补充练习：已知二次函数的图象经过坐标原点，其导函数为，数列的前 项和为，点均在函数的图象上。
（1）求数列的通项公式； （2）设，是数列的前项和，求使得对所有都成立的最小正整 数。
6、并项求和法 思路：将摆动数列相邻两项（或若干项）合并成一项（或一组），得到 一个新数列，再利用直接法求这个 新数列的和。一般来说，摆动数列求和的基本模型是。当这个摆动数列
是正负或负正相间时，要对为奇数或偶数进行分类讨论；当这个摆动数
列是正正负负或负负正正或正负正负或负正负正相间时，要对顺次进行
分类讨论。
注：一个数列，若从第2项起，有些项大于其前一项，有些项小于其前 一项，这样的数列叫摆动数列。
例4：求。 解：当为偶数时，设，由得， ； 当为奇数时， 由为偶数的可得，当为奇数时，； 综上，。 注：该结果也可以写成分段函数的形式。 例5：在数列
将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最 终达到求和的目的。一般地，数列为等差数列，且公差不为0，首项也 不为0，。 常见的通项分解（裂项）如下： ①，（当时，通项裂项后求和是隔项相消的，注意观察剩余项） ；（通项裂项后求和是逐项相消的，剩余的是所裂项的首项和末项） ②； ③等。 例3：求数列的前项和。 解：设（裂项） 则（裂项求和） ＝＝。
。 设，，由通项公式发现这是一个负负正正相间的摆动数列，因此要对顺 次进行分类讨论。 当
，时，
。 注意到
，故有，即； 当
时，，即； 当
时，，即； 当
时，，即； 所以，从而时，有 总之，当时有
，即
。 6、分组求和法
思路：将既非等差，也非等比的数列适当拆分为几个等差、等比或常见 数列，然后分别求和，再将其合并。 例6：数列的前项和，数列满。 （1）证明数列为等比数列； （2）求数列的前项和。 解：（1）由， 两式相减得：， 由定义知是首项为1，公比为2的等比数列。 （2） 等式左、右两边分别相加得： 综合习题： 1、计算（1）；（2）。 ；。
数列求和 概述：先分析数列通项的结构特征，再利用数列通项揭示的规律来求数 列的前项和，即求和抓通项。 1、直接（或转化）由等差数列、等比数列的求和公式求和 思路：利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。 ①等差数列求和公式：； ②等比数列求和公式：； ③； ④； ⑤。 2、逆序相加法 思路：把数列正着写和倒着写再相加。（即等差数列求和公式的推导过
2、求。 解： 。 3、求。 解：由于（找通项及结构特征） ∴ （分组求和）
＝。 4、已知数列满足的值。 解：∵（找通项及特征） （设制分组） （裂项） ∴（分组、裂项求和） 。
程的推广）
例1：设函数的图象上有两点，若，且点的横坐标为。 （1）求证：点的纵坐标为定值，并求出这个定值； （2）若 解：（1）∵，且点的横坐标为， ∴是的中点，且， 由（1）知，
，（1）+（2）得：。 3、错位相减法 思路：设数列是等差数列，是等比数列，则求的前项和可用错位相减 法。 例2：在数列中，，其中。 （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和。 （1）解：由，，得； 所以为等差数列，其公差为1，首项为0，故， 所以数列的通项公式为。 （2）解：设......① ......② 当时，①式减去②式， 得， ； 这时数列的前项和； 当时，，这时数列的前项和。 综上，当时，数列的前项和； 当时，数列的前项和。 4、裂项相消法 思路：这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。裂项法的实质是与ຫໍສະໝຸດ 中，，，数列
的前
项和
满足
，且
为 与 的等比中项，。 （1）求 ， 的值； （2）求数列 与 的通项公式； （3）设 ，，证明 ，。 解：（1）由题设 ，
，解得 ，由题设 ， ， 。 （2）将 展开，整理得 ，， 累乘，由（1）并化简得 ，， 上式对也成立， 由题设有 ，所以 ，即
，。 令 ，则 ，即 ，由 得 ， 所以 ，即 ，。 （3）证明：