2020年上海普陀区高三一模数学试卷
一、填空题（本大题共12题，1-6题每小题4分，7-12题每小题5分，共54分）
1.若抛物线的焦点坐标为，则实数的值为 ．
2. ．
3.不等式的解集为 ．
4.已知为虚数单位，若复数是实数，则实数的值为 ．
5.设函数（若且），若其反函数的零点为，则 ．
6.展开式中含项的系数为 （结果用数值表示）．
7.各项都不为零的等差数列满足，数列是等比数列，且
，则 ．
8.设椭圆，直线过的左顶点交轴于点，若是等腰三角形（为坐标原点），且，则的长轴长等于 ．
9.记，，，，，为，，，，，的做任意一个排列，则为偶数的排列个数有 ．
10.已知函数是偶函数，若方程在区
间上有解，则实数的取值范围是 ．
11.设是长为的正六边形的边上任意一点，长度为的段是该正六边形外接
圆的一动弦，的取值范围为 ．
12.若、两点分别在函数与的像上，且关于直线对称，称，是
与的一对"伴点"(、与、视为相同的一对)，
已知，，若与存在两对"伴点"，则
实数的取值范围为 ．
二、选择题（本大题共4题，每小题5分，共20分）
13.“”是“”成立的（ ）．
A.充分非必要条件
B.必要非充分条件
C.充要条件
D.既非充分也非必要条件
14.设集合，，若，则对应的实数对 有（ ）．
A.对
B.对
C.对
D.对
15.已知两个不同平面、和三条不重合的直线，，，下列命题中正确的是（ ）．
A.若，，则
B.若，在平面内，且，，则
C.若，，是两互相异面的直线，则只存在有限条直线与，，都相交
D.若、分别经过两异面直线，，且，则必与或相交
16.直线
经过第一象限内的点
，则的最大值为（ ）．
A.B.
C.
D.
三、解答题（本大题共5题，共76分）
（1
）（2）17.如图所示的三棱锥
的三条棱
、、两两互相垂直，
点
在棱
上，且
．
当
时，求异面直线
与所成角的大小．
当三棱锥
的体积为
时，求
的值．
（1）（2）18.
设函数．当时，．
若函数
在区间
上是增函数，求实数
的取值范围．
（1）19.某居民小区为缓解业主停车难的问题，拟对小区内一块扇形空地进行改建．如图所示，平行
四边形区域为停车场，其余部分建成绿地，点在围墙弧上，点
和点
分别在道路
和道路
上，且
米，
，设
．
求停车场面积关于的函数关系式，并指出的取值范围．
【答案】
解析:
∵抛物线的焦点坐标为，
∵抛物线的焦点为，
∴，，
故答案为：．
解析:
．
（2）当为何值时，停车场面积最大，并求出最大值（精确到平方米）．
（1）
（2）
（3）
20.已知双曲线的焦距为，直线与交于两个不同的点、，且时直线与的两条渐近线所围成的三角形恰为等边三角形．求双曲线的方程．
若坐标原点在以线段为直径的圆的内部，求实数的取值范围．
设、分别是的左、右两顶点，线段的垂直平分线交直线于点，交直线于点，求证：线段在轴上的射影长为定值．
（1）
（2）
（3）
21.数列与满足，，是数列的前项和．
设数列是首项和公比都为的等比数列，且数列也是等比数列，求的值．
设，若且，对恒成立，求的取值范围．
设，，，若存在整数，，且，使得
成立，求的所有可能值．
1.
2.
3.
解析:
由，得，
即，解得．
故答案为．
4.
解析:
∵，因为为实数，则，，
故实数的值为．
5.
解析:
∵的零点为，
∴过点，
那，
∴．
6.
解析:
的展开式通项为，
∴项为，
∴含项的系数为．
7.
解析:
∵数列为等差数列，
∴，即，
又∵，
∴，
∵，
∴，即．
∵数列为等比数列，
∴．
故答案为：．
8.
解析:
如图，由题意知，由是等腰三角形可得，不妨设，
设，则，，
∵，
∴
解得，即，
将点坐标代入椭圆方程得，解得．
9.
