《二次函数与一元二次方程、一元二次不等式》复习题汇编
【知识梳理】：
1.二次函数与一元二次方程关系非常密切，可以相互转化，若已知函数值，可以利用一元二次方程的知识求自变量的值。

2.从“形”的方面看，函数2
y ax bx c =++的图像与 轴交点的横坐标，即为方程
20ax bx c ++=的解；从“数”的方面看，当二次函数2y ax bx c =++的函数值为
时，相应的自变量的值即为方程2
0ax bx c ++=的解。

3.抛物线2
y ax bx c =++与x 轴有 个， 个， 个交点，相应的一元二次方程
20ax bx c ++=有两个不相等的实数根，两个相等的实数根，没有实数根；反过来，如
果一元二次方程2
0ax bx c ++=有两个不相等的实数根，两个相等的实数根，没有实数
根，那么抛物线2
y ax bx c =++与x 轴有 个， 个， 个交点。

4.二次函数2
y ax bx c =++与一元二次方程2
的关系如下：
5.直线y=kx+b 与抛物线y ax bx c =++有0个、1个、2个交点，则由方程y ax bx c =++；
y=kx+b 联立并消元后的一元二次方程分别满足24b ac -＜0、24b ac -=0、2
4b ac -＞0.
6.二次函数与一元二次不等式的关系也非常密切，当c bx ax ++2
＞0时，则相应的二次函
数图象2y ax bx c =++上的点位于x 轴的上方；当c bx ax ++2
＜0时，则相应的二次函
数图象2
y ax bx c =++上的点位于x 轴的下方。

7.抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2
与x 轴两交点为
()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故12b
x x a
+=-
、12c x x a
=
； ()()a a ac b a c a b x x x x x x x x AB ∆=
-=-⎪⎭
⎫
⎝⎛-=--=
-=
-=44422
212
212
2121【典型例题】
例1．已知函数()()()()
2
2
113513x x y x x ⎧--⎪
=⎨--⎪⎩≤＞，则使y=k 成立的x 值恰好有三个，则k 的值为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
例2．已知函数12)3(2++-=x x k y 的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是
A.4<k
B.4≤k
C.4<k 且3≠k
D.4≤k 且3≠k
例3.给出定义：设一条直线与一条抛物线只有一个公共点，且这条直线与这条抛物线的对称轴不平行，就称直线与抛物线相切，这条直线是抛物线的切线．有下列命题：
①直线y=0是抛物线y=x 2的切线、②直线x=﹣2与抛物线y=x 2 相切于点（﹣2，1） ③直线y=x+b 与抛物线y=x 2相切，则相切于点（2，1）、④若直线y=kx ﹣2与抛物线y=x 2 相切，则实数k=。

其中正确命题的是（ ）
A ． ①②④
B ． ①③
C ． ②③
D ． ①③④
例4.如图，把抛物线y=x 2平移得到抛物线m ，抛物线m 经过点A （﹣6，0）和原点O （0，0），它的顶点为P ，它的对称轴与抛物线y=x 2交于点Q ，则图中阴影部分的面积为 ． 例5．已知：关于x 的方程012)31(2
=-+--a x a ax
（1）当a 取何值时，二次函数12)31(2
-+--=a x a ax y 的对称轴是x=-2； （2）求证：a 取任何实数时，方程012)31(2
=-+--a x a ax 总有实数根.
例６．已知函数y=mx 2－6x ＋1（m 是常数）．
⑴求证：不论m 为何值，该函数的图象都经过y 轴上的一个定点； ⑵若该函数的图象与x 轴只有一个交点，求m 的值．
例７.如图是二次函数y=ax 2+bx+c 的部分图象，由图象可知不等式ax 2+bx+c ＜0的解集是（ ）
A ．﹣1＜x ＜5
B ．x ＞5
C ．x ＜﹣1且x ＞5
D ．x ＜﹣1或x ＞5
例８．某种水果原销售价为每千克60元，后采取降价销售，发现每天的利润y 与每千克降价x 元之间满足函数关系：2
20260600y x x =-++，现要求每天的利润不低于840元，又不超过1400元，请结合函数图像分析售价应在什么范围？
O
x
y
A
图
x = 2
B
【中考演练】
1.教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的关系为21
(4)312
y x =-
-+，由此可知铅球推出的距离是 m 。

