[例 1] 如图所示，某人骑摩托车在水平道路上行驶，要在 A 处越过
的壕沟，沟面对面
比 A 处低
，摩托车的速度至少要有多大？g 取 10m/s2。
解析：在竖直方向上，摩托车越过壕沟经历的时间
在水平方向上，摩托车能越过壕沟的速度至少为 2. 从分解速度的角度进行解题
对于一个做平抛运动的物体来说，如果知道了某一时刻的速度方向，则我们常常是“从 分解速度”的角度来研究问题。 [例 2] 如图甲所示，以 9.8m/s 的初速度水平抛出的物体，
这个方程组的解的纵坐标，即为屏的高。 6. 灵活分解求解平抛运动的最值问题
[例 6] 如图所示，在倾角为 的斜面上以速度 水平抛出一小球，该斜面足够长，则从抛出 开始计时，经过多长时间小球离开斜面的距离的达到最大，最大距 离为多少？
解析：将平抛运动分解为沿斜面向下和垂直斜面向上的分运动， 虽然分运动比较复杂一些，但易将物体离斜面距离达到最大的物理 本质凸显出来。
A
y
v0
θ
x vy
vx α
vθ
如上图：所以 t 2v0 tan
g
tan(a ) vy gt vx v0
所以 tan(a ) 2 tan ，θ为定值故 a 也是定值，与速度无关。
⑤速度 v 的方向始终与重力方向成一夹角，故其始终为曲线运动，随着时间的增加，tan 变大， ，速度 v 与重力 的方向越来越靠近，但永远不能到达。
与落地点之间 的半径为 R，万
解析：设第 如图 8 所示，构建
的距离为 。已知两落地点在同一水平面上，该星球 有引力常数为 G，求该星球的质量 M。
一次抛出小球，小球的水平位移为 ，竖直位移为 ， 位移矢量直角三角形有：
若抛出时初速度增大到 2 倍，重新构建位移矢量 如图所示有 由以上两式得
令星球上重力加速度为 ，由平抛运动的规律得 由万有引力定律与牛顿第二定律得
tan θ
y x
gt 2v0
③轨迹方程：
y
gx2 2v02
，顶点在原点(0、0)，开口向下的抛物线方程。
注： （1）平抛运动是一个同时经历水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动的合
运动。
（2）平抛运动的轨迹是一条抛物线，其一般表达式为
。
（3）平抛运动在竖直方向上是自由落体运动，加速度 恒定，所以竖直方向上在相
[例 3]如图所示，在坡度一定的斜面顶点以大小相同的速度 同时水平向左与水平向右抛出 两个小球 A 和 B，两侧斜坡的倾角分别为 和 ，小球均落在坡面上，若不计空气阻力， 则 A 和 B 两小球的运动时间之比为多少？
解析： 和 都是物体落在斜面上后，位移与水平方向的夹角，则运用分解位移的方 法可以得到
[例 4] 某一平抛的部分轨迹如图 4 所示，已知
，
，
，求 。
解析：A 与 B、B 与 C 的水平距离相等，且平抛运动的水平方向是匀速直线运动，可设 A
到 B、B 到 C 的时间为 T，则
又竖直方向是自由落体运动， 则
代入已知量，联立可得
5. 从平抛运动的轨迹入手求解问题：
[例 5] 从高为 H 的 A 点平抛一物体，其水平射程为 ，在 A 点正上 方高为 2H 的 B 点，向同一方向平抛另一物体，其水平射程为 。两 物体轨迹在同一竖直平面内且都恰好从同一屏的顶端擦过，求屏的 高度。
等的时间内相邻的位移的高度之比为
… 竖直方向上在相等的时间内相邻
的位移之差是一个恒量
(T 表示相等的时间间隔）。
（4）在同一时刻，平抛运动的速度（与水平方向之间的夹角为 ɑ）方向和位移方向（与
水平方向之间的夹角是 ）是不相同的，其关系式 ɑ
（即任意一点的速度延长线
必交于此时物体位移的水平分量的中点）。
[例 4] 如图所示，从倾角为 斜面足够长的顶点 A，先后将同一小球以不同的初速度水平向
右抛出，第一次初速度为 ，球落到斜面上前一瞬间的速度方向与斜
面的夹角为 ，第二次初速度 ，球落在斜面上前一瞬间的速度方向
与斜面间的夹角为 ，若
，试比较 和 的大小。
解析：根据上述关系式结合图中的几何关系可得
所以
此式表明 仅与 有关，而与初速度无关，因此 在斜面上各点的速度方向是互相平行的。
解析：本题如果用常规的“分解运动法”比较麻烦，如果我们 换一个角度，即从运动轨迹入手进行思考和分析，问题的求解会很 容易，如图 5 所示，物体从 A、B 两点抛出后的运动的轨迹都是顶点在
轴上的抛物线，即可
设 A、B 两方程分别为
，
则把顶点坐标 A（0，H）、B（0，
得方程组
2H）、E（2 ，0）、F（ ，0）分别代入可
三、平抛运动及其推论
一、 知识点巩固： 1.定义：①物体以一定的初速度沿水平方向抛出，②物体仅在重力作用下、加速度为重力加 速度 g，这样的运动叫做平抛运动。 2.特点：①受力特点：只受到重力作用。
②运动特点：初速度沿水平方向，加速度方向竖直向下，大小为 g，轨迹为抛物线。 ③运动性质：是加速度为 g 的匀变速曲线运动。
