12018年湖北省高三4月调考理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A = x |log 2x ≤1 ，集合B = y |y =2x +1 ，则A ∩B =( ) A ．[1,2]B ．(1,2]C ．[12,2]D ．(12,2]2.欧拉公式e ix =cos x +isin x (i 为虚数单位)是由著名数学家欧拉发明的，她将指数函数定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式，若将e π2i 表示的复数记为z ，则z ∙(1+2i )的值为( ) A ．−2+i B ．−2−i C ．2+i D ．2−i3.记不等式组 2x +y −2≥0,x ≤1,y ≤2的解集为D ，若∀x ,y ∈D ,y ≤a (x +1),则实数a 的最小值是( )A ．0B ．1C ．2D ．44.已知α∈ 0,π2 ,cos π6,α =13,则sin α的值等于( )A ．2 2− 36B ．2 2+ 36 C.2 6−16D ．−2 6−165.函数f x =xe x2x +ln x的图像大致为( )A ．B ． C. D ．6.已知双曲线C:x 2a 2−y 2=1(a >0)的一条渐近线方程为x +2y =0,F 1,F 2分别是双曲线C 的左、右焦点，点P在双曲线C 上，且 PF 1 =5,则 PF 2 =( )A ．1B ．3 C.1或9 D ．3或77.执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为6，且判断框内填入的条件是s >t ,则t 的取值范围是( )2A ．[35,45) B ．(35,45] C.[710,45) D ．(710,45]8.党的十九打报告指出，建设教育强国是中华民族伟大复兴的基础工程，必须把教育事业放在优先位置，深化教育资源的均衡发展.现有4名男生和2名女生主动申请毕业后到两所偏远山区小学任教.将这6名毕业生全部进行安排，每所学校至少安排2名毕业生，则每所学校男女毕业至少安排一名的概率为( ) A ．425B ．25C.1425D ．459.已知a =2.12.2,b =2.22.1,c =log 2.22.1，则( )A ．c <b <aB ．c <a <b C. a <b <c D ．a <c <b 10.锐角△ABC 中，角A 所对的边为a ,△ABC 的面积S =a 24,给出以下结论：①sin A =2sin B ∙sin C ； ②tan B +tan C =2tan B ∙tan C ；③tan A +tan B +tan C =tan A ∙tan B ∙tan C ； ④tan A ∙tan B ∙tan C 有最小值8. 其中正确结论的个数为( )A ．1B ．2 C. 3 D ．411.已知正三棱锥S −ABC 的顶点均在球O 的球面上，过侧棱SA 及球心O 的平面截三棱锥及球面所得截面如图所示，已知三棱锥的体积为2 3，则球O 的表面积为( )3A ．16πB ．18π C.24π D ．32π12.设D = (x −a )2+(e x −2 a )2+a +2,其中e ≈2.71828，则D 的最小值为( ) A ． 2 B ． 3 C. 2+1 D ． 3+1第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在 2x −1x 3 8的展开式中，常数项为．（用数字填写答案）14.已知向量a 与b 的夹角为30°， a −b =2，则 a +b 的最大值为．15.已知函数f x =cos ωx −π3 −12(ω>0)在区间[0,π]上恰有三个零点，则ω的取值范围是．16.点P (x ,y )是直线2x +y +4=0上的动点，PA ,PB 是圆C:x 2+(y −1)2=1的两条切线，A ,B 是切点，则三角形PAB 面积的最小值为．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知数列 a n , b n ，其中a 1=3,b 1=−1，且满足a n =12(3a n−1−b n−1),b n =−123a n−1−b n−1 ,n ∈N ∗,n ≥2.(1)求证：数列 a n −b n 为等比数列； (2)求数列 2nan ∙a n +1的前n 项和S n .18.如图，在平行四边形ABCD 中，AB =1,AD =2,∠BAD =120°，四边形EBDF 是矩形，BE =a ，平面EBDF ⊥平面ABCD .(1) 若a =1，求证：AE ⊥CF ； (2) (2)若二面角A −EF −C 的正弦值为215，求a 的值. 19.随着网络的飞速发展，人们的生活发生了很大变化，其中无现金支付是一个显著特征，某评估机构对无现金支付的人群进行网络问卷调查，并从参与调查的数万名受访者中随机选取了300人，把这300人分为三类，即使用支付宝用户、使用微信用户、使用银行卡用户，各类用户的人数如图所示，同时把这300人4按年龄分为青年人组与中年人组，制成如图所示的列联表： 支付宝用户 非支付宝用户 合计 中老年 90 青年 120 合计300(1)完成列联表,并判断是否有99%的把握认为使用支付宝用户与年龄有关系?(2)把频率作为概率，从所有无现金支付用户中(人数很多)随机抽取3人，用X 表示所选3人中使用支付宝用户的人数，求X 的分布列与数学期望. 附:P(K 2≥k 0) 0.1000.