有边界条件（实际是通过边界条件来确定假 想电荷的大小和位置）。
c）一旦用了假想（等效）电荷，不再考虑原来的电荷分布。 d）坐标系选择仍然根据边界形状来定。
2、在所求区域的介质中若有自由电荷分布，则要求 自由电荷分布在真空中产生的势为已知。 一般所求区域为分区均匀介质，则不同介质分界
面上有束缚面电荷。区域V中电势可表示为两部分
的和，即 0， 0 为已知自由电荷产生
的电势， 不满足 20 ， 为束缚电荷产生 的电势，满足拉普拉斯方程 20
但注意，边值关系还要用 而不能用
Z
0
0
Y(y) Cek2y Dek2y Z(z) Esinkz Fcoskz
2. 柱坐标
2 1 (r) 1 2 2 0 r r r r22 z 2
讨论 (r,) ，令 ( r , ) f( r )g ()
d2g() d2
2g()
0
1 r
d (r dr
df)2
dr r2
面或导体表面上的电荷一般 点电荷时，可以将导体面上感
非均匀分布的，造成电场缺 应电荷分布等效地看作一个或
乏对称性。
几个点电荷来给出尝试解。
3. 电象法概念、适用情况
电象法：
用假想点电荷来等效地 代替导体边界面上的面 电荷分布，然后用空间 点电荷和等效点电荷迭 加给出空间电势分布。
注意：
适用情况：
a) 所求区域有少许几个点电荷， 它产生的感应电荷一般可以 用假想点电荷代替。
（
G (x,x)
0或
0 G(x,x)
常数）
S
n S
2只对 x微商。
格林函数的对称性
G ( x ,x ) G ( x ,x ) （偶函数）
（1）无界空间中的格林函数 x上单位点电荷在无穷空间中激发的电势
( x ) G ( x ,x ) 1
1
40( x x ) 2 ( y y ) 2 ( z z ) 2
S
S
二、拉普拉斯方程在几种坐标系中解的形式
1、直角坐标 22220
x2 y2 z2
（1）令 ( x ,y ,z ) X ( x ) Y ( y ) Z ( z )
d 2X dx 2
X
0
d 2Y dy 2
Y
0
令 k12, k22 k12 k22 k2
X(x) Aek1x Bek1x
d 2Z dz 2
静电场的基本特点：
① J0
②
E,B,,P 等均与时间无关
③不考虑永久磁体（
M0）
④
BH0
（ H 0 , B 0 ，HB0为唯一解）
基本方程： E0 D
一、静电场的标势*
1．静电势的引入 E0
静电场标势 [简称电势]
E
① 的选择不唯一，相差一个常数，只要
知道 即可确定 E
② 取负号是为了与电磁学讨论一致
D
总能量
W1 2E D dV2
2. 若已知 ,总能量为
W1 dV 1 不是能量密度
2V
2
唯一性定理*
区域内 分布已知，满足 2 若V边界上
S
已知，或V边界上
n
S
已知，则
V
内场（
静
电场）唯一确定。
2.区域内含有多个均匀介质区域
区域内 分布已知，满足 2 若V边界上
S
已知，或V边界上
n
S
已知，则
x到 x的距离
r ( x x ) 2 ( y y ) 2 ( z z ) 2
球坐标中
G (x ,x )4 1 0 r 4 01 x x （偶函数）
21 4( x x )
G ( x ,x )
r
显然满足点电荷泊松方程。
（2）上半空间的格林函数
(x)G (x,x)4 1 0[1 rr 1 ]
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二、静电势的微分方程和边值关系
1. 电势满足的方程
泊松方程 2
适用于均 匀介质
2．静电势的边值关系* (1) 两介质分界面
1S 2 S
2n2S1n1S
（2）导体表面上的边值关系
|s常数
n
s
En
三 1. 一．般静电方场程的：能能量量密仅度讨论均w匀介1质E
(
B2
B1 )
0
nˆ
nˆ
E2 E1 0 H2 H1 0
介质1
nˆ
介质2
一侧为导体的边
值关系表达式*
nˆ nˆ nˆ nˆ
D
B 0
E 0 H α
其它边值关系*
sPdSVpdVn P2P1 p
LMdLsJMdSnM2M1 M
sJf
dSd dt
一般静电问题可以通过求
解泊松方程或拉普拉斯方程
得到电场。但是，在许多情
