2
2
34
第四节 系统函数的逼近（系统综合设计）
模方函数的数学逼近：寻找合适的数学函 数来逼近要求的频域容差图的模方函数。
常用函数：巴特沃思（Butterworth）函数、 切比雪夫（Chebysheu）函数、贝塞尔 （Bessel）函数、考尔（Cauer）函数和椭 圆函数等。
35
第四节 系统函数的逼近（系统综合设计）
0+
+
0-
[
+
-
e(τ)h(t - τ)dτ]e -st dt
-st
[
+
0-
e(τ)h(t - τ)dτ]e dt
+ 0-
0+
e(τ)[
h(t - τ)e -st dt]dτ
+ 0-
0+
e(τ)e [
-sτ -sτ
h(t - τ)e
-s(t - τ)
d(t - τ)]dτ
s(t) = T[u(t)]
t d h(t) = s(t), s(t) = h(τ)dτ - dt
9
第二节 线性时不变系统的时域分析 任意激励下的零状态响应：
r(t) = T[e(t)] = T[ = =
+ - + + -
e(τ)δ(t - τ)d τ]
e(τ)T[δ(t - τ)]d τ e(τ)h(t - τ)d τ
h(t)e
+
-jΩt
dt = dt
+
0-
h(t)e
-jΩt
dt
H(s) |s= jΩ =
0-
h(t)e
-jΩt
H(jΩ) = H(s)| s= jΩ
20
第三节 线性时不变系统的复频域分析
系统的频率响应特性：
E(jΩ) =| E(jΩ) | e R(jΩ) = E(jΩ)H(jΩ) jθr (jΩ) R(jΩ) j (jΩ) R(jΩ) =| R(jΩ) | e H(jΩ) = =| H(jΩ) | e E(jΩ)
d 2 r(t) dr(t) -t +5 + 6r(t) = e , t > 0 2 dt dt dr(t) r(t) t =0- = 0 t =0- = 0, dt
15
第三节 线性时不变系统的复频域分析 时域卷积定理：
= R(s) = = =
+
R(s) = L[e(t)* h(t)] =
模拟低通滤波器设计的频域容差图
32
第四节 系统函数的逼近（系统综合设计） 模方函数 H a (jΩ) ：构造一个逼近给定系统频 率特性设计要求的系统函数 Ha (s) 。
H a (jΩ) = H a (jΩ)H (jΩ) = H a (jΩ)Ha (-jΩ) H a (s)H a (-s) = H a (jΩ)
巴特沃思型逼近：
1 H a (jΩ) = Ω 2N 1+ ( ) Ωc
2
36
第四节 系统函数的逼近（系统综合设计）
H a (s) =
Ωc
N p=1
N
(s - s
p
)
37
第四节 系统函数的逼近（系统综合设计）
例题2－7：一个模拟低通滤波器给定的设计要求 如图所示。试确定巴特沃思型滤波器实现时所需 要的阶数N、截止角频率和系统函数。
二阶线性时不变系统的信号流图
27
第四节 系统函数的逼近（系统综合设计）
信号无失真传输的条件：
模拟滤波器对信号的滤波作用
28
第四节 系统函数的逼近（系统综合设计）
滤波功能对模拟滤波器的频率特性的要求：
模拟滤波器的滤波特性： -jΩt0 H(jΩ) = ke , 0 Ω Ωc = BΩ
F(s) =
+
0-
f(t)e dt
-st
1 δ+ j st f(t) = F(s)e ds 2πj δ - j
s = δ + jΩ
复频 率
13
第三节 线性时不变系统的复频域分析
常用函数的拉普拉斯变换： L[sint] =
s 2 + 2 s L[cost] = 2 s + 2 L[e sint] = (s + α)2 + 2 s+a -α t L[e cost] = (s + α)2 + 2
信号分析与处理
电信教研室 苑东伟
第2 章
1
第二章 连续时间系统分析
第一节 线性时不变系统
系统：若干相互作用和相互依赖的功能特 定 的器件或设备。 广义系统： 电网络系统： 分析与综合 系统的描述：
2
第一节 线性时不变系统
微分方 程 差分方程
连续时间系统与离散时间系统： 输出与输入的数学特性 线性系统与非线性系统： 系统的输入和输出是否满足叠加性和齐次性 时变系统和时不变系统：参数是否随时间变化
