∵点 E 是 BC 的中点 ∴BE=CE 在△CFE 和△BME 中 FE ME CEF BEM CE BE ∴△CFE≌△BME（SAS） ∴CF=BM，∠F=∠M ∵BG=CF ∴BG=BM
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∴∠1=∠M ∴∠1=∠F ∵AD∥EF ∴∠3=∠F，∠1=∠2 ∴∠2=∠3 即 AD 为△ABC 的角平分线 6. 解：如图，延长 AF 交 BC 的延长线于点 G
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2. 证明：如图，延长 AD 到 E，使 DE=AD，连接 BE
在△ADC 和△EDB 中 CD BD ADC EDB AD ED ∴△ADC≌△EDB（SAS） ∴AC=EB，∠2=∠E ∵AD 平分∠BAC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠E ∴AB=BE ∴AB=AC 3. 证明：如图，延长 CD 到 F，使 DF=CD，连接 BF
4. 如图，在△ABC 中，D 是 BC 边的中点，E 是 AD 上一点， BE=AC，BE 的延长线交 AC 于点 F． 求证：∠AEF=∠EAF．
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5. 如图，在△ABC 中，AD 交 BC 于点 D，点 E 是 BC 的中点， EF∥AD 交 CA 的延长线于点 F，交 AB 于点 G，BG=CF． 求证：AD 为△ABC 的角平分线．
=52.7 =2.3
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7. 证明：如图，延长 EG 交 CD 的延长线于点 M
由题意，∠FEB=90°，∠DCB=90° ∴∠DCB+∠FEB=180° ∴EF∥CD ∴∠FEG=∠M ∵点 G 为 FD 的中点 ∴FG=DG 在△FGE 和△DGM 中 1 M FGE DGM FG DG ∴△FGE≌△DGM（AAS） ∴EF=MD，EG=MG ∵△FEB 是等腰直角三角形 ∴EF=EB ∴BE=MD 在正方形 ABCD 中，BC=CD ∴BE+BC=MD+CD 即 EC=MC ∴△ECM 是等腰直角三角形 ∵EG=MG ∴EG⊥CG，∠3=∠4=45° ∴∠2=∠3=45° ∴EG=CG
∵AD∥BC ∴∠3=∠G ∵点 F 是 CD 的中点 ∴DF=CF 在△ADF 和△GCF 中 3 G AFD GFC DF CF ∴△ADF≌△GCF（AAS） ∴AD=CG ∵AD=2.7 ∴CG=2.7 ∵AE=BE ∴∠1=∠B ∵AB⊥AF ∴∠1+∠2=90°
∠B+∠G=90° ∴∠2=∠G ∴EG=AE=5 ∴CE=EGCG
三角形全等之倍长中线（讲义）
一、知识点睛
1. “三角形全等”辅助线： 见中线，要__________，________之后______________．
2. 中点的思考方向：
延长 AD 到 E，使 DE=AD， 延长 MD 到 E，使 DE=MD，
连接 BE
连接 CE
延长FE交BC的延长线于点G
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二、精讲精练
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【参考答案】
1. （1）证明：如图，
延长 AD 至 E，使 DE=AD，连接 BE ∴AE=2AD ∵AD 是△ABC 的中线 ∴BD=CD 在△BDE 和△CDA 中 BD CD 1 2 ED AD ∴△BDE≌△CDA（SAS） ∴BE=AC 在△ABE 中，AB+BE>AE ∴AB+AC>2AD （2）解：由（1）可知 AE=2AD，BE=AC 在△ABE 中， ABBE<AE<AB+BE ∵AC=3，AB=5 ∴53<AE<5+3 ∴2<2AD<8 ∴1<AD<4
6. 如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，点 E 在 BC 上，点 F 是 CD 的中点，且 AF⊥AB，已知 AD=2.7，AE=BE=5，求 CE 的长．
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7. 如图，在正方形 ABCD 的边 CB 的延长线上取一点 E，△FEB 为等腰直角三角形，∠FEB=90°，连接 FD，取 FD 的中点 G， 连接 EG，CG． 求证：EG=CG 且 EG⊥CG．
CB 平分∠DCE 4. 证明：如图，延长 AD 到 M，使 DM=AD，连接 BM
∵D 是 BC 边的中点
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∴BD=CD 在△ADC 和△MDB 中 CD BD ADC MDB AD MD ∴△ADC≌△MDB（SAS） ∴∠1=∠M，AC=MB ∵BE=AC ∴BE=MB ∴∠M=∠3 ∴∠1=∠3 ∵∠3=∠2 ∴∠1=∠2 即∠AEF=∠EAF 5. 证明：如图，延长 FE 到 M，使 EM=EF，连接 BM
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∴CF=2CD ∵CD 是△ABC 的中线 ∴BD=AD 在△BDF 和△ADC 中
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BD AD ADC BDF DF DC ∴△BDF≌△ADC（SAS） ∴BF=AC，∠1=∠F ∵CB 是△AEC 的中线 ∴BE=AB ∵AC=AB ∴BE=BF ∵∠1=∠F ∴BF∥AC ∴∠1+∠2+∠5+∠6=180° 又∵AC=AB ∴∠1+∠2=∠5 又∵∠4+∠5=180° ∴∠4=∠5+∠6 即∠CBE=∠CBF 在△CBE 和△CBF 中 CB CB CBE CBF BE BF ∴△CBE≌△CBF（SAS） ∴CE=CF，∠2=∠3 ∴CE=2CD
1. AB+AC >2AD． （2）若 AB=5，AC=3，求 AD 的取值范围．
2. 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，且 BD=CD． 求证：AB=AC．
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3. 如图，CB 是△AEC 的中线，CD 是△ABC 的中线，且 AB=AC． 求证：①CE=2CD；②CB 平分∠DCE．