况下非常困难。例如，对于
介质中、导体外存在点电荷 2. 以唯一性定理为依据
的情况虽然可以采用叠加法 在唯一性定理保证下，采
求解，但是求解比较困难。
用试探解，只要保证解满足泊 松方程及边界条件即是正确解。
求解的困难主要是介质分界 特别是对于只有几个自由
L B • d l0S J • d S 安培环路定律*
旋度方第电磁感应定律
i
dB dt
(其 中 BSB d S )
LE idld dt SBdS
Ei
B t
Ei 0 感生电场是有旋无源场
总电场为： EESEi
E B , t
t E 0
位移电流 JD
f (r) 0
g ( ) a 1 s in a 2 c o s
r r f (r)有两个线性无关解
、
单值性要求 (0)(2)，只能取整数，令 n
( r ,) r n ( A n s i n n B n c o s n ) r n ( C n s i n n D n c o s n ) n 1
总磁场的旋度
0B E t 0J00 E t
真空中的电磁场基本方程 ——麦克斯韦方程组
E dl
B
dS
L
S t
L
B
dl
0I
00
d dt
E dS
S
E dS
Q
S
0
B dS 0
S
洛伦兹力公式 fE J B
对于点电荷 FqEqvB
4.介质理论
极化强度 P lim pi V0 V
dVn
V
J2J1
f
t
7.电磁场的能量和能流
单位体积的能量 --- 能量密度
w1 D H B 2
能流密度矢量（玻印亭矢量）：它表示单位时间、
垂直通过单位面积 的能量，用来描述能量的传播。 SH
电磁场能量守恒公式
dW S d dAS wfv
dt
dt
t
第二章 静电场
本章重点： 静电势及其特性、分离变量法、镜象法 本章难点： 分离变量法（柱坐标）、电多极子
Pnm(cos) ——缔合勒让德函数（连带勒让德函数）
若不依赖于 ，即 具有轴对称性，通解为
(R , )n(anR nR b n n 1)P n(co ) P s0 1 P 1(c)o c s o
Pn (cos) -----为勒让德函数
P 2(
co )s1(3co 2s 1 )
2
若具有与球对 ,称 性均，无通关解，：(R)aR b
第一章电磁现象的普遍规律
1. 电荷与电场 2. 电流和磁场 3.麦克斯韦方程组 4.介质理论 5.电磁场的边值关系 6.电磁场的能量和能流
1. 电荷与电场
点电荷Q在r处激发的电场强度为：
E 4Q0r3
r
如果E (电r)荷是 4 在(r某0 )r区r( 域rr3 连)dV 续分布，分布函数是
一个闭合曲面的电通量与曲面内包含的电荷成正比。
r(xx)2(yy)2(zz)2 r(xx)2(yy)2(zz)2
（3）球外空间的格林函数
设点电荷Q = 1 坐标为 P(x,y,z)
R 观 察x 点 为 Px (2 x, y,y z2 ) z2
R x x 2 y 2 z 2
R0 R（ R 相当于题中的 a ）
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E•dS
Q
S •E
(r)
0
0
高斯定理的积分形式* 高斯定理的微分形式*
E0
2. 电流和磁场
电荷守恒定律
I S J • d S t Vd V V td V
电荷守恒定律的积分表达式
•J 0 电荷守恒定律的微分表达式 t
B (x)4 0VJ(x r 3 ) rd V 毕奥—萨伐尔定律
③ 满足迭加原理
EE 1E 1E 2 1E 2 2 12(12)
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2、电势差*
3、电荷分布在有限区几种情况的电势
（1）( P 点)电 荷 Q r d l Q r d Q
P 40 r 3
P 40 r 2 40 r
（2）电荷组
第三章 静磁场
§1 矢势及其微分方程*
1．矢势的引入及意义
B0
A BA
（a）B与 A的关系
S B d S S ( A ) d S L A d l
其中S 为回路L 为边界的任一曲面
二．矢势满足的方程及方程的解
2AJ
（1）稳恒电流磁场矢势满足(矢量)泊松方程