饶平二中2010—2011学年度高三理科数学试卷（2）一、填空题(本题4小题，每小题5分，共20分)1．复数22)1(ii += 2．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第n 个图案中有白色地面砖块。

3．若不等式121+-≥+a xx 对一切非零实数x 均成立,则实数a 的最大值是______； 4．已知关于x 的不等式12011x a x a ++-+>（a 是常数）的解是非空集合，则a 的取值范围是 ．二、解答题(本题共6小题，第5，6小题每题12分，第7至第10小题每题14分，共80分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 5．在ABC ∆中，已知222a b c ab +-=，且sin()2cos sin A B A B+=，(1)求C ∠的大小;(2)证明ABC ∆是等边三角形.第1个第2个第3个6．先阅读以下不等式的证明,再类比解决后面的问题： 若123123,,,1a a a R a a a ∈++=,则22212313a a a ++≥.证明:构造二次函数222123()()()()0,f x x a x a x a =-+-+-≥将()f x 展开得：2222123123()32()f x x a a a x a a a =-+++++222212332x x a a a =-+++对一切实数x 恒有()0f x ≥，且抛物线的开口向上222123412()0a a a ∴∆=-++≤，22212313a a a ∴++≥． （1）类比猜想：若1212,,,,1n n a a a R a a a ∈+++=,则22212n a a a +++≥．（在横线上填写你的猜想结论）（2）证明你的猜想结论．7．某社区举办2010年上海世博会知识宣传活动，进行现场抽奖，抽奖规则是：盒中装有10张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“世博会会徽”或“海宝”（世博会吉祥物）图案，参加者每次从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“海宝”卡即可获奖． （Ⅰ）活动开始后，一位参加者问：盒中有几张“海宝”卡？主持人笑说：我只知道若从盒中抽两张都不是“海宝”卡的概率是152，求抽奖者获奖的概率； （Ⅱ）现有甲乙丙丁四人依次抽奖，抽后放回，另一个人再抽，用ξ表示获奖的人数，求ξ的分布列及ξE ．8．把边长为a 的等边三角形铁皮剪去三个相同的四边形（如图阴影部分）后,用剩余部分做成一个无盖的正三棱柱形容器(不计接缝)，设容器的高为x ，容积为()V x . （Ⅰ）写出函数()V x 的解析式，并求出函数的定义域； （Ⅱ）求当x 为多少时，容器的容积最大？并求出最大容积.9．（本小题满分14分）已知数列{}n a 满足：11a =，且对任意∈n N *都有12)n a += （1） 求2a ，3a 的值,猜想数列{}n a的通项公式； （2） 证明你的猜想； （3n n a a ++∈n N *）.10. 已知函数()1ln xf x x ax-=+．(0)a > （1）求函数()f x 的极值点；（2）当1a =时，求()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值；（3）当1a =时，求证对大于1的任意正整数n ，1111ln 234n n>++++．饶平二中2010—2011学年度高三理科数学试卷（2）答题卷姓名：___________ 座号：____________班级：____________ 成绩：_____________ 一、 填空题:(本题4小题，每小题5分，共20分)1. _________2. ________________3. _______________4. _____________ 二、解答题(本题共6小题，第5，6小题每题12分，第7至第10小题每题14分，共80分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)12,,,1n n a R a a a ∈+++=,则221n a a +++≥饶平二中2010—2011学年度高三理科数学试卷（1）参考答案二、解答题(本题共6小题，第5，6小题每题12分，第7至第10小题每题14分，共80分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 一、填空题(本题4小题，每小题5分，共20分) 1. 2.3. 3 4. )1004 , (-∞二、 解答题(本题共6小题，第5，6小题每题12分，第7至第10小题每题14分，共80分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 5、解: (1)222a b c ab +-=,由余弦定理，得 2221cos 22a b c C ab +-== -------3分 又C 为ABC ∆的内角，∴60C =. --------------------4分(2)sin()2cos sin A B A B+=，2cos sin sin()A B A B ∴=+2cos sin sin cos cos sin A B A B A B =+∴， ………………………6分sin()0A B -=∴……………………………………………8分∵,A B 为ABC ∆的内角，A B =∴． ……………………………10分又60C =，∴ABC ∆是等边三角形. -------------------12分另证：sin()sin 2cos sin sin A B CA B B+==， -------------------5分由余弦定理和正弦定理，得222b c a cbc b+-=， ----------------8分整理得，a b =.----------------------------------------10分又60C =，∴ABC ∆是等边三角形. ------------------12分6．