2). 矩阵乘法不满足消去律
AB = AC ⇒ B = C
1 0 0 0 0 0 如 A= , B = 0 1 , C = 0 0 . AB = AC , 但B ≠ C 0 0
3).两个非零矩阵相乘的结果可能是零矩阵 3).两个非零矩阵相乘的结果可能是零矩阵 AB=0时 一般不能得出A 若 AB=0时,一般不能得出A、B中至少有一个为零矩阵的 结论. 结论.
b1 b2 例 3 设矩阵 A = (a1 , a 2 , L,a n ) , B = , 求AB，BA . M b n
解 A1×n Bn×1 = a1b1 + a2b2 + L anbn = ∑ ai bi
n
Bn×1 A1× n
b1a1 b2 a1 = M b a n 1
k =1 i =1 i =1 k =1 i =1
n
n
n
n
n
故 AB 与 BA 的主对角线上的元素之 和相等 .
例6 用矩阵方程表示下式线性方程组
a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + L + a2 n xn = b2 LLLLLLLLLLLLL am1 x1 + am1 x2 + L + amn xn = bm
(1)
( 3)
(λ µ ) A = λ ( µ A)
λ ( A + B) = λ A + λ B
矩阵相加与数乘矩阵合 起来 ,统称为矩阵的线性运算 . 统称为矩阵的线性运算
二 、矩阵与矩阵的乘法
1 引例 设有线性变换 y1 = a11x1 + a12x2 + a13x3 y2 = a21x1 + a22x2 + a23x3 (1)
解
a11 b1 x1 a 21 x2 b2 令b = , x = , A = M M M a x b m1 n m
a12 a 22 M am 2
L L L
a1n a2n M a mn
2 定义 3 设 A = ( a ij ) 是 m × s 矩阵 , B = ( bij ) 是 s × n 矩阵 , 那么
规定矩阵 A与B的乘积是一个 m × n矩阵 C = (cij ), 记作 C = AB , 其中
cij = ai1b1 j + ai 2b2 j + L ais bsj = ∑ aik bkj (i = 1, L , m; j = 1, L , n )
很容易验证得
Ax=b
三、矩阵的幂乘
1、定义 设A是一个n阶矩阵，对于正整数k, A 是一个n阶矩阵，对于正整数k,
k
= 1 L3 AA 4 A 42
k个
称为A 称为A的k次幂。 2、幂乘的运算规律：任意正整数 k , l ,有 幂乘的运算规律：
A A =A
k l
k +l
, A
k
( )
k
k l
=A
kl
k =1 s
பைடு நூலகம் 一般地， 一般地，有
A = ( a ij ) m× s
cij
B = (bij ) s×n
( a i1
C = AB = ( cij ) m×n
cij = a i1b1 j + a i 2 b2 j + L + a is bsj
b 1 j b2 j a i 2 L a is ) M bsj
C m×n = Am× s Bs ×n
例1
有 A3× 2 ，B 2× 3 ，C 3× 3 , 则下列运算可行的是 ( a ) AC ( b ) BC ( c ) ABC
(
).
