1 滤波器的基本概念1.1 滤波原理滤波器是一种选频装置，可以使信号中特定的频率成分通过，而极大地衰减其它频率成分。

在测试装置中，利用滤波器的这种选频作用，可以滤除干扰噪声或进行频谱分析。

广义地讲，任何一种信息传输的通道（媒质）都可视为是一种滤波器。

因为，任何装置的响应特性都是激励频率的函数，都可用频域函数描述其传输特性。

因此，构成测试系统的任何一个环节，诸如机械系统、电气网络、仪器仪表甚至连接导线等等，都将在一定频率范围内，按其频域特性，对所通过的信号进行变换与处理。

按照滤波器处理信号的性质分为，模拟滤波器和数字滤波器。

本文所述内容属于模拟滤波范围。

主要介绍模拟滤波器（连续时不变系统）原理、种类、数学模型、主要参数、ＲＣ滤波器设计。

尽管数字滤波技术已得到广泛应用，但模拟滤波在自动检测、自动控制以及电子测量仪器中仍被广泛应用。

1.2 滤波器分类1.2.1根据滤波器的选频作用分类⑴ 低通滤波器从c 0~ω频率之间，幅频特性平直，它可以使信号中低于c ω的频率成分几乎不受衰减地通过，而高于f 2的频率成分受到极大地衰减。

图1.1 低通滤波器 图1.2 高通滤波器 ⑵高通滤波器 与低通滤波相反，从频率c ~ω∞，其幅频特性平直。

它使信号中高于c ω的频率成分几乎不受衰减地通过，而低于c ω的频率成分将受到极大地衰减。

⑶带通滤波器它的通频带在~CL CN ωω之间。

CN ω它使信号中高于而低于CL ω的频率成分可以不受衰减地通过，而其它成分受到衰减。

⑷带阻滤波器与带通滤波相反，阻带在频率~CL CN ωω之间。

它使信号中高于CL ω而低于CN ω的频率成分受到衰减，其余频率成分的信号几乎不受衰减地通过。

图1.3 带通滤波器 图1.4 带阻滤波器 低通滤波器和高通滤波器是滤波器的两种最基本的形式，其它的滤波器都可以分解为这两种类型的滤波器，例如：低通滤波器与高通滤波器的串联为带通滤波器，低通滤波器与高通滤波器的并联为带阻滤波器。

图1.5低通滤波器与高通滤波器的串联 图1.6低通滤波器与高通滤波器的并联1.2.2 根据“最佳逼近特性”标准分类⑴ 巴特沃斯滤波器 从幅频特性提出要求，而不考虑相频特性。

巴特沃斯滤波器具有最大平坦幅度特性，其幅频响应表达式为： 221()1()nc H ωωω=+ （1.1）n 为滤波器的阶数；w c 为滤波器的截止角频率，当w=w c 时，|H(w c )|2=1/2,所以，w c 对应的是滤波器的-3db 点。

巴特沃思低通滤波器是以巴特沃思函数作为滤波器的传递函数H(s)，以最高阶泰勒级数的形式逼近滤波器的理想矩形特性。

⑵切比雪夫滤波器切贝雪夫滤波器也是从幅频特性方面提出逼近要求的，其幅频响应表达式为： 2221()1()n c H T ωωεω=+ （1.2）ε是决定通带波纹大小的波动系数，0<ε<1，波纹的产生是由于实际滤波网络中含有电抗元件；w c 是通带截止频率，T n 是n 阶切贝雪夫多项式。

与巴特沃斯逼近特性相比较，这种特性虽然在通带内有起伏，但对同样的n 值在进入阻带以后衰减更陡峭，更接近理想情况。

ε值越小，通带起伏越小，截止频率点衰减的分贝值也越小，但进入阻带后衰减特性变化缓慢。

切贝雪夫滤波器与巴特沃斯滤波器进行比较，切贝雪夫滤波器的通带有波纹，过渡带轻陡直，因此，在不允许通带内有纹波的情况下，巴特沃斯型更可取；从相频响应来看，巴特沃斯型要优于切贝雪夫型，通过上面二图比较可以看出，前者的相频响应更接近于直线。