解：（1）222121n a a a n+++≥……………………………………4分 （2）证明: 构造二次函数22212()()()()0n f x x a x a x a =-+-++-≥……6分22221212()2()n n f x nx a a a x a a a =-+++++++………………8分2222122()n nx x a a a =-++++………………………… 9分对一切实数x 恒有()0f x ≥，且抛物线的开口向上 ………………10分2221244()0n n a a a ∴∆=-+++≤………………………… 11分即 222121n a a a n+++≥. ……………………………………… 12分 7、解：（1）设“世博会会徽”卡有n 张，由2210n C C =152，得n =4….3分故“海宝”卡有6张，抽奖者获奖的概率为31226=C C …………………………5分（2）ξ可能取的值为0，1，2，3，4，则.…..…..….…6分8116)32()0(4===ξP 8132)32(31)1(314=⋅==C P ξ 8124)32()31()2(2224=⋅==C P ξ81832)31()3(314=⋅==C P ξ 811)31()4(4===ξP …………………………………………9分=ξE 0×8116+1×8132+2×8124+3×818+4×811=3481108=…………………12分法二（1）设“海宝”卡有n 张，由152210210=-C C n得078192=+-n n n=6或n=13（舍去）……………………………………3分故“海宝”卡有6张，抽奖者获奖的概率为3121026=C C …………………………5分（2）)31,4(~B ξ.…………………………………………………6分)4,3,2,1,0()32()31()(44=⋅==-k C k P k kk ξ=ξE 34314=⨯=np8．解：（Ⅰ）因为容器的高为x，则做成的正三棱柱形容器的底边长为()a ----1分.则2())V x a x =- 。

函数的定义域为). --- 4分 （Ⅱ）实际问题归结为求函数()V x 在区间)上的最大值点.先求()V x 的极值点.在开区间)内，22'()6V x ax =----------------6分令'()0V x =，即令2260ax -=，解得12,( x x =舍去).因为1x =在区间)内，1x 可能是极值点. 当10x x <<时，'()0V x >；当1x x <<时，'()0V x <. ------------8分因此1x 是极大值点，且在区间)内，1x是唯一的极值点，所以1x x ==是()V x 的最大值点，并且最大值 31)54f a =时，容器的容积最大为3154a .---------10分9．（本小题满分14分，其中（1）题3分，（2）题7分，（3）题4分）解：（1na +++=211211a a a =∴得412=a 32212111a a a a =+得913=a ……2分 猜想数列{}n a 的通项公式为2.1n a n =………………… 3分 （2）当2≥n 时，12121111+=+++n n n a a a a a ① nn n a a a a a 112121111--=+++②①－ ②得：nn n n na a a a a 1121211-+-=……………… 5分∴21111=--+n n a a ∴ 数列}1{},1{212n n a a -皆为等差数列 ……… 7分 ∴122)1(11112-=⋅-+=-n n a a n n n a a n 22)1(1122=⋅-+=…… 9分综上， n a n=1， ∴2.1n a n =． ………………… 10分（3） 13221++++n n a a a a a a )1(1321211+++⨯+⨯=n n 11131212111+-++-+-=n n 111+-=n 1+=n n……… 13分1)1(221+=+=∴+n nn n a a nn ∴等式成立. ……… 14分10．（1）对函数求导得：()21()0ax f x a ax -'=>，定义域为(0,)+∞，依题意得：210ax ax -=， ∴函数()f x 的极小值点为1x a =（２）当1a =时，21()x f x x -'=，在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，若1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，则()'0f x <，若(]1,2x ∈则()'0f x >，故1x =是函数()f x 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的唯一的极小值点，也就是最小值点，故()()min 10f x f ==；()313ln ln1622ln 2222e f f -⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，因为332.719.68316e >=>，所以()1202f f ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，即()122f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即函数()f x 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上最大值是12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭．综上知函数()f x 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上最大值是1ln2-，最小值是0．（３）当1a =时，由（１）知，函数()1ln xf x x x-=+在[)1,+∞上为增函数．当1n >时令1nx n =-，则1x >，故()()10f x f >=，即111ln ln 01111n n n n n f n n n n n n -⎛⎫-=+=-+> ⎪---⎝⎭-，即1ln 1n n n >-． 故21ln 12>，31ln 23>，…………，1ln 1n n n>-，相加得23111ln ln ln 12123n n n +++>+++-，而2323ln ln ln ln ln 121121n n n n n ⎛⎫+++=⋅⋅⋅= ⎪--⎝⎭，即1111ln 234n n>++++．。