吉林大学2016~2017学年第一学期《概率论与数理统计B 》试卷答案2017年1月9日一、填空题 （每小题3分，满分18分，把答案填在题中横线上）1.设B A ,是同一个试验中的两个事件,且22.0)(,61.0)(=-=B A P A P ,则=)(AB P 0.61 .2.抛掷两颗均匀的骰子，已知两颗骰子点数之和为7点，则其中一颗为1点的概率为 1/3 .3.设连续性随机变量X 的分布函数在某区间的表达式为112+x ，其余部分为常数，写出此分布函数的完整表达式时当时，当）0,0111x (2<⎪⎩⎪⎨⎧≥+=x x x F ．4.设二维随机变量)(Y X ，在区域D 上服从均匀分布，D 由曲线2,1,0,1e x x y xy ====所围成，则),Y X （关于X 的边缘概率密度在e x =点的值为 1/2e ．5．设随机变量n X X X ,,,21 相互独立，并且服从同一个分布，期望为μ，方差为2σ，令∑==ni i X X 1n 1，则=）X D (n2σ ． 6．设总体),,(~2σμN X 从总体X 中抽取样本n X X X ,,,21 ，样本均值为X ，样本方差为2S，总体2σμ和均未知，则μ的置信水平为α-1的置信区间为))1(,)1(22nS n t X nS n t X -+--αα（ ．二、选择题（每小题3分，满分18分．每小题只有一个选项符合题目要求，把正确选项前的字母填在题后括号内）1.设C B A 、、三个事件两两相互独立，则C B A 、、相互独立的充分必要条件是（ A ）)(A 独立与BC A )(B 独立与C A AB )(C 独立与AC AB )(D 独立与C A B A2.设)(x F 为随机变量X 的分布函数，在下列概率中可表示为)0()(--a F a F 的是（ C ）)(A {}a X P ≤ )(B {}a X P > )(C {}a X P = )(D {}a X P ≥3.设两个相互独立的随机变量Y X 与分别服从正态分布)11()10(，和，N N ,则（ B ）（A ）{}210=≤+Y X P （B ）{}211=≤+Y X P （C ）{}210=≤-Y X P （D ）{}211=≤-Y X P 4．在假设检验中，原假设0H ，备择假设1H ，则（ B ）称为第二类错误（A ）0H 为真，接受1H（B ）0H 不真，接受0H（C ）0H 为真，拒绝1H （D ）0H 不真，拒绝0H5.设随机变量X 的数学期望100)(=X E ,方差10)(=Y D ，则由切比雪夫不等式{}≥<<12080X P （ D ）)(A 0.025 )(B 0.5 )(C 0.96 )(D 0.9756．设321,,X X X 是来自总体)(2σμ，N 的一个样本，其中μ为已知，2σ为未知，则下列各式中不是统计量的为（ D ）（A ）μ22-X （B ）231X e X X +μ（C ）),,m ax (321X X X （D ）)(13212X X X ++σ三、（按照要求解答下列各题，每题10分，满分50分） 1.在电报通讯中，发送端发出的是由“”和“-”两种信号组成的序列。

由于受到随机干扰，接收端收到的是“”和“-”及“不清”三种信号组成的序列。

假设发送“”和“-”的概率分别为0.7和0.3；在已知发送“”时，接收到“”、“-”和“不清”的概率分别为0.8、0.1和0.1；在已知发送“-”时，接收到“”、“-”和“不清”的概率分别为0.2、0.7和0.1.求（1）接收到信号“”、“-”和“不清”的概率；（2）在接收到信号“不清”的条件下，发送信号为“-”的概率。

