15
分配律(证明)
• A(BC)=(AB)(AC)
证明: x, xA(BC)
xA x(BC)
(定义)
xA (xB xC)
(定义)
(xAxB)(xAxC) (命题逻辑分配律)
(xAB)(xAC)
(定义)
x(AB)(AC)
(定义)
A(BC)=(AB)(AC)
2020/9/12
《集合论与图论》第4讲
(AB)C=A(BC) (AB)C=A(BC)
• 分配律(distributive laws)
A(BC)=(AB)(AC) A(BC)=(AB)(AC)
2020/9/12
《集合论与图论》第4讲
3
集合恒等式(关于与 、续)
• 吸收律(absorption laws)
A(AB)=A A(AB)=A
2020/9/12

16
零律(证明)
• A =
证明: x, xA xA x xA 0 0 A =
(定义) (定义) (命题逻辑零律)
2020/9/12
《集合论与图论》第4讲
17
排中律(证明)
• A~A = E
证明: x, xA~A
xA x~A
(定义)
xA xA
(~定义)
xA xA
(定义)
1
2020/9/12
《集合论与图论》第4讲
11
对偶原理(举例、续)
• 零律 • 同一律
A E =E A =
A =A A E=A
2020/9/12
《集合论与图论》第4讲
12
对偶原理(举例、续)
•
ABA
ABA
•
A
E A
2020/9/12
《集合论与图论》第4讲
13
集合恒等式证明(方法)
• 逻辑演算法:
(命题逻辑排中律)
A~A = E
2020/9/12
《集合论与图论》第4讲
18
集合演算法(格式)
题目: A=B. 证明: A
=…(????) =B A=B. #
题目: AB. 证明: A
…(????) B AB. #
2020/9/12
《集合论与图论》第4讲
19
吸收律(证明)
• A(AB)=A
• 对偶原理: 对偶式同真假. 或者说, 集合恒
等式的对偶式还是恒等式.
2020/9/12
《集合论与图论》第4讲
10
对偶原理(举例)
• 分配律
A (B C) = (A B ) (A C ) A (B C) = (A B ) (A C )
• 排中律
A ~A=E
• 矛盾律
A ~A=
2020/9/12
《集合论与图论》第4讲
22
集合恒等式证明(举例)
• 基本集合恒等式 • 对称差()的性质 • 集族({A}S)的性质 • 幂集(P( ))的性质
2020/9/12
《集合论与图论》第4讲
23
补交转换律
• A-B = A~B
证明: x, xA-B
xA xB xA x~B x A~B
7
集合恒等式(关于-)
• 补交转换律(difference as intersection)
A-B=A~B
2020/9/12
《集合论与图论》第4讲
8
集合恒等式(推广到集族)
• 分配律
B ({A }S ) (B A ) S
B ({A }S ) (B A ) S
• 德●摩根律 ~ ({A }S ) (~ A ) S
离散数学集合证明课件
2020/9/12
《集合论与图论》第4讲
1
集合恒等式(关于与)
• 等幂律(idempotent laws)
AA=A AA=A
• 交换律(commutative laws)
AB=BA AB=BA
2020/9/12
《集合论与图论》第4讲
2
集合恒等式(关于与、续)
• 结合律(associative laws)
利用逻辑等值式和推理规则
• 集合演算法:
利用集合恒等式和已知结论
2020/9/12
《集合论与图论》第4讲
14
逻辑演算法(格式)
题目: A=B. 证明: x,
xA … (????) xB
A=B. #
题目: AB. 证明: x,
xA … (????) xB
AB. #
2020/9/12
《集合论与图论》第4讲
《集合论与图论》第4讲
4
集合恒等式(关于~)
• 双重否定律(double complement law)
~~A=A
• 德●摩根律(DeMorgan’s laws)
~(AB)=~A~B ~(AB)=~A~B
2020/9/12
《集合论与图论》第4讲
5
集合恒等式(关于与E)
• 零律(dominance laws)
AE=E A=
• 同一律(identity laws)
A=A AE=A
2020/9/12
《集合论与图论》第4讲
6
集合恒等式(关于,E)
• 排中律(excluded middle)
A~A = E
• 矛盾律(contradiction)
• 全补律
A~A =
~ = E
~E =
2020/9/12
《集合论与图论》第4讲
~ ({A }S ) (~ A ) S
B ({A }S ) (B A ) S
B ({A }S ) (B A ) S
2020/9/12
《集合论与图论》第4讲
9
对偶(dual)原理
• 对偶式(dual): 一个集合关系式, 如果只含
有, ,~,, E,=, , 那么, 同时把与互 换, 把与E互换, 把与互换, 得到的式子 称为原式的对偶式.
A(AB) = A
2020/9/12
《集合论与图论》第4讲
21
集合演算法(格式,续)
题目: A=B. 证明: () …
AB () …
AB A = B. # 说明: 分=成与
题目: AB. 证明: AB (或AB)
=…(????) = A (或B) AB. # 说明: 化成= AB=AAB AB=BAB
A-B = A~B. #
2020/9/12
《集合论与图论》第4讲
24
德●摩根律的相对形式
• A-(BC)=(A-B)(A-C)
• A-(BC)=(A-B)(A-C)
证明: A-(BC)
= A~(BC)
(补交转换律)
= A(~B~C)
(德●摩根律)
= (AA)(~B~C) (等幂律)
A
B
证明: A(AB)
= (AE)(AB) (同一律)
= A(EB)
(分配律)
= AE
(零律)
=A
(同一律)
A(AB)=A
2020/9/12
《集合论与图论》第4讲
20
吸收律(证明、续)
• A(AB) = A
A
B
证明: A(AB)
= (AA)(AB) (分配律)
= A(AB)
(等幂律)
=A
(吸收律第一式)