数学期望与方差的运算性质
教程
一：复习公式
离散随机变量(),(,)(,)(,)(,)i j ij i j ij i j
P X Y a b p Eh X Y h a b p ==→=∑
连续随机变量()()()2
,~,(,)(,),R f x y Eg g x y f x y dxdy ξηξη→=⎰⎰
二：期望运算性质
()E aX bY c aEX bEY c ++=++
应用例题、袋中装有m 个不同色小球，有返回取球n 次，出现X 种不同颜色，求EX 解答：用i X ⎧=⎨⎩
１第ｉ颜色球在n次取球中出现０第ｉ颜色球在n次取球中没出现，则 m X X X ++= 1
由于()()1101,111,n n
i i P X P X m m ⎛⎫⎛⎫==-==-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()111/n
i EX m =--，
()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--==++=∑=n m i i m m m EX X X E EX 11111
三、协方差：若,EX EY θμ==，()()cov(,)X Y E X Y θμ=--⎡⎤⎣⎦称为随机变量X 、Y 的协方差.covariance
()()cov(,)X Y E X Y θμ=--⎡⎤⎣⎦
()()()()()
()()()()()()EY
EX XY E XY E XY E Y E X E XY E E Y E X E XY E Y X XY E ⨯-=-=+--=+--=+-+-+=+--=θμθμθμμθθμ
θμθμθμθμθμ 例题：害虫一生产卵个数X 服从参数为λ的Ｐｏｉｓｓｏｎ分布，若每个卵能孵化成下一代的概率都是p ，假定害虫后代个数为Y ，求cov(,)X Y 解答：(,)()()(1)!i
i j
j j i j i e P X i Y j P X i P Y j X i C p p i λλ-≥-=======-
!(1)(1)!!()!!()!
i i
j i j j i j e i e p p p p i j i j j i j λλλλ----=-=--- 000(,)(1)!()!i
i
j i j
i j i i j e EXY ijP X i Y j ij p p j i j λλ-∞∞-=≤======--∑∑∑∑
000(,)(1)!()!i
i
j i j i j i i j e EX iP X i Y j i p p j i j λλ-∞∞-=≤======--∑∑∑∑
000(,)(1)!()!i
i
j i j i j i i j e EY jP X i Y j j p p j i j λλ-∞∞-=≤======--∑∑∑∑ clear
clc
syms i j p lamda positive
EXY=symsum(symsum(i*j*exp(-lamda)*lamda^i/gamma(j+1)/gamma(i-j+1)*p^j*(1-p)^(i-j),j,0,i),i,0,inf)
EX=symsum(symsum(i*exp(-lamda)*lamda^i/gamma(j+1)/gamma(i-j+1)*p^j*(1-p)^(i-j),j,0,i),i,0,inf)
EY=symsum(symsum(j*exp(-lamda)*lamda^i/gamma(j+1)/gamma(i-j+1)*p^j*(1-p)^(i-j),j,0,i),i,0,inf)
cov=simple(EXY-EX*EY);
cov
EXY =
p*lamda*(lamda+1)
EX =
lamda
EY =
lamda*p
cov =
lamda*p
可以看到，协方差不为０
例题：P180 3.4.8
()[0,1][0,2],~(,)1/3()(,)f x y x y I x y ξη⨯=+，求(238)Var X Y -+ syms x y positive
moment1=int(int((2*x-3*y+8)*1/3*(x+y),x,0,1),y,0,2);
moment2=int(int((2*x-3*y+8)^2*1/3*(x+y),x,0,1),y,0,2);
Var=moment2-moment1^2
Var =
245/81
协方差计算公式
()()()(),cov(,)EX a EY b X Y E X EX E Y EY E X a E Y b ===--=-- ()()()()E XY aY bX ab E XY aE Y bE X ab =--+=--+
()E XY ab ba ab =--+
()()()E XY E X E Y =-
注： Ｙ＝Ｘ时得到什么公式？
例题：若随机变量,X Y 独立，求它们的协方差
解答：,EX EY θμ==，因为,X Y 独立，所以X Y θμ--、也相互独立 ()()()()cov(,)0X Y E X Y E X E Y θμθμ=--=-⨯-=⎡⎤⎣⎦
注：相互独立随机变量协方差为０的逆命题不成立，如，假定随机变量~(1,1)X U -，则显然2cov(,)0X X =，但是2X X 、不独立
四、协方差和方差性质
１：协方差是方差推广，方差是特殊协方差
cov(,)()X X Var X =，cov(,)0X c =，cov(,)cov(,)X Y Y X = 1111cov(,)cov(,)m n m n
i i j j i j i j i j i j c X d Y c d X Y =====∑∑∑∑ 特殊地
11111()cov(,)cov(,)m m m m m
i i i i j i i i i j Var X X X X X =======∑∑∑∑∑
111cov(,)cov(,)cov(,)m m m i j i j i i i j i j i X X X X X X ===≠⎡⎤==+⎢⎥⎣⎦
∑∑∑∑
1cov(,)()m
i j i i j i X X Var X =≠⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦∑∑
11cov(,)()m m i j i i i j i X X Var X ==≠⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦
∑∑∑
12cov(,)()m
i j i i j i X X Var X =>=+∑∑
特别地
121212()()()2cov(,)Var X X Var X Var X X X +=++
121212112212()cov(,)cov(,)cov(,)Var X X X X X X X X X X X X -=--=-+-- 11122122cov(,)cov(,)cov(,)cov(,)X X X X X X X X =+-+-+-- 11122122cov(,)cov(,)cov(,)cov(,)X X X X X X X X =+-+-+-- 1122122()cov(,)cov(,)cov(,)Var X X X X X X X =----
1121222()cov(,)cov(,)cov(,)Var X X X X X X X =--+
1212()()2cov(,)Var X Var X X X =+-
这个结论说明，一般，和的方差并不等于方差之和
定理：若随机变量1,
,n X X 相互独立，则111()2cov(,)()()n
n n i i j i i i i i j i Var X X X Var X Var X ===>=+=∑∑∑∑。