统计与统计案例A 级 基础一、选择题1．某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一1 000人、高二1 200人、高三n 人中抽取81人进行问卷调查，已知高二被抽取的人数为30，那么n ＝( )A ．860B ．720C ．1 020D ．1 0402．为规范学校办学，某省教育厅督察组对某所高中进行了抽样调查．抽到的班级一共有52名学生，现将该班学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知7号、33号、46号同学在样本中，那么样本中还有一位同学的编号应是( )A ．13B ．19C ．20D ．513．“关注夕阳、爱老敬老”——某爱心协会从2013年开始每年向敬老院捐赠物资和现金，下表记录了第x 年(2013年是第一年)与捐赠的现金y (单位：万元)的对应数据，由此表中的数据得到了y 关于x 的线性回归方程y ^＝mx ＋0.35，则预测2019年捐赠的现金大约是( )A.5万元C ．5.25万元D ．5.5万元4．如图所示的茎叶图记录了甲乙两组各5名工人某日的产量数据(单位：件)．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x 和y 的值分别为( )A.3，5 B．5，5 C．3，7 D．5，75．(2019·衡水中学检测)某超市从2019年甲、乙两种酸奶的日销售量(单位：箱)的数据中分别随机抽取100个，并按(0，10]，(10，20]，(20，30]，(30，40]，(40，50]分组，得到频率分布直方图如下：记甲种酸奶与乙种酸奶的日销售量(单位：箱)的方差分别为s21，s22，则频率分布直方图(甲)中的a的值及s21与s22的大小关系分别是()A．a＝0.015，s21<s22B．a＝0.15，s21>s22C．a＝0.015，s21>s22D．a＝0.15，s21<s22二、填空题6．(2019·全国卷Ⅱ)我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为________．7．在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示：若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是________．8．某新闻媒体为了了解观众对央视《开门大吉》节目的喜爱与性别是否有关系，随机调查了观看该节目的观众110名，得到如下的列联表：分类女男总计喜爱402060不喜爱203050总计6050110________的前提下(约有________的把握)认为“喜爱该节目与否和性别有关”．参考附表：P(K2≥k0)0.0500.0100.001k0 3.841 6.63510.828，其中n (参考公式：K2＝（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）＝a＋b＋c＋d)三、解答题9．微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，它支持发送语音短信、视频、图片和文字，一经推出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人(被称为微商)．为了调查每天微信用户使用微信的时间，某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性用户各50名，将男性、女性使用微信的时间分成5组：(0，2]，(2，4]，(4，6]，(6，8]，(8，10]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．(1)根据女性频率分布直方图估计女性使用微信的平均时间；(2)若每天玩微信超过4小时的用户列为“微信控”，否则称其为“非微信控”，请你根据已知条件完成2×2的列联表，并判断是否有90%的把握认为“微信控”与“性别”有关？10．(2018·全国卷Ⅰ)某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位：m3)和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量[0，0.1)[0.1，0.2)[0.2，0.3)[0.3，0.4)[0.4，0.5)[0.5，0.6)[0.6，0.7)频数1324926 5日用水量[0，0.1)[0.1，0.2)[0.2，0.3)[0.3，0.4)[0.4，0.5)[0.5，0.6) 频数15131016 5布直方图：(2)估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m3的概率；(3)估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？(一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)．B 级 能力提升11．对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩(单位：分)进行统计得到如下折线图，下面是关于这两位同学的数学成绩分析．①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故平均成绩为130分；②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间[110，120]内；③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关；④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步． 其中正确的结论，有________(填写正确的序号)．