r >R, 取高斯面s1
R E外 2 0 r
2
E
r <R,取高斯面s2
E内 r 2 0
R
r
[例 ] 实验表明，在靠近地面处有相当强的电场，电场强度 100 V/m ；在离地面 E 垂直于地面向下，大小约为 1.5 km 高的地方， E 也是垂直于地面向下的，大小 约为 25 V/m。(1) 求从地面到此高度大气中电荷的 平均体密度。 (2) 如果地球上的电荷全部分布在表 面，求地面上的电荷面密度。 解： (1) 设电荷的平均体密度为 ，取圆柱形高斯面(侧 面垂直底面，底面 DS 平行地面)，上下底面处的场 强分别为 E1 和 E2，则通过高斯面的电通量为：
B
2
P
Ez dEz (sin 2 sin1 ) 4 0 x
O
x
过程要求，公式不必记，会用
A
1
无限长带电直线： E x 2 o x
半无限长带电线直线（若在B端） Ex Ez 4 o x 4 o x
2、均匀带电圆环和圆盘轴线上一点场强 过程要求，公式不必记，会用 特例无限大带电平面
[例]
一根不导电的细塑料杆，被弯成近乎完整的圆，圆的 半径为 0.5 m，杆的两端有 2 cm 的缝隙，3.1210-9 C 的正电荷均匀地分布在杆上，求圆环中心处电场强度 的大小和方向。
解： 圆心处的电场强度应等于完整的均匀圆周电荷和相同 电荷线密度填满缝隙的负电荷的电场强度的叠加，由 于前者在圆心处的电场强度为零，所以圆心处的电场 强度为
2、高斯定理+对称性求 结果 1 均匀带电球面 r<R, E=0 r > R, E
Q 4 r
2
Q RE Eo
∝ r -2
O
r
2:均匀带电球体的场强（ R , q ） 球外场点，r > R
E外 4 0 r 2 q
E
球内场点, r < R
E内 r 3 0
r R
3、无限长圆柱体(ρ)的场强
R
O
S2
图示为一具有球对称性分布的静电场的 E ～r 关系曲 线。请指出该静电场是由下列哪种带电体产生的。 (A) 半径为 R 的均匀带电球面。 (B) 半径为 R 的均匀带电球体。 (C)半径为 R、电荷体密度 =Ar (A为常数) 的非均匀 带电球体。 (D) 半径为 R、电荷体密度 =A/r (A为常数) 的非均 匀带电球体。
0 b E 2 0
E
x
b/2
b 2 0
E
O

b/2
b 2 0
x
[例] 设在半径为 R 的球体内，电荷分布是球对称的，电 荷体密度为 = kr (r R )，k 为正的常量，r 为 球心到球内一点的距离。求其电场强度分布。 解： 在球内取球壳电荷元 dq，
dq dV 4 π r d r dq kr 4π r 2dr
O
Q E
d
=
O
Q+q
+
O
d -q
=
0
+
d 2 4π 0 r
d Qd E 2 4π 0r 4π 0r 2 2 πr d
9 109 3.12 10 9 0.02
2
0.5 2 π 0.5 0.02 0.72 V m
方向指向负电荷，即指向缝隙。
E
E∝r2 O
E 1 r2
R
r
图示为一具有球对称性分布的静电场的 E ～r 关系曲线。 请指出该静电场是由下列哪种带电体产生的。 (A) 半径为 R 的均匀带电球面。 (B) 半径为 R 的均匀带电球体。 (C) 半径为 R、电荷体密度 =Ar (A为常数) 的非均匀带电 球体。 (D) 半径为 R、电荷体密度 =A/r (A为常数) 的非均匀带 电球体。 E
图示为一具有球对称性分布的静电场的 E ～r 关系曲 线。请指出该静电场是由下列哪种带电体产生的。 (A) 半径为 R 的均匀带电球面。 (B) 半径为 R 的均匀带电球体。 (C)半径为 R、电荷体密度 =Ar (A为常数) 的非均匀 带电球体。 (D) 半径为 R、电荷体密度 =A/r (A为常数) 的非均 匀带电球体。
E
E∝r2 C O
E 1 r2
R
r
图示为一具有球对称性分布的静电场的 E ～r 关系曲线。 请指出该静电场是由下列哪种带电体产生的。 (A) 半径为 R 的均匀带电球面。 (B) 半径为 R 的均匀带电球体。 (C) 半径为 R、电荷体密度 =Ar (A为常数) 的非均匀带电 球体。 (D) 半径为 R、电荷体密度 =A/r (A为常数) 的非均匀带 电球体。 E
E
D O R
1 r2
r
三、组合
o
1
o o