物体在竖直方向做自由落体运
动，那么我们
根据 了。则
就可
以求出时间
所以
根据平
抛运动竖直方向是自由落体运动可以写出：
所以
所以答案为 C。 3. 从分解位移的角度进行解题：
对于一个做平抛运动的物体来说，如果知道了某一时刻的位移方向（如物体从已知倾角 的斜面上水平抛出，这个倾角也等于位移与水平方向之间的夹角），则我们可以把位移分解 成水平方向和竖直方向，然后运用平抛运动的运动规律来进行研究问题（这种方法，暂且叫 做“分解位移法”）
分析平抛运动中的临界问题时一般运用极端分析的方法，即把要求的物理量设定为极大 或极小，让临界问题突现出来，找出产生临界的条件． 例：如图所示，排球场总长为 l8m，球网高度为 2m，运动员站在离网 3m 的线上(图中虚线所 示)正对网向上跳起将球水平击出(球在飞行过程中所受空气阻力不计，g 取 10m／s2)．
的距离最远，此时末速度的方向与初速度方向成 角。如图
所示，图中 A 为末速度
的反向延长线与水平位移的交
点，AB 即为所求的最
远距离。根据平抛运动规律有：
，和
由上述推论 3 知
据图 9 中几何关系得
由以上各式
解得
即质点距斜面的最远距离为
推论 4：平抛运动的物体经时间 后，其速度 与水平方向的夹角为 ，位移 与水平方向的 夹角为 ，则有
(1)设击球点在 3m 线的正上方高度为 2.5m 处，试问击球的速度在什么范 围内才能使球既不触网也不越界?
(2)若击球点在 3m 线正上方的高度小于某个值，那么无论水平击球的速度 多大，球不是触网就是越界，试求这个高度．
二、平抛运动的常见问题及求解思路：
关于平抛运动的问题，有直接运用平抛运动的特点、规律的问题，有平抛运动与圆周运
所以有 同理 则
4. 从竖直方向是自由落体运动的角度出发求解： 在研究平抛运动的实验中，由于实验的不规范，有许多同学作出的平抛运动的轨迹，常
常不能直接找到运动的起点（这种轨迹，我们暂且叫做“残缺轨迹”），这给求平抛运动的 初速度带来了很大的困难。为此，我们可以运用竖直方向是自由落体的规律来进行分析。
⑥从动力学的角度看：由于做平抛运动的物体只受到重力，因此物体在整个运动过程中 机械能守恒。 5、斜抛运动：
定义：将物体以一定的初速度沿与水平方向成一定角度抛出，且物体只在重力作用下（不 计空气阻力）所做的运动，叫做斜抛运动。它的受力情况与平抛完全相同，即在水平方向上 不受力，加速度为 0；在竖直方向上只受重力，加速度为 g。设初速度 v0 与水平方向夹角为 θ。
飞行一段时间后，垂直地撞在倾角 为 的斜面上。可
知物体完成这段飞行的时间是（
）
A.
B.
C.
D.
解析：先将物体的末速度 分解为水平分速度 和竖直分速度 （如图乙所示）。根据
平抛运动的分解可知物体水平方向的初速度是始终不变的，所以
；又因为 与斜面垂
直、 与水平面垂直，所以 与 间的夹角等于斜面的倾角 。再根据平抛运动的分解可知
夹角分别为
和
，对两小球分别构建速度矢量直角三角
形
如图所示，由图可得
和
又因为 所以
由以上各式可得，解得
推论 2：任意时刻的两个分位移与合位移构成一个矢量直角三角形 [例 2] 宇航员站在一星球表面上的某高度处，沿水平方向抛出一个小球，经过时间 ，小球 落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为 ，若抛出时初速度增大到两倍，则抛出点
，即以不同初速度平抛的物体落
平抛运动是较为 穷。若能切实掌握其 因此在复习时应注
复杂的匀变速曲线运动，有关平抛运动的命题也层出不 基本处理方法和这些有用的推论，就不难解决平抛问题。 意对平抛运动规律的总结，从而提高自己解题的能力。
练习： 1.平抛物体的初速度为 v0，当水平方向分位移与竖直方向分位移相等时(
A.运动的时间 t 2v0 g
B．瞬时速率 vt 5v0
动组合的问题、有平抛运动与天体运动组合的问题等。本文主要讨论直接运用平抛运动的特
点和规律来求解的问题，即有关平抛运动的常见问题。
1. 从同时经历两个运动的角度求平抛运动的水平速度：
求解一个平抛运动的水平速度的时候，我们首先想到的方法，就应该是从竖直方向上
的自由落体运动中求出时间，然后，根据水平方向做匀速直线运动，求出速度。
平抛运动(如带电粒子在匀强电场中的偏转等)的问题上来．
(1)类平抛运动的特点是物体所受的合力为恒力，且与初速度方向垂直(初速度 v0 的方向
不一定是水平方向，即合力的方向也不一定是竖直方向，且加速度大小不一定等于重力加速 度 g)．
(2)类平抛运动可看成是某一方向的匀速直线运动和垂直此方向的匀加速直线运动的合 运动．处理类平抛运动的方法与处理平抛运动类似，但要分析清楚其加速度的大小和方向如 何． 7、平抛运动中的临界问题：