12．(2019·天一大联考)某机构为了了解不同年龄的人对一款智能家电的评价，随机选取了50名购买该家电的消费者，让他们根据实际使用体验进行评分．(1)设消费者的年龄为x ，对该款智能家电的评分为y .若根据统计数据，用最小二乘法得到y 关于x 的线性回归方程为y ^＝1.2x ＋40，且年龄x 的方差为s 2x ＝14.4，评分y 的方差为s 2y ＝22.5.求y 与x 的相关系数r ，并据此判断对该款智能家电的评分与年龄的相关性强弱；(2)按照一定的标准，将50名消费者的年龄划分为“青年”和“中老年”，评分划分为“好评”和“差评”，整理得到如下数据，请判断是否有99%的把握认为对该智能家电的评价与年龄有关．分类 好评 差评 青年 8 16 中老年206附：线性回归直线y ^＝b ^x ＋a ^的斜率b ^＝；相关系数r ＝ .独立性检验中的K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（a ＋c ）（b ＋d ）（c ＋d ），其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .临界值表：P (K 2≥k 0)0.050 0.010 0.001 k 03.8416.63510.828A 级 基础一、选择题1．解析：依题意，分层抽样比为301 200＝140.所以81＝140(1 000＋1 200＋n )，解得n ＝1 040.答案：D2．解析：由系统抽样的原理知，抽样的间隔为52÷4＝13，故抽取的样本的编号分别为7，7＋13，7＋13×2，7＋13×3，即7号，20号，33号，46号．所以样本中还有一位同学的编号为20号． 答案：C3．解析：由统计表格，知x －＝4.5，y －＝3.5， 所以3.5＝4.5m ＋0.35，则m ＝0.7， 因此y ^＝0.7x ＋0.35,当x ＝7时，y ^＝0.7×7＋0.35＝5.25(万元)， 故2019年捐赠的现金大约是5.25万元． 答案：C4．解析：由茎叶图，可得甲组数据的中位数为65，从而乙组数据的中位数也是65，所以y ＝5.由乙组数据59，61，67，65，78，可得乙组数据的平均值为66，故甲组数据的平均值也为66，从而有56＋62＋65＋74＋70＋x5＝66，解得x ＝3.答案：A5．解析：由(0.020＋0.010＋0.030＋a ＋0.025)×10＝1，得a ＝0.015.根据频率分布直方图，乙中较稳定，则s 21>s 22.答案：C 二、填空题6．解析：x －＝10×0.97＋20×0.98＋10×0.9910＋20＋10＝0.98.则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为0.98. 答案：0.987．解析：依题意，可将编号为1～35号的35个数据分成7组，每组有5个数据．在区间[139，151]上共有20个数据，分在4个小组内，每组抽取1人，共抽取4人．答案：48．解析：根据列联表中数据，可得K 2的观测值k ＝110×（40×30－20×20）260×50×60×50≈7.822>6.635，所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下(约有99%的把握)认为“喜爱该节目与否和性别有关”．答案：0.01 99% 三、解答题9．解：(1)女性平均使用微信的时间为：0．16×1＋0.24×3＋0.28×5＋0.2×7＋0.12×9＝4.76(小时)． (2)由已知得：2(0.04＋a ＋0.14＋2×0.12)＝1， 解得a ＝0.08. 由题设条件得列联表男性 38 12 50 女性 30 20 50 总计6832100所以K 2＝（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）＝100（38×20－30×12）250×50×68×32≈2.941>2.706.所以有90%的把握认为“微信控”与“性别”有关． 10．解：(1)所求的频率分布直方图如下：(2)根据以上数据，该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m 3的频率为0.2×0.1＋1×0.1＋2.6×0.1＋2×0.05＝0.48，因此该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m 3的概率的估计值为0.48.(3)该家庭未使用节水龙头50天的日用水量的平均数为x －1＝150(0.05×1＋0.15×3＋0.25×2＋0.35×4＋0.45×9＋0.55×26＋0.65×5)＝0.48.该家庭使用了节水龙头后50天的日用水量的平均数为 x －2＝150(0.05×1＋0.15×5＋0.25×13＋0.35×10＋0.45×16＋0.55×5)＝0.35.估计使用节水龙头后，一年可节省水(0.48－0.35)×365＝47.45(m 3)．B 级 能力提升11．解析：①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，最高130分，平均成绩低于130分，①错误；②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间[110，120]内，②正确；③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关，③正确；④乙同学在这连续九次测验中第四次、第七次成绩较上一次成绩有退步，故④不正确．答案：②③12．解：(1)相关系数r ＝＝＝b ^·50s 2x 50s 2y＝1.2×1215＝0.96. 故对该款智能家电的评分与年龄的相关性较强．(2)由2×2列联表得K 2＝50×（8×6－20×16）224×26×28×22≈9.624>6.635. 故有99%的把握认为对该智能家电的评价与年龄有关．。