2.向空中发射一枚炮弹，经x 秒后的高度为y 米，且时间与高度的关系为y=ax 2+bx+c （a≠0）．若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（ ）
A ．第8秒
B ．第10秒
C ．第12秒
D ．第15秒
3．从地面竖立向上抛出一个小球，小球的高度h （单位：m ）与 小球运动时间t （单位：
s ）之间的关系式为2530t t h -=，那么小球从抛出至回落到地面所需要的时间是：
（A ）6s （B ）4s （C ）3s （D ）2s 4.小汽车刹车距离s （m ）与速度v （km/h ）之间的函数关系式为2
100
1v s =
，一辆小汽车速度为100km/h ，在前方80m 处停放一辆故障车，此时刹车 有危险（填“会”或“不会”）.
5.已知抛物线y=k （x+1）（x ﹣）与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，则能使△ABC 为等腰三角形的抛物线的条数是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
6.如图是二次函数y=ax 2+bx+c 的部分图象，由图象可知不等式ax 2+bx+c ＜0的解集是（ ）
7．如图5，已知抛物线c bx x y ++=2
的对称轴为2=x ，点A ，B 均在抛物线上，且AB 与x 轴平行，其中点A 的坐标为（0，3），则点B 的坐标为
A ．（2，3）
B ．（3，2）
C ．（3，3）
D ．（4，3） 8．已知抛物线2y ax bx c =++（a ＜0）过A （2-，0）、O （0，0）、B （3-，1y ）、 C （3，2y ）四点，则1y 与2y 的大小关系是 A ．1y ＞2y
B ．1y 2y =
C ．1y ＜2y
D ．不能确定
9.平面直角坐标系中，若平移二次函数y=(x-2009)(x-2010)+4的图象，使其与x 轴交于两点，且此两点的距离为1个单位，则平移方式为
A ．向上平移4个单位
B ．向下平移4个单位
C ．向左平移4个单位
D ．向右平移4个单位
10．抛物线772
--=x kx y 的图象和x 轴有交点，则k 的取值范围是 （ ）
A ．4
7
-
≥k B ．47-
≥k 且0≠k C ．4
7->k D ．4
7
-
>k 且0≠k
11． 设二次函数y=x 2+bx+c ，当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0，那么c 的取值范围是（ ）
A ．c=3
B ．c≥3
C ．1≤c≤3
D ．c≤3
12．抛物线2
28y x x m =++与x 轴只有一个公共点，则m 的值为 ；顶点为 13．定义[,,a b c ]为函数2
y ax bx c =++的特征数, 下面给出特征数为 [2m ，1 – m , –1– m ] 的函数的一些结论：
① 当m = – 3时，函数图象的顶点坐标是(31，3
8
)；
② 当m > 0时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于
2
3
； ③ 当m < 0时，函数在x >4
1
时，y 随x 的增大而减小；
④ 当m ≠ 0时，函数图象经过同一个点. 其中正确的结论有 A. ①②③④ B. ①②④ C. ①③④ D. 14．如图，点A ，B 的坐标分别为（1, 4）和（4, 4）,抛物线a y =(段AB 上运动，与x 轴交于C 、D 两点（C 在D 的左侧），点C 则点D 的横坐标最大值为( )
A ．－3
B ．1
C ．5
D 15．某公司销售一种产品，其年利润z 万元关于销售单价x 元之间的函数关系满足
2
11044020
z x x =-
+-，若该公司希望该种产品一年的销售获利不低于40万元，请结合图象帮助该公司确定销售单价的范围？ 1632x --的图象与直线y=2x-1有两个交点，求k 的取值范围．
17．已知二次函数322
++-=x x y 的图象与直线y=kx 的两个交点关于原点对称，求k 的值．。