( d ) AB − BC
例2 有Am×n , Bn×m ( m ≠ n),则下列运算结果为 n阶方阵的是 ( ( a ) BA (b) AB (c ) ( BA)T ( d ) ( AB )T
矩阵乘法的运算法则与数的乘法的运算法则的不同点
1). 矩阵乘法不满足交换律
AB ≠ BA
0 0 1 1 2 1 0 0 , 但 AB = ≠ BA = 如 A= ，B = 2 1 0 2 4 2 2 4
AB是A左乘 ，BA是A右乘 。显然，AB能成立， 是 左乘 左乘B， 是 右乘 右乘B。显然， 能成立 能成立， BA不一定能成立 不一定能成立
x1 x 2 解 设与 A 可交换的 2 阶方阵为 B = . 由 AB = BA , 即 x3 x 4 1 1 x1 x2 x1 x2 1 1 x1 + x 2 x1 + x3 x2 + x4 x1 = , 即 = x 0 1 x3 x4 x3 x4 0 1 x 3 + x4 x3 x4 3 由矩阵相等的定义,得 由矩阵相等的定义, x1 + x 3 = x1 x 4 = x1 x 2 + x 4 = x1 + x 2 ⇒ x3 = 0 得 x3 = x3 x 2 为任意取值 x 4 = x3 + x 4 x x 故与A可交换的全体 阶方阵为B = 1 2 , 其中x1, x2为任意常数 2 . 0 x1
x1 = b11t1 + b12 t 2 x 2 = b21t1 + b22 t 2 x3 = b31t1 + b32 t 2
( 2)
若想求出从t1 , t 2到y1 , y2的线性变换, 可将(2)式代入(1)式, 便得
y1 = (a11b11 + a12b21 + a13b31 )t1 + (a11b12 + a12b22 + a13b32 )t 2 y = (a b + a b + a b )t + (a b + a b + a b )t (3) 21 11 22 21 23 31 1 21 12 22 22 23 32 2 2
).
例3
1 计算 2
0 1
3 0
4 − 1 − 1 2 2 1
1 1 0 3
0 3 1 4
解
1.4+0.(-1)+3.2+-1.1 2.4+1.(-1)+0.2+2.1
1.1+0. 1+3.0+-1.3 1.0+0.3+3.1+-1.4 2.0+1.3+0.1+2.4
1 如 A= 0 0 0 , B = 0 0 0 0 , 则 AB = 0 1 0 , 而 A ≠ 0 , B ≠ 0. 0
对于某些特殊的矩阵可能有AB=BA,这时称 、B是可交换的矩阵 这时称A、 是可交换的矩阵 对于某些特殊的矩阵可能有 这时称
但一般来说 ( AB) ≠ A B ,
k
例题 设A, B为n阶方阵 , E为n阶单位矩阵 ,以下式子哪些成立 ? 1) ( A ± B ) 2 = A2 ± 2 AB + B 2 3) ( A ± E )2 = A2 ± 2 AE + E 2 2) A2 − B 2 = ( A + B )( A − B ) 4) A2 − E 2 = ( A + E )( A − E )
以上式子成立的原因是 什么? 不成立的原因是什么? 在什么条件下不成立的 式子可以成立 ?
一般地 , 你能推导出公式 ( A + E ) = ?
n
(A + E) = A
n
n
1 n −1 + Cn A
2 n− 2 + Cn A
n −1 + L + Cn A +
E
3. 求矩阵 A的 n次幂的方法 . 方法一 数学归纳法 先计算A2 , A3等, 发现Ak 的规律, 再用数学归纳法证明之 . 1 1 n 例1 设 A = ,求A 0 1 2 1 1 1 1 1 2 同理, A3 = A2 A = 1 3 2 1 1 解 A = 0 1 = 0 1 0 1 = 0 1 0 1 1 n 猜想 n A = 0 1
n
即 cii = ∑ aik bki (i = 1 , 2 , L, n), 于是矩阵C的主对角线上的元素之和为
i =1
∑ cii = ∑ ( ∑ aik bki ) 同理, 可得D = BA的主对角线上的元素之 和为
i =1 k =1
n
n
k =1
n
n
k =1
∑ d kk = ∑ ( ∑ b ki a ik ) = ∑ ( ∑ a ik b ki ) = ∑ c ii
i =1
b1a 2 b2 a 2 M bn a 2
L L L
b1a n b2 a n M bn a n n× n
注意 : 不能认为矩阵 BA 有公因子 .即不能分别把 bi 从 矩阵的每行中提出来 .
1 1 可交换的全体 2阶矩阵 . 例 4 求可与 A = 0 1 分析 设与 A可交换的矩阵为 B, 由AB = BA列出对应元 素的方程求解 B的元素 .
1.1+1.2+0.0+2.3
2
×
3
9 = 9
−2 9
− 1 11 2×3