⑶贝塞尔滤波器只满足相频特性而不关心幅频特性。

贝塞尔滤波器又称最平时延或恒时延滤波器。

其相移和频率成正比，即为一线性关系。

但是由于它的幅频特性欠佳，而往往限制了它的应用。

1.2.3按滤波器元件性质无源滤波器(R 、L 、C)有源滤波器(含运放)2 模拟有源滤波器的设计原理2.1 信号无失真传输的条件信号)(t f 通过一个系统，其响应)(t y 若不失真，则这个系统称为无失真传输系统。

实际中常常需要无失真传输系统，例如，高保真音响系统、示波器等。

无失真传输系统对输入信号)(t f 的响应)(t y 应是)(t f 的准确的复制品，或者说两者的大小和出现的时间可以不同(见图2.1a 、b)，但它们的波形变化规律应相同，即)()(0t t Kf t y -= （2.1） 式中K 、0t 为常数，K 是系统增益，0t 为延迟时间。

上式可以改写为 )(*)()(0t t K t f t y -=δ （2.2） 这说明无失真传输系统的单位冲激响应为)()(0t t K t h -=δ （2.3） 对上式进行傅里叶变换，则有 )()()(0ωϕωωωj t j e j H Ke j H ==- （2.4） 由上式可知，无失真传输系统应满足下面两个条件：(1) 幅频特性K j H =)(ω （2.5）即系统增益为一个常数K ，与信号频率无关，如图2.1(c)所示。

(2) 相频特性0()t ϕωω=- （2.6） 即系统的相位和与信号频率成正比，如图2.1(d)所示。

(c) (d)图2.1 无失真传输系统实际系统，幅频特性和相频特性均不满足无失真传输系统的两个条件。

工程上，只要信号在占有的频率范围内，系统的幅频特性和相频特性基本上满足无失真传输系统的两个条件，就可以认为是无失真传输系统了。

2.2 理想滤波器的特性滤波器是一个选频装置。

理想滤波器应能无失真地传输有用信号，而又能完全抑制无用信号。

有用信号和无用信号往往占有不同的频带。

信号能通过滤波器的频带称为通带(Passband)。

信号被抑制的频带称为阻带（Stopband ）。

理想滤波器频率特性可写为：()⎩⎨⎧=在阻带内，在通带内0,d t j Ke j H ωω 但通过后面的讲解我们会知道理想滤波器是物理不可实现系统。

实际滤波器的频率特性只能“逼近”理想滤波器。

图 2.2为低通滤波器的幅频特性示意图。

图2.2低通滤波器的幅频特性示意图可见，滤波器的幅频响应在通带内不是完全平直的，而是呈波纹变化；在阻带内，幅频特性也不为零，而是衰减至某个值；在通带和阻带之间存在一个过渡带，而不是突然下降。

通常，实际设计要求滤波器的技术指标包括通带波纹Rp(Passband ripple)(dB)、阻带衰减(Stopband attenuation)(dB)、通带边界频率p ω、阻带边界频率s ω、过渡带宽()p s ωω-。

滤波器的通带波纹Rp 为相对于频率响应最大点（一般为1）的下降，因此下降越少说明通带越平直，滤波器的滤波效果越好（通常为1~5dB ）。

滤波器的阻带衰减Rs 也是相对于频率响应最大点（一般为1）的下降，因此下降越多说明信号在阻带内越不容易通过，因此滤波效果越好(通常要大于15dB)。

过渡带宽越窄，滤波器的频率特性越接近于直角矩形特性，滤波效果也越好。

2.3 模拟滤波器传递函数设计原理模拟滤波器的设计理论通常在Laplace 域内进行讨论，本节内容我们只讨论其应用。

模拟滤波器的技术指标可由平方幅值响应函数()()22ωωj H A =形式给出，而()2ωj H 和传递函数H(s)存在下面关系：()()()()ωωωj s s H s H j H A =-==|22 （2.7） 即)()(|)(222s H s H A s -=-=ωω （2.8） 当给定模拟滤波器的技术指标后，由22)()(ωωj H A =求出A(-s 2)，再适当地分配零极点可求出H(s)。