a o R

x
2
[例 ] 实验表明，在靠近地面处有相当强的电场，电场强度 100 V/m ；在离地面 E 垂直于地面向下，大小约为 1.5 km 高的地方， E 也是垂直于地面向下的，大小 约为 25 V/m。(1) 求从地面到此高度大气中电荷的 平均体密度。 (2) 如果地球上的电荷全部分布在表 面，求地面上的电荷面密度。
σ> 0
E 2 0
[例] 一长为 L 的均匀带电直线，电荷线密度为 l。求直线的 延长线上距 L 中点为 r (r > L/2) 处的电场强度。
[例] 一带电细线弯成半径为 R 的半圆形，电荷线密度 = l0cos。 求圆心 O 处的电场强度。
[例] 一长为 L 的均匀带电直线，电荷线密度为 l。求直线的
[例] 两无限长同轴圆筒，半径分别为 R1 和 R2 (R1 < R2)， 单位长度带电量分别为 + 和 -。求其电场强度分布。
例一厚度为b 的无限大均匀带电厚壁，电荷体密度为ρ ，求其电场强度分布并画出E-x 曲线。x 为垂直于壁面 的坐标，原点在厚壁的中心。
[例] 设在半径为 R 的球体内，电荷分布是球对称的，电 荷体密度为 = kr (r R )，k 为正的常量，r 为 球心到球内一点的距离。求其电场强度分布。
分析对称性：关于 y 轴对称的两 电荷元所带电量等值异号，所以 在 O 点 y 方向 Ey = 0；
O dE

0d 2 x 方向 dE x dE cos cos 4 π 0 R 0 π 2 0 E x dE x 0 cos d 4 π 0 R 8 0 R 0 ˆ E i 8 0 RLeabharlann E1 4π r12 E1

1
0
0
kπ r14
kr 2 ˆr E内 e 4 0
4 0
kr12
(2) 求 E外 = ? 在球外作半径为 r2 的高斯面，应用高斯定理，
2 E2 4 π r2

k
0
πR
4
r2
E2
kR4
2 4 0 r2
kR4 ˆ E外 e 2 r 4 0r
延长线上距 L 中点为 r (r > L/2) 处的电场强度。
解： 如图所示，电荷元 dq = dx 在 P 点的电场强度为 r
dE
O
L
x
dx
P
x
dE
dx
4π 0 r x 2
L2 L 2
整个带电直线在 P 点的电场强度为
E dE
dx
4π 0 r x
E
O
1 r2
r
R
[例]
一根不导电的细塑料杆，被弯成近乎完整的圆，圆的 半径为 0.5 m，杆的两端有 2 cm 的缝隙，3.1210-9 C 的正电荷均匀地分布在杆上，求圆环中心处电场强度 的大小和方向。
[例] 一无限大均匀带电薄平板，电荷面密度为 。在平 板中部有一半径为 r 的小圆孔。求通过圆孔中心 并与平板垂直的直线上的电场强度分布。
dq
方向由 O 点指向远离 dq dq= rd/sin 在 O 点的场强为
a
d
dq
r
O

2a
dq rd dE 2 2 d 4π 0 r 4π 0 r sin rd d d 方向由 O 点指向远离 dq 4π 0 r sin 4π 0 a
dq
[例] 如图所示，两根平行长直线间距为 2a，一端用半圆形 线连起来。全线上均匀带电。试证明在圆心 O 处的电 场强度为零。 证： 以 表示线上的电荷线密度，如图所示，考虑对顶的 d 所对应的电荷 dq 和 dq 在 O 点 的电场强度， dq = ad 在 O 点的电场强度为
ad d dE 2 2 4π a 4π 0a 4π 0a 0
电场
两个重点：矢量积分和高斯定律求场强 E F 一、从库仑定律出发，引出场强定义 E q Q ˆ r 点电荷的电场 E 2 4 0 r 场强叠加原理
典型带电体场强的分布 1、 有限长均匀带电直线的电场 静电场
E x dE x (cos 1 cos 2 ) 4 0 x
由于 dE = dE 且方向相反，所以合场强为零。 又由于此结果与 角无关，所以任一对与对顶的 d 相应的电荷元在 O 点的电场强度都为零，所 以全线电荷在 O 点的总电场强度也等于零。
二、从库仑定律出发，引出高斯定理
E dS
S
q
i
i内
0
要求：
1、证明过程看懂，意义明确
2

方向沿 x 轴正向。
4π 0 r 2 L2 4

L

[例] 一带电细线弯成半径为 R 的半圆形，电荷线密度 = l0cos。 求圆心 O 处的电场强度。 解： 长度为 dl 的圆弧带电量为 dq = dl = Rd，它在 O 点产生的场强 y dq 0 cos Rd dE dl dl 2 2 4π 0 R 4π 0 R dE d