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.7063.8415.0246.6357.87910.828K 2=n (ad −bc )2(a +b )(c +d )(a +c )(b +d )，其中n =a +b +c +d .20.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为 32,F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，点P 在椭圆上，当PF 1⊥PF 2时，∆PF 1F 2内切圆的半径为2− 3. (1)求椭圆C 的方程；(2)已知直线l :y =kx +m 与椭圆C 相较于A,B 两点，且P 0,1 ，当直线PA,PB 的斜率之和为2时，问：点P 到直线l 的距离是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由. 21.已知函数f x=ae x x+ln x −x .(1)当a =1e时，讨论函数f (x )的单调性； (2)求函数f (x )的极值.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1:x 22+y 2=1,曲线C 2: x =cos φ,y =1+sin φ(φ为参数)，以坐标原点O 为极点，以x 轴5正半轴为极轴，建立极坐标系. (1)求曲线C 1,C 2的极坐标方程；(2)已知射线l :θ=α ρ≥0 与曲线C 1,C 2分别交于点A,B （异于原点O ），当0<α<π4时，求 OA 2+ OB 2的取值范围.23.选修4-5：不等式选讲已知函数f x = 2x +a + 2x −b +2的最小值为3. (1)求a +b 的值；(2)若a >0,b >0，求证：a +b ≥3−log 3(4a +1b ).62018年湖北省高三4月调考理科数学参考答案一、选择题1-5:BACCC 6-10:CCCBD 11、12：AC二、填空题13. 112 14.4+2 3 15.[2,83) 16.85三、解答题17.解：(1)a n −b n =12 3a n−1−b n−1 − −12 a n−1−3b n−1 =2 a n−1−3b n−1 , 又a 1−b 1=3− −1 =4，所以 a n −b n 是首项为4，公比为2的等比数列 (2)由(1)知，a n −b n =2n +1 ①又a n −b n =12 3a n−1−b n−1 + −12 a n−1−3b n−1 =a n−1+b n−1 又a 1+b 1=3+ −1 =2，所以 a n −b n 为常数数列，)a n +b n =2 ② 联立①②得：a n =2n +1,2n a n a n +1=2n 2n +1 2n +1+1 =12n +1−12n +1+1所以T n = 121+1−122+1+ 122+1−123+1 +⋯(12n +1−12n +1+1)=121+1−12n +1+1=13−12n +1+118.解：(1)连接AC ，在△ABC 中，由AB =1,BC =2,∠ABC =60°，由余弦定理易得AC = 3，又AB 2+AC 2=BC 2，则AB ⊥AC ；同理由余弦定理易得：BD = 7，由四边形ABCD 是矩形，则BE ⊥BD ，又平面EBDF ⊥平面ABCD ，所以BE ⊥平面ABCD ，所以BE ⊥BC ，同理FD ⊥DC ，由勾股定理易求得EC = 5,CF = 2，EF =BD = 7,显然EF 2=CE 2+CF 2,故CE ⊥CF ；由AC ⊥CD,AC ⊥DF ，所以AC ⊥面CDF ，所以AC ⊥CF,AC ∩CF =C ，所以CF ⊥面ACE ，所以CF ⊥AE ； (2)以A 点为原点，AB ,AC 所在的直线分别为x 轴，y 轴，过点A 与平面ABC 垂直的直线z 轴建立空间直角坐标系，则A 0,0,0 ,B 1,0,0 ,C 0, 3,0 ,F −1, 3,a ,E 1,0,a ,AE = 1,0,a ,EF = −2, 3,0 ,CF = −1,0,a 设平面AEF 的法向量为n 1=(x ,y ,z )，则 n ∙AE =0n ∙EF =0,即 x +az =0−2x + 3y =0, 取x =3，则y =2 3,z =−3a ，即n 1 = 3,2 3,−3a , 同理可求得平面CEF 的法向量为n 2 = 3,2 3,3a7设二面角的平面角为θ，则sin θ= 215则 cos <n 1 ,n 2 > =25，即 9+12−9a 29+12+9a2=25，解之得a =±1或±37，又a >0,所以a =1或3719.(1)列联表补充如下 支付宝用户 非支付宝用户 合计 中老年 60 90 150 青年 120 30 150 合计 180120300K 2=300(60×30−120×90)2150×150×180×120=50>6.635,故有99%的把握认为支付宝用户与年龄有关系.(2)把频率作为概率，从所有无现金支付用户（人数最多）中抽取3人，可以近似看作3次独立重复实验，所以X 的取值依次为0,1,2,3，且X 服从二项分布B(3,35)P X =0 =C 30(1−35)3=8125;P X =1 =C 31∙35 1−35 2=36125P X =2 =C 32∙ 35 2 1−35 1=54125;P X =3 =C 33 35 3=27125所以X 的分布列为X 0123P8125361255412527125EX =0×8125+1×36125+2×54125+3×27125=9520.