1
Hale Waihona Puke • 系统中等待的平均顾客数Lq(排队长期望)
p0 Lq (n s ) pn s! n s 1

s
n s 1
0
(n s)

ns s
注意：这里的公式和书上的公式不一致？？？？？？ s
P （ s ） Lq
S!(1 )
2
顾客在系统中的平均排队时间Wq s 有Little公式： P 0 L Wq W 2
.
单队比三队优越
.
谢谢！ 期待老师批评指正。
1 P0 n ! Pn n 1 P 0 ns S S !
n
nS
nS
s
其中
P 1
i 0 i
K
S 1 1 1 P0 n ! S ! 1 n 0
（s）

S!(1 )
• 顾客在系统中逗留的时间Ws
Ws Wq
1

P （ s ）
s 2
0
S!(1 )

1

系统中的平均顾客数Ls 有Little公式:
P （ s ） Ls Ws
s
0
S!(1 )
2

某售票处有三个窗口,顾客的到达服从泊松过 程,平均到达率 0.9 人/min. 服务(售票)时间 服从负指数分布, 平均服务率 0.4 人/min. 现设顾客到达后排成一队,依次向空闲的窗口购 票,这是M/M/s模型, 其中
多服务台服务系统：
• 生活中的例子：
多服务台模型(即M/M/s/ / 或 M/M/s)
到达间隔: 泊松(参数为:到达率)分布; 单台服务时间: 负指数(参数为:服务率)分布; 服务台数: s; 系统容量: 无限; 排队长度(客源): 无限; 服务规则: FCFS.
（M/M/S）数据分析（系统稳态条件）
2.25 3 s 3, 2.25, s 1 s 3 4
由公式可得: (1) 整个售票处空闲概率
1 p0 0.0748 0 1 2 3 2.25 2.25 2.25 2.25 1 0! 1! 2! 3! 1 2.25 / 3
(2) 平均排队长
窗口1 0.4
窗口2 0.4
窗口3 0.4
窗口1 0.4
0.9
(a)
窗口3 0.4 0.3 0.3 0.3
窗口2 0.4
(b)
0.9
每个队的平均到达率为
1 2 3 0.9 / 3 0.3
结果比较如下
（s）
s3
S!(1 )
平均队列长
L Lq / 1.7 2.25 3.95
平均等待时间
1.70 Wq 1.89 0.9
Lq
平均逗留时间
W Wq 1/ 1.89 1/ 0.4 4.39
在上例中, 若顾客到达后在每个窗口前各排一队,且 中途不换队, 则M/M/3/∞ 3个M/M/1/∞ 如下图所示(b).
S 1 1 1 P0 n ! S ! 1 n 0
s

1
0.0748 2.25 P 30/ 4 Lq 1.70 2 Lq 3!(1 / 4) 2
n 0,1, 2,...
S

系统才能达到稳态而 不出现排成无限的队 列

0

1
...




......

n ... s-1 2 n ( S 1) S
s
s+1
s+k
S
S
生灭过程p161
系统状态转移图
i 1i 2i 3 ...0 Pi P0 1 i K i i 1i 2 ...1
1.顾客的平均到达率 n , 2.系统的服务率（重点）：
当系统中只有一个顾客时，则有S-1个服务台空闲 n , n 1, 2,3,..., s 着，仅有一个服务台在服务，这时的服务率为 μ； n 当系统中有 2个顾客时，就有2个服务台工作，其 s...... , ；当系统中有 n s, s S 1,... 服务率为2μ ； 个顾客时，则服 为系统的服务强度或服务 务率达到最大值 。当系统中顾客数超过S时， 所以记Sμ 由于S个服务台都无空闲，其余顾客必须排队，这 机构的平均利用率. 时的服务率仍为Sμ 1