为了使滤波器稳定，H(s)的极点必须落在s 平面左半平面，这是因为对于一个滤波器的极点p ，就可以写成p s -1的形式，其逆Laplace 变换（对应于时间域）为pt e ，若p >0，则随着时间增大至无穷，该滤波器的输出将出现不稳定。

滤波器的零点选择可任取A(-s 2)的一半零点，这是因为滤波器对Laplace 域表示的传递函数并无特殊要求，但如果要求H(s)具有最小相位，零点也必须选择在s 左半平面。

2.3.1 模拟滤波器设计步骤用户对设计的滤波器提出设计要求，我们可以针对滤波器的设计要求设计滤波器。

通常用户对模拟滤波器提出的要求有：（1）滤波器的性能指标，包括截止频率0ω(对于低通和高通)或上下边界频率1ω、2ω，通带波纹、阻带衰减等；（2）滤波器的类型，通常为Butterworth 、Chebyshev I 、 Chebyshev II 、 Elliptic 或Bessel 滤波器。

我们根据滤波器的类型通常按下列步骤设计滤波器。

(1)给定模拟滤波器的性能指标，如截止频率0ω(对于低通和高通)或上下边界频率1ω、2ω；通带波纹、阻带衰减以及滤波器类型等（用户给定）。

(2)确定滤波器阶数(3)设计模拟低通原型滤波器。

MATLAB 信号处理工具箱的滤波器原型设计函数有butterap 、cheb1ap 、cheb2ap 、ellipap 、besselap 。

(4)按频率变换设计模拟滤波器（低通、高通、带通、带阻）。

MATLAB 信号处理工具箱的频率变换函数有lp2lp 、lp2hp 、lp2bp 、lp2bs 。

2.3.2 模拟滤波器设计函数上面滤波器的设计步骤比较麻烦，根据设计要求求解滤波器的最小阶数和边界频率之后需要设计模拟原型滤波器并进行频率转换。

其实MATLAB 将这一系列的过程组合成了更为方便的设计函数：butter,cheby1,cheby2,ellip,besself 。

这些函数称为模拟滤波器完全设计函数。

用户在求得滤波器的最小阶数和截止频率之后只需调用一次完全设计函数就可以自动完成所有设计过程，编程十分简单。

这些工具函数适用于模拟滤波器的设计，但同样也适用于数字滤波器。

本节只讨论这些函数在模拟滤波器设计中的应用。

但要注意，MATLAB 是将上述一系列的步骤复合而已，并不是一种新的设计模拟滤波器的方法。

[b,a]=butter(n,wn[,'ftype'], 's')[z,p,k]=butter(n,wn[,'ftype'], 's')[b,a]=cheby1(n,Rp,wn[,'ftype'], 's')[z,p,k]=cheby1(n,Rp,wn[,'ftype'], 's')[b,a]=cheby2(n,Rs,wn[,'ftype'], 's')[z,p,k]=cheby2(n,Rs,wn[,'ftype'], 's')[b,a]=ellip(n,Rp,Rs,wn[,'ftype'], 's')[z,p,k]=cheby2(n,Rp,Rs,wn[,'ftype'], 's')[b,a]=besself(n,wn[,'ftype'], 's')[z,p,k]=besself(n,wn[,'ftype'], 's')在上面的调用方式中，n 为滤波器的阶数，wn 为滤波器的截止频率，单位rad/s （wn>0）；’s ’为模拟滤波器，缺省时为数字滤波。