p(t) UI cos[1 cos(2t 2u )] UI sin sin(2t 2u )
二、单个元件的功率
1、电阻R： z＝ u － i＝0
瞬时功率： P(t) = UI [1+cos2(t+u)]
平均功率： P = IU =
1 2
ImUm
=
RI2
=
GU2
无功功率： Q=0
p(t) UI cos[1 cos(2t 2u )] UI sin sin(2t 2u )
= 1265W
+
• I
• I1
3
•
U
j4 –
• I2 –j5
Z=
–j4(3+ j4) 3+ j4–j5
=
16 –j12 3 –j1
= 20 – 36.87° = 6.325 3.162 – 18.43°
– 18.45°
功率因数 = cosz = cos 18.45° = 0.9487（超前） 网络平均功率 P = UI cosz = 1200.05W
6.5 正弦稳态功率和能量
• 1 基本概念
• 5 单口网络的无功功率
• 2 电阻平均功率
• 3 电感、电容的平均 储能
• 4 单口网络的平均功 率 功率因数
• 6 复功率
• 7 正弦稳态最大功率传 递定理
一、 单口网络的平均功率（有功功率)、 无功功率、视在功率、功率因数
1、单口网络的瞬间功率：
设任何时刻，单口网络上电流、电压关联参考方向, 表示为
UI
CU 2
I2
C
2Wc
电感和电容的平均功率等于零。
物理意义是什么？
正弦稳态电路的无功功率：对任何一个正弦稳态电路，其无功 功率为所有电感、电容的无功功率之和。即
Q = QL + QC = 2(WL –WC)
WL = WL1 + WL2 + ••• + WLm WC = WC1 + WC2 + ••• + WCn
同的是所有的量都必须是相量。
•I =
U• s Zs + ZL
•
=
Us
( Rs+RL) + j(Xs+XL)
I=
Us
( Rs+RL)2 + (Xs+XL)2
• Zs +I
U• s
–
+ U• ZL L–
负载上得到的有功功率（即负载电阻获得的功率）为
PL = I2 RL =
(
Rs+RL)2
Us2 + (Xs+XL)2
2、电感L： z＝ u －i＝90º
瞬间功率：p(t) = UIsin2(t+u)
平均功率： P =0
无功功率：QL
UI
sin 90o
UI
LI
2
U2
L
2WL
3、电容C： z＝ u －i＝－90º
瞬间功率：p(t) = -UIsin2(t+u)
平均功率： P = 0
无功功率：QL
UI
sin(90o )
= Us2 4RL
总结：当 ZL = RL + jXL = Rs – jXs = Zs* 时（共轭匹配），负载获 得的功率最大。
如果阻抗模值可变而阻抗角不变，那么在满足什么条件下获 得最大功率？
当负载阻抗角不变，而模值可以改变时，它的模等于电源内 阻抗的模时可以获得最大功率，称为模匹配。
ZL Zs
u(t) = Umcos(t+u)，i(t) = Imcos(t+i)，则网络吸收的功率为
p(t) = i(t)•u(t) = UmImcos(t+u)cos(t+i)
=
UmIm 2
[cos(u–i) +
cos(2t+u+i)]
= UI [cos + cos(2t+u+i)]
UI cos UI cos cos(2t 2u ) UI sin sin(2t 2u )
Z=3+
RL
目标：选择 RL和 XL，使 PL 最大。 第一步，使分母第二项为零，即XL = – Xs ；
由此可得
PL =
Us2 RL ( Rs+RL)2
第二步，令以上关于RL的导数等于零，或直接引用第四章中的 结论，即： RL = Rs 时，负载上获得的功率最大。
此时
PLmax =
Us2 RL (2RL)2
更简单的方法：由 U 和 I 之间的相位关系可得 S• = U• I•* = 100 0°×12.65 –18.5° = 1265 –18.5° W = 1200 + j401.4W
即 P = 1200W，Q = 401.4W 功率因数 = cosz = cos 18.5° = 0.9483（超前）
无功功率的物理意义：电容和电感之间交换电磁能量，体现在 无功功率相互抵消。理想情况下，两者正好相等（?）。
三、复功率
视在功率相量：
• S
=
U• I•*=
UI(cos
z
+
jsin
z)
= P +jQ = Scos + jSsin (V•A)
6.5.4 正弦稳态最大功率传递定理
与第四章中讨论的电阻电路最大功率传递定理类似，所不
UI cos[1 cos(2t 2u )]UI sin sin(2t 2u )
不可逆部分
可逆部分
p(t) UI cos[1 cos(2t 2u )] UI sin sin(2t 2u )
2、单口网络的平均功率： P
1 T
T
0
pdt
UI
cos
（W）
平均功率亦称有功功率，是电路实际消耗的功率。
3、单口网络的无功功率： Q UI sin （var） 无功功率反映电路中储能元件与外电路或电源之间能量交换。
“无功”表示能量在往复交换过程中没有被消耗掉。
4、视在功率： S=UI＝ P2 Q2 （VA) 视在功率反映电力设备的最大负载能力。
5、功率因数： = cos＝P/S （超前或滞后） 功率因数表示传输系统中有功功率所占的比例。
P 也是电阻上消耗的功率，由此也可得 P = I12R = 202×3 = 1200W
功率因数 = cos = P = 0.9486 S
例 求图所示电路电源对电路提供的功率（有功功率）。
3 +
2H
– 10 2 cos2tV
4
1 8
F
• I
3
+
j4
– 10 0°
4 –j4
解 利用 P = UI cos z 计算，只要算得阻抗 Z 即可，
Rs2
X
2 s
负载获得的最大功率为，
PL m ax
2
Zs[1 cos(s L )]
例已知 ZR=3，ZL=j4，ZC= –j5，I•=12.65 18.5°
•I1=20 –53.1°，I•2=20 90°，U• =100 0°。求单口网络的功 率 P及视在功率、功率因数。
解：视在功率 S 根据 已知条件可得： S = UI = 100×12.65