最短距离型问题的建模方法
生活中经常会涉及到许多最优化的数学应用问题，实践上升为理论就需建立正确的数学模型进行求解。

求最短距离是初中数学应用中最赏见的数学建模问题，很具有代表性。

以下是我积累的一些教学资源，仅供参考。

1、 两点之间，线段最短。

（1）举一生活中实例：A 、B 两村在河的两侧，要修一供水管道为两村供水，问河的何处修建水泵站，可使铺设的管道长度最少？
教师引导建立何种数学模型是这一问题解决的关键。

平面几何中我们把两村庄作为点A 、B ，河看作是一条直线l ，连结AB 与直线交于点P ，点P 就是所求的水泵站修建位置。

（2）往下推广，如果点A 、B 在河l 的同侧，如何确定水泵站修建位置呢？
学习完轴对称变换之后，我们可把图2转化为图1的情形来解决。

（3）继续往下推广，初中人教版教材书中有几个这样的习题，如原一条河改为两条河，打台球中如何击中球的设计问题等，都可类似这样去转化解决。

2、不在一线上的三个村庄集中打一眼井修建水塔提供自来水，这眼井
打在何处可使铺设通往三个村庄的自来水主管道长度最少？
教师引导学生建立数模时，可化归为：不在同一直线上的三个点
之间，如何确定一点到这三点的距离之和最短。

这就是著名的费尔马
问题。

（1）三个点连结可构成一等边三角形，不难引导学生发现要求
的点P 是这一等边三角形的中心。

（2）从∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，猜想点P 是锐角三角形
内部一点，与三顶点所成张角为120°时，就是所求点。

（3）把三角形ABC 变为直角三角形及钝角三角形，情形又是怎么样的结果？
3、一只蚂蚁从20×30×40规格纸箱的一角A 处到C ’处取食,求它走
的最短路线的长度?
教师可放开，让学生自我设计，再分组讨论，集思广益，是一很好
的化立体几何问题为平面几何求最短距离的数学建模问题。

学生可
得出不同的答案，如下图： l A B l A B A B
C
以上两个问题以生活中实例为契机，建立一种求最短距离数学问题，其中不乏用到了轴对称、旋转、展开等几何变换，解决过程中很好的体现了数学来源于生活，又应用于生活的建模思想。

包头铁路第二中学
2011-1-26。