P{F F (n1, n2 )}
( y)dy
F ( n1 , n2 )
的点 F (n1, n2 ) 为 F (n1, n2 ) 分布的上 分位点.
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例4 设 F (n1, n2 )分布的上分位点满足
P{F F (n1, n2 )}
( y)dy ,
F (n1 , n2 )
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例3 设 T ~ t(n), t(n) 的上 分位点满足
P{T t (n)}
t( y; n)dy ,
t (n)
求 t (n) 的值, 可通过查表完成.
t0.05(10) 1.8125, 附表3-1
t0.025(15) 2.1315. 附表3-2
在Matlab中求解
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3. F分布
设U ~ 2(n1 ), V ~ 2(n2 ), 且U , V 独立, 则称
随机变量 F
U V
/ n1 / n2
服从自由度为( n1 ,
n2 ) 的
F
分
布, 记为 F ~ F (n1, n2 ).
随机数演示
分布函数与密度函数演示
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F (n1, n2 )分布的概率密度为
费舍尔(R.A.Fisher)证明:
费舍尔资料
当
n
充分大时,
2 (n)
1 2
(
z
2n 1)2.
其中 z 是标准正态分布的上 分位点.
利用上面公式,
可以求得 n 45 时, 上 分位点的近似值.
例如
2 0.05
(50)
1 2
(1.645
99)2 67.221.
而查详表可得
2 0.05
(50)
求 F (n1, n2 ) 的值, 可通过查表完成.
F0.025(7,8) 4.90, 附表5-1 F0.05(14,30) 2.31 . 附表5-2
在Matlab中求解
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F 分布的上 分位点具有如下性质 :
67.505
.
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2. t 分布
设 X ~ N (0, 1), Y ~ 2(n), 且 X , Y 独立,
则称随机变量t X 服从自由度为n 的 t Y /n
分布, 记为 t ~ t(n).
学生氏资料
t 分布又称学生氏(Student)分布. 随机数演示
t(n) 分布的概率密度函数为 分布函数与密度函数演示
所以
X
2 1
,
X
2 2
,
,
X n2也相互独立,
根据 分布的可加性知
2
n i 1
Xi2
~
n 2
,
2.
2 (n)分布的概率密度曲线如图.
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2 分布的性质
性质1 ( 2 分布的可加性)
设 12 ~ 2(n1 ),
2 2
~
2(n2 ),
并且
2 1
,
2 2
独
立,
则 12
2 2
~
2 (n1
(
y)
n1
n2
n1
n1
2
n1 1
y2
2 n2
n1 n2
n1 2
n2 2
1
n1 y n2
2
,
y 0,
0,
其他.
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F分布的概率密度曲线如图
根据定义可知,
若F ~ F (n1, n2 ),
则1 F
~
F (n2 , n1 ).
F 分布的分位点
对于给定的 , 0 1, 称满足条件
i1
i1
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2 分布的分位点 对于给定的正数 , 0 1, 称满足条件
P{ 2 2 (n)}
f ( y)dy
2 ( n)
的点
2
(n)
为
2 (n)
分布的上
分位点.
对于不同的 , n,
可以通过查表求
得上 分位点的值.
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例1 设 X 服从标准正态分布N (0,1), N (0,1) 的上
2(n)分布的概率密度为
f
(
y)
n 22
1 (n)
n1 y
y2 e 2
,
2
0
y0 其他.
证明 因为 2(1) 分布即为 1 , 2 分布,
2
又因为 Xi ~ N (0, 1),
由定义
X
2 i
~
2 (1),
即
X
2 i

~
1, 2
2 ,
i 1, 2, , n.
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因为 X1, X2, , Xn 相互独立,
分位点 z 满足 P{ X z }
1
x2
e 2 dx ,
2π z
求 z 的值, 可通过查表完成.
z0.05 1.645,
附表2-1
z0.025 1.96,
附表2-2
根据正态分布的对称性知 z1 z .
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例2 设 Z ~ 2(n), 2(n) 的上 分位点满足
h(t)
n
2
πn
1
n 2
1
t2 n
n1 2
,
t
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t 分布的概率密度曲线如图
显然图形是关于
t 0对称的.
当 n 充分大时, 其
图形类似于标准正
态变量概率密度的
图形. 因为lim h(t)
1
t2
e 2,
n
2π
所以当 n 足够大时 t 分布近似于 N (0,1) 分布,
证明 因为 Xi ~ N (0, 1), 所以 E( Xi2 ) D( Xi ) 1, D( Xi2 ) E( Xi4 ) [E( Xi2 )]2 3 2 1, i 1, 2, , n.
故 E( 2 ) E n Xi2 n E( Xi2 ) n,
i1
i1
D( 2 ) D n Xi2 n D( Xi2 ) 2n.
n2 ).
( 此性质可以推广到多个随机变量的情形. )
设
2 i
~
2(ni ),
并且
2 i
(i 1, 2,, m) 相互
m
独立, 则
2 i
~
2(n1
n2
nm ).
i 1
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性质2 ( 2分布的数学期望和方差)
若 2 ~ 2(n), 则 E( 2 ) n, D( 2 ) 2n.
但对于较小的n, t分布与N (0,1)分布相差很大.
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t 分布的分位点 对于给定的 , 0 1, 称满足条件
P{t t (n)}
h(t)dt
t (n)
的点 t (n) 为 t(n) 分布的上 分位点.
可以通过查表求
得上分位点的值.
由分布的对称性知
t1 (n) t (n). 当 n 45 时, t (n) z .
P{Z 2 (n)}
2( y; n)dy ,
2 (n)
求2 (n)的值, 可通过查表完成.
2 0.025
(8)
17.535,
附表4-1
2 0.975
(10)
3.247,
附表4-2
2 0.1
(
25)
34.382.
附表4-3
附表4只详列到 n=45 为止.
在Matlab中求解
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