解: （1）由全概率公式.............5分（2）由贝叶斯公式得3.01.03.01.07.01.03.0)|()()|()()|()()|(23213123232=⨯+⨯⨯=+=A B P A P A B P A P A B P A P B A P ..........10分2．设连续型随机变量X 的分布函数为+∞<<∞-+=x x B A x F ,arctan )(求（1）常数A 、B ．（2）随机变量X 落在)1,1-（内的概率．（3）X 的概率密度函数． 解：（1）得1)(,0)(=+∞=-∞F F ，πππ121,1)2(,0)2(===+=-+B A B A B A ，得..............3分 （2）21)4121()4121()1()1()11(=⋅--⋅+=--=<<-ππππF F x P ........... .....6分（3）X 的概率密度函数+∞<<-∞+='=x x x F x f ,)1(1)()(2π.........10分 3．已知随机变量Y X 和的概率分布分别为并且{}.10==XY P（1）求二维随机变量),Y X （的概率分布（只写出计算结果表格）；1.01.03.01.07.0)(28.07.03.01.07.0)(62.02.03.08.07.0)|()()|()()(322121111=⨯+⨯==⨯+⨯==⨯+⨯=⋅+⋅=B P B P A B P A P A B P A P B P（2）判别Y X 和是否相互独立。

解：（1）（2）由Y X 和的联合分布律和边缘分布律可知 {}{}{}812141014101=⨯==⋅-===-=Y P X P Y X p ，， 所以Y X 和不相互独立。

4．已知随机变量Y X 、分别服从)40(),31(22，，N N ,23,21YX Z XY +=-=设ρ. 求（1）Z 的数学期望与方差； （2）Z X 与的相关系数；（3）Z X 与是否相互独立？为什么？解：（1）由16091====DY EY DX EX ，，，，得312131)23(=+=+=EY EX Y X E EZ ，3241314191),(314191)23(2)2()3()23(=-+=++=++=++=+=DY DX DY DX Y X Cov DY DX YX Cov Y D X D Y X D DZ XY ρ， ................4分 (2)0332131),(21),(31)23,(),(=-=+=+=+=DY DX DX Y X Cov X X Cov Y X X Cov Z X Cov XY ρ.................8分所以0=XY ρ（3）由于二维正态随机变量相关系数为零和相互独立两者是等价的结论，可知Z X 与是相互独立的。

......................10分5. 设总体X 的概率密度为0,010,)(1>⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=-θθθ其他x xx f 为未知参数，n X X X ,,,21 是来自总体X 的样本，求θ的矩估计量和最大似然估计量。

解：由于EX μ===⎰10................3分令,11A =μ即21ˆ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=XX θθ的矩估计量为解得 .................................5分 设n x x x ,,,21 为样本值，似然函数为112111)(),()(-=-==∏∏∏===θθθθθθni i n ini n i i x x x f L ....................7分取对数，得∑=+=ni i x L 1ln 1-ln 2n)(ln ）（θθθ 令0ln 2112)(ln 1=+⋅=∑=ni ixn d L d θθθθ解得θ的最大似然估计值为∑==ni i x n 122)ln (ˆθ，θ的最大似然估计量为∑==ni i X n 122)ln (ˆθ.........................10分四、按照要求解答下列各题（第一小题8分，第二小题6分,满分14分）1．已知随机变量X 的概率密度为e ,0,()0,0,x x f x x -⎧>=⎨≤⎩求随机变量2Y X =的概率密度函数．解：设Y 的分布函数为{}()Y F y P Y y =≤.当0y <时，{}{}2()0Y F y P Y y P X y =≤=≤=，.........................4分当0y ≥时，{}{}2()(YXX F y P Y y P Xy FF =≤=≤=-，因此Y的概率密度函数为0,()0,0.Y y f y y >=<⎩..........................8分2．设总体()12~0,,，，，n X U X X X θ)2(≥n 是取自总体X 的样本，已知θ的两个无偏估计量为),max(1ˆ2ˆn 2121X X X nn X ，，，+==θθ，判别21ˆˆθθ与哪个更有效? 解：nn n X D X D X D D 3124)(4)(4)2()ˆ(221θθθ=====， .................3分 Y nn X X X Y n 1ˆ),,,,max(221+==θ则记 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<=-其他由00)(1θθy ny y f nn Y ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==+==⇒⎰⎰--θθθθθθ02122012)(1)(n n dy ny y Y E n ndy ny y Y E n n n n[])2()()()1()()1()ˆ(22222222+=-+=+=n n Y E Y E n n Y D n n D θθ于是.更有效比所以因为121222ˆˆ),ˆ(3)2()ˆ(θθθθθθD nn n D =<+=.................6分。