第28讲 图形的相似与位似
1．比例线段
(1)比例线段：已知四条线段a ，b ，c ，d ，若a b ＝c
d 或a∶b ＝c ∶d ，那么a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，a ，d
叫做比例外，b ，c 叫做比例内项；若有a b ＝b
c ，则b 叫做a ，c 的比例中项．
(2)比例的基本性质及定理 ①a b ＝c
d ⇒ad ＝bc ； ②a b ＝c d ⇒a±b b ＝c±d d
； ③a b ＝c d ＝…＝m n (b ＋d ＋…＋n≠0)⇒a ＋c ＋…＋m b ＋d ＋…＋n ＝a b . 4．相似三角形的性质及判定 (1)相似三角形的性质
相似三角形的对应角相等，对应边成比例，对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方． (2)相似三角形的判定
①平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所截得的三角形与原三角形相似； ②两角对应相等，两三角形相似；
③两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； ④三边对应成比例，两三角形相似；
⑤两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似； ⑥直角三角形中被斜边上的高分成的两个三角形都与原三角形相似． 5．射影定理
如图，△ABC 中，∠ACB＝90°，CD 是斜边AB 上的高，则有下列结论．
(1)AC 2
＝AD·AB； (2)BC 2
＝BD·AB； (3)CD 2
＝AD·BD； (4)AC 2
∶BC 2
＝AD∶BD； (5)AB·CD＝AC·BC .
6．相似三角形的实际应用
(1)运用三角形相似的判定条件和性质解决实际问题的方法步骤：
①将实际问题所求线段长放在三角形中；
②根据已知条件找出一对可能相似的三角形；
③证明所找两三角形相似；
④根据相似三角形的性质，表示出相应的量；并求解．
(2)运用相似三角形的有关概念和性质解决现实生活中的实际问题．
如利用光的反射定律求物体的高度，利用影子计算建筑物的高度．同一时刻，物高与影长成正比，即身高影长
＝建筑物的高度建筑物的影长
.
7．相似多边形的性质
(1)相似多边形对应角相等，对应边成比例．
(2)相似多边形周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．
8．图形的位似
(1)概念：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，这样的图形叫做位似图形．这个点叫做位似中心．
(2)性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．
(3)在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标比等于k或－k.
(4)利用位似变换将一个图形放大或缩小，其步骤为：①确定位似中心；②确定原图形中各顶点关于位似中心的对应点；③依次连接各对应点描出新图形
考点1：相似三角形的性质
【例题1】（2019湖南常德3分）如图，在等腰三角形△ABC中，AB＝AC，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1，△ABC的面积为42，则四边形DBCE的面积是（）
A．20 B．22 C．24 D．26
归纳：1.在三角形问题中计算线段的长度时，若题中已知两角对应相等或给出的边之间存在比例关系，则考虑证明三角形相似，通过相似三角形对应边成比例列关于所求边的比例式求解.2．判定三角形相似的五种基本思路：(1)若已知平行线，可采用相似三角形的基本定理；
(2)若已知一对等角，可再找一对等角或再找该角的两边对应成比例； (3)若已知两边对应成比例，可找夹角相等； (4)若已知一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例； (5)若已知等腰三角形，可找顶角相等，或找一对底角相等，或找底和腰对应成比例．
考点2：相似三角形的判定
【例题2】在正方形ABCD中，AB＝4，点P，Q分别在直线CB与射线DC上(点P不与点C，点B重合)，且保持∠APQ＝90°，CQ＝1，求线段BP的长．
考点3：相似三角形的综合应用
【例题3】(2017·河北模拟)修建某高速公路，需要通过一座山，指挥部决定从E，D两点开挖一个涵洞．工程师从地面选取三个点A，B，C，且A，B，D三点在一条直线上，A，C，E也在同一条直线上，若已知AB ＝27米，AD＝500米，AC＝15米，AE＝900米，且测得BC＝22.5米．
(1)求DE的长；
(2)现有甲、乙两个工程队都具备打通能力，且质量相当，指挥部派出相关人员分别到这两个工程队了解情况，获得如下信息：
信息一：甲工程队打通这个涵洞比乙工程队打通这个涵洞多用25天；
信息二：乙工程队每天开挖的米数是甲工程队每天开挖的米数的1.5倍；
