【高考数学培优专题】第十五讲排列组合与二项式定理A 组一、选择题1．(2017全国2卷理)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种【答案】D【解析】22234236C C A =,故选D。

2．将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有()A ．12种B ．18种C ．36种D ．54种答案B【解析】先放1、2的卡片有C 13种，再将3、4、5、6的卡片平均分成两组再放置，有224222C A A ⋅种，故共有123418C C ⋅=种．3．甲、乙、丙、丁和戊5名同学进行数学应用知识比赛，决出第1名至第5名（没有重名次）.已知甲、乙均未得到第1名，且乙不是最后一名，则5人的名次排列情况可能有（）A ．27种B ．48种C ．54种D ．72种【答案】C[【解析】由题意，甲、乙都不是第一名且乙不是最后一名．乙的限制最多，故先排乙，有3种情况；再排甲，也有3种情况；余下3人有33A 种排法．故共有543333=⋅⋅A 种不同的情况,故选C.4．(2017年全国3卷理)(x +y )(2x -y )5的展开式中x 3y 3的系数为（）A．-80B．-40C．40D．80【答案】C【解析】由()52x y -展开式的通项公式：()()5152rrrr T C x y -+=-可得：当3r =时，()52x x y -展开式中33x y 的系数为()33252140C ⨯⨯-=-当2r =时，()52y x y -展开式中33x y的系数为()22352180C ⨯⨯-=，则33x y的系数为804040-=.本题选择C 选项.4．已知5的展开式中含32x 的项的系数为30，则a =（）B. C.6D-6【答案】D.【解析】r rr rr xa C T -+-=2551)1(，令1=r ，可得6305-=⇒=-a a ，故选D.5．某班准备从甲、乙等七人中选派四人发言，要求甲乙两人至少有一人参加，那么不同的发言顺序有（）A ．30B ．600C ．720D ．840【答案】C【解析】4475720A A -=．二、填空题6．（2017天津卷理）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个.（用数字作答）【答案】1080【解析】413454541080A C C A +=6．371()x x+的展开式中5x 的系数是.（用数字填写答案）【答案】35【解析】由题意，二项式371()x x+展开的通项372141771()()r rr r r r T C x C x x--+==，令2145r -=，得4r =，则5x 的系数是4735C =.7．若21(n x x-展开式的二项式系数之和为128，则展开式中2x 的系数为______.【答案】35【解析】由题意2128n=，7n =，展开式通项为271431771()()(1)rrr r r r r T C x C x x--+=-=-，令1432r -=，4r =，故2x 的系数为447(1)35C -=．三、解答题8．给图中A 、B 、C 、D 、E 、F 六个区域进行染色,每个区域只染一种颜色,且相邻的区域不同色.若有4种颜色可供选择,则共有多少不同的染色方案.A BCD E F （第7题图）【解析】先染ABC 有34A 种,若A,F 不相同,则F,E,D 唯一;若AF 相同,讨论EC,若EC 相同,D 有2种,则3412A ⨯⨯,若EC 不相同,D 有1种,则3411A ⨯⨯.所以一共有34A +3412A ⨯⨯+3411A ⨯⨯=96种.9．从5名女同学和4名男同学中选出4人参加四场不同的演讲,分别按下列要求,各有多少种不同选法?(用数字作答)(1)男、女同学各2名.(2)男、女同学分别至少有1名.(3)在(2)的前提下,男同学甲与女同学乙不能同时选出.【解析】(1)224544()1440C C A =所以男、女同学各2名共有1440种选法.(2)13223145454544()2880C C C C C C A ++=所以男、女同学分别至少有1名共有2880种选法,(3)2112434344[120()]2376C C C C A -++=所以在(2)的前提下,男同学甲与女同学乙不能同时选出共有2376种选法.10．在二项式412nx x ⋅的展开式，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，求有理数都互不相邻的概率【解析】展开式通项为14()2rn rrr nT C x x-+=⋅2342n r r rnC x--=⋅⋅（0r n ≤≤），由题意1100222222n n n C C C --⋅=⋅+⋅，8n =．所以当0,4,8r =时1634r-为整数，相应的项为有理数，因此题二项式展开式中共有9项，其中有3项是有理数，6项是无理数，所求概率为636799512A A P A ==．11．设20sin 12cos 2x a x dx π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎰，求()622x x x ⎛⋅+ ⎝的展开式中常数项。