5
第一节 线性时不变系统
图2－5 二阶线性时不变系统的系统框图
d 2r dr d 2e de + a1 + a0 r = b2 2 + b1 + b0 e 2 dt dt dt dt
6
第一节 线性时不变系统
线性时不变系统的性质： 初始状态为零
线性性质：
T[α1e1 (t)+ α2 e2 (t)] = α1T[e1 (t)] + α2T[e2 (t)]
R(s) 系统函数： H(s) = E(s)
系统零状态响应
例题2－4：求例题2－2给出的二阶线性时 不变系统的系统函数。
17
第三节 线性时不变系统的复频域分析 系统函数的时域特性：
H(s) = H 0
n
(s - z (s i =1 l =1 n
m
l
)
pi )
H(s) = h(t) =
0-
e(τ)e dτ
+
0-
h(x)e -sx dx = E(s)H(s)
16
R(s) = L[e(t)* h(t)] = E(s)H(s)
第三节 线性时不变系统的复频域分析 时域卷积定理：线性时不变系统在任意输入 信号激励下的零状态响应的象函数等于输入 激励与系统单位冲激响应的象函数的乘积。 即时间上卷乘等于频域上线乘。
(jΩ) = (ψ1 + ψ2 + L + ψm ) - (θ1 + θ2 + L + θn )
23
第三节 线性时不变系统的复频域分析 例题2－5：
24
第三节 线性时不变系统的复频域分析
25
第三节 线性时不变系统的复频域分析 系统频率特性与频谱密度的对比结论
系统的信号流图
26
第三节 线性时不变系统的复频域分析
h(t) = 0 (t < 0)
稳定系统：在有界激励下，其零状态响应也是 + 有界的系统。

0_
h(τ) dτ M
物理系统都是稳定的因果系统。只有稳定 的因果系统才能被物理实现。
12
第三节 线性时不变系统的复频域分析 复频域分析法：利用拉普拉斯变换分析线性 时不变系统的方法。 拉普拉斯变换和拉普拉斯反变换为：
-α t
L[δ(t)] = 1 1 L[u(t)] = s L[e
-α t
1 ]= s+α
微分性质： n k n-1 d f(t) n n-k -1 d f(t) L[ ] = s F(s) - s n k dt dt k=0
t =014
第三节 线性时不变系统的复频域分析
例题2－3：应用拉普拉斯变换方法重求例 题2－2问题（2）
H(jΩ) = 0, Ω > Ωc = BΩ
29
第四节 系统函数的逼近（系统综合设计） 线性相位模拟滤波器：
30
第四节 系统函数的逼近（系统综合设计） 模拟滤波器的分类：
频带变换
通过数学逼近的方法获得模拟低通滤波器的系统函数； 通过电路实现模拟低通滤波器的系统函数。
31
第四节 系统函数的逼近（系统综合设计） 模拟低通滤波器系统函数的逼近
2 jΩ =s 2 * a
2
系统函数极点和零点的选择：选择分布在复平 面左半平面上的极点和零点。
33
第四节 系统函数的逼近（系统综合设计） 例题2－6：试求一模拟滤波器的系统函 数 Ha (s) ，已知一模拟滤波器的模方函数 为
H0 H a (jΩ) = 2 2 (4 + Ω )(9 + Ω )
线性时不变系统
3
第一节 线性时不变系统
连续时间系统
微分方程 系统框图
组成系统各个元件 的连接框图及其元 件的数学特性构成
4
第一节 线性时不变系统 例题2－1：试求图示电路输出响应与输入激励的 数学关系，并用系统框图表示。
如果一个线性时不变系统的常微分方程是n阶的，那么其相应的 系统框图中将包含n个积分器；反之亦然。
41
38
第四节 系统函数的逼近（系统综合设计） 切比雪夫型逼近：
H a (jΩ) =
2
1 Ω 1+ ε C N ( Ωc
2
)
2
39
第六节 连续时间信号的数字处理
40
第二章 连续时间系统分析 作业 第65页 习题二 2－1选作,2－2,2－3,2－4,2－5 ,2－7, 2－8

i =1 n i =1
Hi s - pi
i
H
e
pi t
因果稳定系统的充分和必要条件： 18 系统函数的所有极点都在复平面左半平面。