(1)依题意： PF 1 + PF 2 − F 1F 22=r ,则 PF 1 + PF 2 − F 1F 2 =4−2 3，即2a −2c =4−2 3又ca =32,联立解得：a =2,c = 3，故b =1，所以椭圆的方程为x 24+y 2=1(2)设A x 1,y 1 、B x 2,y 2 ,联立直线和椭圆的方程得： 4k 2+1 x 2+8kmx +4 m 2−1 =0, 当∆=16 4k 2+1−m 2 >0时有：x 1+x 2=−8km4k 2+1 由k AP +k BP =2得：y 1−1x 1+y 2−1x 2=2,即kx 1+m−1x 1+kx 2+m−1x 2=2,8整理得： 2k −2 x 1x 2+ m −1 x 1+x 2 =0,所以 2k −2 ∙4 m 2−1 4k 2+1+ m −1 ∙−8mk4k 2+1=0,化简整理得：k =m +1，代入16 4k 2+1−m 2 >0得：4k 2− k −1 2+1>0, 解之得：k >0或k <−23, 点P 到直线l 的距离d =|−1+m | k 2+1=|k−2| k 2+1= 1+3−4kk 2+1,设t =3−4k ，易得t <3或t >173，则d = 1+16tt 2−6t +25, 当t =0时d =1；当t ≠0时，d = 1+16t +25t−6,若t <0，则d ∈ 0,1 ；若0<t <3，则d ∈ 1，2 ，当t >173时，d ∈ 1,8 1313综上所述：d ∈ 0,8 1313，故点P 到直线l 的距离没有最大值.21.解：(1)函数f (x )的定义域为 0,+∞ ，其导数为f ′ x =a ∙e x x−1 x 2−x−1x=(x−1)(ae x −x )x 2.当a =1e 时，f ′ x =(x−1) e x−1−xx 2设u x =xe x ，则u ′ x =1−x e x，显然x ∈ 0,1 时u ′ x >0,u (x )递增；x ∈(1,+∞)时，u ′ x <0,u (x )递减，故u x ≤u 1 =1e ，于是1e −xe x ≥0， 所以x ∈(0,1)时，f ′ x <0,f (x )递减；x ∈(1,+∞)时，f ′ x >0,f (x )递增； (2)由(1)知，f ′x =ae x −x x−1x 2=e x a−xe x x−1x 2,(x >0函数u x =xe x 在(0,1)递增，在(1,+∞)递减，所以u x ≤u 1 =1e 又当x >0时，e x >1,0<u x ≤1e , 讨论：①当a ≤0时，a −xe x <0，此时：因为x ∈(0,1)时，f ′ x >0,f (x )递增；x ∈(1,+∞)时，f ′ x <0,f (x )递减； 所以f (x )极大值=f 1 =ae ，无极小值； ②当a ≥1e 时，a −x e x ≥0，此时：因为x ∈(0,1)时，f ′ x <0,f (x )递减；x ∈(1,+∞)时，f ′ x >0,f (x )递增； 所以f (x )极小值=f 1 =ae ，无极大值；9③当0<a <1e 时，u a =a e a <a e 0=a ,u 1 =1e >a 又u x 在 a ,1 递增，所以f (x )在 a ,1 上有唯一零点x 1,且x 1e x 1=a ,易证：x >e 时，2ln x <x ，所以2ln 1a<1a ,所以u ln 1a 2 =ln1a 2e ln 1a 2=ln1a 21a 2=a ∙2ln1a1a<a ,u 1 =1e >a又u x 在(1,+∞)递减，所以f (x )在(1,ln1a 2)上有唯一零点x 2，且x 2e x 1=a ，故：当x ∈(0,x 1)时，f ′ x <0,f (x )递减；当x ∈(x 1，1)，f ′ x >0,f (x )递增； 当x ∈(0,x 2)时，f ′ x <0,f (x )递减；当x ∈(x 1，+∞)，f ′ x >0,f (x )递增； 所以，f (x )极大值=f 1 =ae ，f (x )极小值=f (x 1)=ae x 1x 1+ln x 1−x 1=1+ln a ,f (x )极小值=f (x 2)=ae x 2x 2+ln x 2−x 2=1+ln a .22.解：(1)因为C 2: x =cos φy =1+sin φ，所以曲线C 2的普通方程为：x 2+(y −1)2=1，由 x =ρcos θy =ρsin θ，得曲线C 2的极坐标方程ρ=2sin θ， 对于曲线C 1:x 22+y 2=1, x =ρcos θy =ρsin θ,则曲线C 1的极坐标方程为ρ2=21+sin 2θ(2)由(1)得 OA 2=ρ2=21+sin 2α,|OB |2=ρ2=4sin 2α，OA 2+|OB |2=21+sin 2α+4sin 2α=21+sin 2α+4 sin α2+1 −4 因为0<α<π4,1<1+sin 2α<32，则 OA 2+|OB |2∈ 2,103 23.(1)解：f x = 2x +a + 2x −b +2 ≥ 2x +a − 2x −b +2 = a +b +2所以 a +b +2=3,即a +b =±1(2)由a +b =1，则原式等价为：log 3 4a +1b ≥2，即4a +1b ≥9,而4a +1b = 4a +1b a +b =5+4b a+a b ≥5+2 4b a ×ab =9,故原不等式成立1111111111222。