【解析】()200sin 12cos sin cos (cos sin )202x a x dx x x dx x x πππ⎛⎫=-+=+=-+= ⎪⎝⎭⎰⎰，6()x x =6-的展开式的通项为663166((1)2r r r r r r r r T C C x ---+==-⋅⋅，所以所求常数项为3633565566(1)22(1)2T C C --=-⋅⋅+-⋅332=-．B 组二、选择题1、二项式(1)()nx n N ++∈的展开式中2x 的系数为15，则n =（）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】C【解析】二项式()1nx +的展开式的通项是1C r r r n x +T =，令2r =得2x 的系数是2C n ，因为2x 的系数为15，所以2C 15n =，即2300n n --=，解得：6n =或5n =-，因为n +∈N ，所以6n =，故选C ．2、用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（）（A ）144个（B ）120个（C ）96个（D ）72个【答案】B 【解析】据题意，万位上只能排4、5.若万位上排4，则有342A ⨯个；若万位上排5，则有343A ⨯个.所以共有342A ⨯343524120A +⨯=⨯=个.选B.3、已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（）A.122B ．112C ．102D ．92【答案】D【解析】因为(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以73n n C C =，解得10=n ，所以二项式10(1)x +中奇数项的二项式系数和为9102221=⨯.4、若n⎛⎫的展开式中的二项式系数之和为64，则该展开式中3y 的系数是（）A ．15B ．15-C ．20D ．20-【答案】A【解析】由题意得264,6n n ==，因此3363622166r r rr r r r T C C x y---+==，从而333,42r r -==，因此展开式中3y 的系数是426615.C C ==选A.二、填空题5、53x ⎛ ⎝的展开式中8x 的系数是________(用数字作答).【答案】52【解析】二项展开式通项为7153521551()()2k k kkk k k T C x C x --+==，令71582k-=，解得2k =，因此8x 的系数为22515()22C =.6、已知55104)1()1()1)(2(++⋅⋅⋅+++=-+x a x a a x x ，则=++531a a a ____.[来源:]【答案】1【解析】在已知式中，令0x =得40123452(1)2a a a a a a +++++=⨯-=①，令2x =-得0123450a a a a a a -+-+-=②，①－②得1352()2a a a ++=，所以1351a a a ++=．三、解答题7、将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，若只有5种颜色可供使用,则不同的染色方法总数有多少种。

【解析】四棱锥为P ABCD -.下面分两种情况，即①C 与B 同色.各个点的不同的染色方法：点p 有15C 种；点A 有14C ；点B 有13C 种.点D 有13C 种.共有11115433180C C C C =种不同的方法.②C 与B 不同色讨论.点p 有15C 种；点A 有14C ；点B 有13C 种.C 与B 不同色有12C 种；点D 有12C 种.共有1111154322240C C C C C =种不同的方法.综上，共有180240420+=种不同的染色方法.8、在二项式n 的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列.（1）求展开式中的常数项；（2）求展开式中各项的系数和.【解析】（1）写出二项式的展开式的特征项，当x 的指数是1,2,3时，把1,2,3代入整理出这些项的系数的值即：00122111()(()222n n nC C C -,,.（2）根据上一问得出的结论令1x =即可.解题的关键是写出展开式的特征项，利用特征项的特点解决问题，注意代数式的整理，特别是当分母上带有变量时注意整理.解：展开式的通项为2311((0,1,22n rr r r n T C x r -+=-=,…,)n 由已知：00122111()()()222nn n C C C -,,成等差数列，∴121121824nn C C n ⨯=+∴=, （1）5358T =（2）令1x =，各项系数和为12569、在二项式nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-213的展开式中，恰好第五项的二项式系数最大．（1）求展开式中各项的系数和；（2）求展开式中的有理项．【解析】在展开式中，恰好第五项的二项式系数最大，则展开式有9项，∴8=n ．∴二项式8321⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 中，令1=x ，展开式中各项的系数和为25612118=⎪⎭⎫⎝⎛-．（2）通项公式为3488838121()21()(rr r r rr r x C x x C T --+-=-=，r=0，1，2， (8)当348r -为整数，即8,5,2=r 时，展开式是有理项，有理项为第3、6、9项，即72102823=⋅⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x C T ；4458564721---=⋅⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x C T ；888889264121---=⋅⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x C T ．10、已知()(23)nf x x =-展开式的二项式系数和为512，且2012(23)(1)(1)n x a a x a x -=+-+-(1)n n a x ++- .（1）求2a 的值；（2）求123n a a a a ++++ 的值.【解析】（1）根据二项式的系数和即为2n，可得25129nn =⇒=，因此可将()f x 变形为99()(23)[2(1)1]f x x x =-=--，其二项展开式的第1r +为9919(1)2(1)(09)r r r r r T C x r --+=--≤≤，故令7r =，可得727292(1)144a C =-=-；（2）首先令令901,(213)1x a ==⨯-=-，再令令2x =，得901239(223)1a a a a a +++++=⨯-= ，从而1239012390()2a a a a a a a a a a ++++=+++++-= .（1）由二项式系数和为512知，9251229nn ==⇒=2分，99(23)[2(1)1]x x -=--，∴727292(1)144a C =-=-6分；（2）令901,(213)1x a ==⨯-=-，令2x =，得901239(223)1a a a a a +++++=⨯-= ，∴1239012390()2a a a a a a a a a a ++++=+++++-= 12分．C 组三、选择题1、25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为()（A ）10（B ）20（C ）30（D ）60【答案】C【解析】在25()x x y ++的5个因式中，2个取因式中2x 剩余的3个因式中1个取x ，其余因式取y,故52x y的系数为212532C C C =30，故选C.2、某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（）A.72B.120C.144D.3解：先排歌舞，有33A 种不同排法，再插入小品和相声，若小品插入两边，则不合题意；若两个小品插入中间的两个空，×^×^×，则1个相声可以插入中间和两边6个位置的任意一个，有2126A A 种；若两个小品插入2个中间位置中的1个和两边中任意一个位置，则1个相声只能插入2个中间位置中的另一个，有224A ，由加法原理和乘法原理得，共有32123262(4)120A A A A +=。