19 x 8
1 3 3 ( ) 1 3 ( 1 1) 1 3 1 ( 1 ) 3 . 8 2 2 8 2 2 8 2 2 2 32
20
6.2
反常积分判敛法
（2）
1
xe

x2 2 x
dx
( x ) e t t x 1 dt
∴ I2
1
e t t x 1dt 收敛。
故反常积分 0 e t t x 1dt ，当 x 0 时收敛；当 x 0 时发散。
16

6.2
反常积分判敛法
三、Γ函数
1. 函数的定义
函数 ( x )
0
et t x 1 dt ， x (0,) 称为 Gamma 函数。
0
1
t x 1
dt ， I 2
1
e t t x 1dt ，
先讨论 I1 的敛散性。
①当 x 1 时， I1 是常义积分，收敛的；
15
6.2
反常积分判敛法
1 x t x 1 t t 0) e t lim e 1， ∵ lim( t 0 t 0
②当 0 x 1 时，有 q 1 x 1, l 1,
∴ I1 e t t x 1 dt 收敛。
0
1 0
1
③ x 0 时，有 q 1 x 1 l 1,∴ I1 e t t x 1 dt 发散。
再讨论 I 2 的敛散性。 x 1 t ∵ lim t 2 e t t x 1 lim t 0 ，( p 2 1, l 0) t t e

b a
b
g( x )dx 收敛时， f ( x )dx 也收敛；
a
b a
b
（2）当 f ( x )dx 发散时， g( x )dx 也发散。
a
9
6.2
反常积分判敛法
定理 4 (极限判别法)
设 f ( x ) C[a, b) ， f ( x ) 0 ， x b 为无穷型间断点，
1
∴
0
1 1 sin sin 1 x dx ，从而 x dx 收敛。 0 x x
14
6.2
反常积分判敛法
例4. 讨论反常积分


0
e t t x 1dt 的敛散性。
解：此积分的积分区间为无穷区间，又当 x 1 时， t 0 是被积函数的瑕点。
为此讨论下列两个反常积分：
I1 e t
0
1

解： I 1 xe
x2 2 x
dx
xe
1 2
1( x 1)2
dx e

1
xe
( x 1)2
dx
1 1 令 t ( x 1)2 ，则 x 1 t ， dx t 2 dt ， 2
I e

0
1 1 (1 t )e t t 2 dt 2
b

b
a
dx ( a b) q (b x )
当 q 1 时收敛， 当 q 1 时发散。
2
6.2
反常积分判敛法
一、无穷区间上反常积分的判敛法
定理 1
(比较判别法)
设 f ( x ), g( x ) C[a,) ，且 0 f ( x ) g( x ) （ x [a,) ） ，则
６.２ 反常积分判敛法
一、无穷区间上反常积分的判敛法 二、无界函数反常积分的判敛法 三、Γ函数
6.2
反常积分判敛法
复习：
无穷区间的反常积分 1．反常积分 无界函数的反常积分
2. p积分：

a
dx (a 0) p x
当 p 1 时收敛， 当 p 1 时发散。
dx 3. q积分： a ( x a )q 及
再定义 ( x )
( x 1)
x
， 2 x 1 ，
依次类推，可将 ( x ) 的定义域扩充为除 0 与负整数
t x 1 之外的一切实数，即 e t dt , x0 0 ( x ) ( x 1) , x 0且x 1, 2, 3, x 18
2． 函数的递推公式 ： ( x 1) x ( x )( x 0)
当 x 为正整数 n 时，有
(n 1) n(n) n(n 1)( n 1)
n(n 1)(n 2)
而 (1)
0
2 1 (1) n! (1)
17
收敛
0
dx
11
6.2
反常积分判敛法
例3. 判断下列反常积分的敛散性：
(1)
1
dx (1 x 2 )(1 k 2 x 2 )
0
(k 2 1)
椭圆积分
解： x 1 是瑕点。
(1 x 2 )(1 k 2 x 2 ) 1 1 1 lim , (q , l 2 2 2 x 1 (1 x )(1 k x ) 2(1 k ) 2
定理 2 (极限判别法)
设 f ( x ) C[a,) ， f ( x ) 0 ，且 lim x p f ( x ) l ，则
x
（1）当 p 1 ， 0 l 时，
a
f ( x )dx 收敛； f ( x )dx 发散。
6
（2）当 p 1 ， 0 l 时， a
b b a
∴ b a ，有 I (b) f ( x )dx g( x )dx
a a
g( x )dx A ,
∵ I (b) f (b) 0 ，
∴ I (b) 单调不减且有上界，
故 lim I (b) lim a f ( x )dx 存在，即 a
e t dt 1 ，故 ( n 1) n ! 。
6.2
反常积分判敛法
3． 函数的定义域的扩充
当 1 x 0 ，即 x 1 0 时， ( x 1) 有定义， ( x 1) 从而定义 ( x ) ，1 x 0 ， x 当 2 x 1 ，即 1 x 1 0 时， ( x 1) 有定义，
1
dx 和 I 2

1 sin x
dx 的敛散性
2
x 1 x lim 1， ∵ lim (q , l 1) x 0 x 0 sin x sin x 2
1 2
∴ I1 收敛。
x 1 lim ( x ) lim 1 ∵ ， (q , l 1) x 2 sin x x sin( x)
19
6.2
反常积分判敛法
例．用 函数表示下列积分：
（1） 0 x e

19 x 8
dx
( x ) e t t x 1 dt
0

( x 1) x( x )
解：令 x 8 t ， 8 x 7dx dt ，
1 x 8 12 7 x e dx e x 8 x dx 0 8 0 5 1 1 5 1 3 1 t 2 e t dt ( ) ( 1) 8 2 8 2 8 0
∴ 0

dx dx 发散，故 也发散。 0 1 x 1 x sin x
5
6.2
反常积分判敛法

dx ( a 0) 当 p 1 时收敛；当 p 1 时 由于反常积分 a p x 1 发散。因此在定理 1 中取 g( x ) p ，即可得反常积分的 x 极限判别法。
（1）当
a
g( x )dx 收敛时，
a
f ( x )dx 也收敛；
（2）当
a
f ( x )dx 发散时，
a
g( x )dx 也发散。
3
6.2
反常积分判敛法
a
证明： （1）设
g( x )dx 收敛于 A，∵ 0 f ( x ) g( x ) ，
x 1
x) ∵ lim(1
1 2
1
1 2(1 k 2 )
)
∴
1 0
dx (1 x 2 )(1 k 2 x2 )
收敛。
12
6.2
sin x 解： x 0 和 x 是瑕点，为此讨论下面两个反常积分
0
(2)
反常积分判敛法
1
dx
I1

2
0
1 sin x
b b b

f ( x )dx 收敛。
（2）用反证法由（1）即得。
4
6.2
反常积分判敛法
例 1．判别下列反常积分的敛散性： 1 dx （1） 1 sin 2 dx （2） 0 1 x sin x x
1 1 1 解：(1)∵ 0 sin 2 2 ，而 dx 收敛， 2 1 x x x 1 ∴ 1 sin 2 dx 收敛。 x 1 1 0， （2）∵ 1 x sin x 1 x dx ln(1 x ) ， 而0 0 1 x

f ( x ) dx 收敛，则

即绝对收敛的反常积分 a f ( x )dx 必定收敛。
例 3．判别反常积分 的敛散性。
0
a
f ( x )dx 也收敛。
e ax sin bxdx ( a , b 都是常数，且 a 0 )
0
解：∵ e
∴
0
ax
sin bx e
lim ( x a ) q f ( x ) l 。