解析:
若为偶数，则，，中至少有一个偶数，
若，，中没有一个偶数，则，一奇一偶，，一奇一偶，，一奇一偶，则有种方式 ，
若，，，，，自由排列，则有种方式，
则为偶数的排列有种．
故答案为：．
10.
解析:
令，
，
为偶函数，
∴，
即即，
∴，
∴时，，
若
在
有解，则
，∴
．
解析:取中点，
∴
，
，
，
∴，
即
．
解析:
与
关于直线
对称，．
与
存在两对“伴点”，
与
存在两个不同的交点．若圆与直线
相切，
有，解得 或
（舍）．同理，若圆与直线
相切，
有 ，解得
（舍）或．
11.，
12.，
综上，实数的取值范围为．
解析:若，则
，即
，
∵，∴“”是“
”的充分非必要条件，故选．解析:
，
若，则，则，即为；
若，则，则
，即
为
；
若，则，则，即为；若，则，则
，即
为，
则实数
共有对．
A 13.D 14.
（1）故选：．解析:
∵直线经过点，∴，
即
，
，
当且仅当，即
时，
取得最大值
．
故选：．解析:
方法一：
如图所示，取值中点，连接
、
，
∵，
∴是
的中位线，
∴
，∴异面直线与
所成角即为，
∵，
，两两相互垂直，∴
，
即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴ 为等边三角形，
∴
，即异面直线
与
所成角即为
．
D 15.B 16.（1）．（2）．
17.
（2）（1）方法二：∵
，
，
两两互相垂直，
∴可建立如图所示空间直角坐标系，则 ，
，
，，
∴，
，
∴
，
∴异面直线
与
所成角即为
．
∵
，
∴，
∴，
又∵，∴，即，
∵，∴，
即
．解析:∵函数
（1）．（2）．18.
（2）（1），
当时，，由
，则
，
，，
，
解得，故当
时，
，解集为
．由
，
．
∵函数在上是增函数，
∴解集为．①当时，恒成立；
②当时，
；
令，
由函数在
上为递增函数，
则，即，解得，
所以
．
综上所述，的取值范围为
．解析:
由平行四边形
得，在
中，
，，
则，
即，
即
，，
（1）；
．
（2），最大值
平方米．
19.
（2）（1）（2）（3）则停车场面积，
即
，其中
．
由
得
，即，
则，
因为，所以，
则时，
平方米，
故当
时，停车场最大面积为平方米．
解析:当
直线
与的两条渐近线围成的三角形恰为等边三角形，由根据双曲线的性质得，，又焦距为，则
，
解得
，，则所求双曲线的方程为
．
设
，
，由，得
，
则
，
，且
，
又坐标原点在以线段为直径的圆内，则
，即
，
即，即，
则，
即，则
或
，
即实数
的取值范围．
线段
在轴上的射影长是
．设
，由（1）得点，
又点是线段的中点，则点
，
直线的斜率为，直线
的斜率为
，又，
则直线的方程为
，
即
，
（1）．
（2）
或
．
（3）证明见解析．．
20.
（1）（2）（3）又直线的方程为，联立方程，
消去化简整理，得，又，
代入消去，得
，
即，则
，
即点的横坐标为
，
则
．故线段
在轴上的射影长为定值．
解析:
由条件得
，
，即
，
则，
，
设等比数列的公比为，
则，又，则，当，
时，
，
，
则
满足题意，
故所求的的值
．
当
时，
，
，
，
，
以上个式子相加得，
，
又，
则，
即，由知数列
是递增数列，
又，要使得
对
恒成立，
则只需，即
，
则
．
由条件得数列
是以为首项， 为公差的等差数列，
（1）．
（2）．
（3），，
；
，
，
．
21.
则，，
则，
则，
当时，，即时，，
则当时，与矛盾，
又，即时，，
当时，，
又，
即当，时，，
与矛盾，
又，则或，
当时，，
解得，
当时，，
解得，
综上得的所有可能值为和．。