信息三：甲工程队每天需要收费3 500元，乙工程队每天需要收费4 000元．
若仅从费用角度考虑问题，试判断选用甲、乙哪个工程队比较合算．
一、选择题：
1. （2018•玉林）两三角形的相似比是2：3，则其面积之比是（）
A．：B．2：3 C．4：9 D．8：27
2. （2018•临沂）如图．利用标杆BE测量建筑物的高度．已知标杆BE高1.2m，测得AB=1.6m．BC=12.4m．则建筑物CD的高是（）
A．9.3m B．10.5m C．12.4m D．14m
3. （2019，四川巴中，4分）如图▱ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使DE：AD＝1：3，连结EF交DC于点G，则S△DEG：S△CFG＝（）
A．2：3 B．3：2 C．9：4 D．4：9
4. （2019▪贵州毕节▪3分）如图，在一块斜边长30cm的直角三角形木板（Rt△ACB）上截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若AF：AC＝1：3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为（）
A．100cm2B．150cm2C．170cm2D．200cm2
5. （2018•泸州）如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE=3ED，DF=CF，则的值是（）
A． B． C． D．
二、填空题：
6.如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，∠OCD=90°，CO=CD，若B（1，0），则点C的坐标为．
7. （2019•山东省滨州市•5分）在平面直角坐标系中，△ABO三个顶点的坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣4，0），O（0，0）．以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，得到△CDO，则点A的对应点C的坐标是．
8. （2018•江西）如图，在△ABC中，AB=8，BC=4，CA=6，CD∥AB，BD是∠ABC的平分线，BD交AC于点E，则AE的长为．
9. （2018•遵义）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=5，BC=10，连接AC、BD，以BD为直径的圆交AC于点E．若DE=3，则AD的长为 .
三、解答题：
10. (2018·江西)如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝4，CA＝6，CD∥AB，BD是∠ABC的平分线，BD交AC于点E，求AE的长．
11. (2019湖北荆门)（10分）如图，为了测量一栋楼的高度OE，小明同学先在操场上A处放一面镜子，向后退到B处，恰好在镜子中看到楼的顶部E；再将镜子放到C处，然后后退到D处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E（O，A，B，C，D在同一条直线上），测得AC＝2m，BD＝2.1m，如果小明眼睛距地面髙度BF，DG 为1.6m，试确定楼的高度OE．
12. (2018·福建)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8.线段AD由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到，△EFG由△ABC沿CB方向平移得到，且直线EF过点D.
(1)求∠BDF的大小；
(2)求CG 的长．
13.△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，以D 为顶点作∠MDN ＝∠B.
(1)如图1，当射线DN 经过点A 时，DM 交边AC 于点E ，不添加辅助线，写出图中所有与△ADE 相似的三角形；
(2)如图2，将∠MDN 绕点D 沿逆时针方向旋转，DM ，DN 分别交线段AC ，AB 于点E ，F(点E 与点A 不重合)，不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论；
(3)在图2中，若AB ＝AC ＝10，BC ＝12，当S △DEF ＝1
4S △ABC 时，求线段EF 的长．
14. (2019•湖南常德•10分)在等腰三角形△ABC 中，AB ＝AC ，作CM⊥AB 交AB 于点M ，BN⊥AC 交AC 于点N ． (1)在图1中，求证：△BMC≌△CNB；
(2)在图2中的线段CB 上取一动点P ，过P 作PE∥AB 交CM 于点E ，作PF∥AC 交BN 于点F ，求证：PE+PF ＝BM ；
(3)在图3中动点P 在线段CB 的延长线上，类似(2)过P 作PE∥AB 交CM 的延长线于点E ，作PF∥AC 交NB 的延长线于点F ，求证：AM•PF+OM•BN＝AM•PE．。