n 阶行列式的计算方法徐亮（西北师大学数信学院数学系 ， 730070 ）摘 要：本文归纳总结了n 阶行列式的几种常用的行之有效的计算方法，并举列说明了它们的应运．关键词：行列式，三角行列式，递推法，升降阶法，得蒙行列式The Calculating Method of the N-order DeterminantXu Liang(College o f M athematics and Information Scien ce ，North west Normal Uni versit y ，Lanzhou 730070，Gansu ，Chin a )Abstract:This paper introduces some common and effective calculating methods of the n-order determinant by means of examples.Key words: determinant; triangulaire determinant; up and down order; vandermonde determinant行列式是讨论线形方程组理论的一个有力工具，在数学的许多分支中都有这极为广泛的应用，是一种不可缺少的运算工具，它是研究线性方程组，矩阵，特征多项式等问题的基础，熟练掌握行列式的计算是非常必要的．行列式的计算问题多种多样，灵活多变，需要有较强的技巧．现介绍总结的计算n 阶行列式的几种常用方法．1． 定义法应用n 阶行列式的定义计算其值的方法，称为定义法． 根据定义，我们知道n 阶行列式1212121112121222()1212(1)n n nn n j j j j j nj j j j n n nna a a a a a a a a a a a π=-∑LL L L L M M L M L．这里12nj j j ∑L 表示对1,2,,n L 构成的所有排列12,,,n j j j L 求和．例1．计算n 阶行列式111212122212n n n n n n na b a b a b a b a b a b D a b a b a b ++++++=+++L L M M L M L．解：当1n =时，11D a b =+ ；当2n =时，()()1221D a a b b =-- ； 当3n ≥时，12,,i r r n i nD -=====L 111212121211110n n n n a b a b a b a a a a a a a a a a a a +++---=---L L M M L M L1()i r r -表示第一行乘(1)-加到各行上．故1112121()()203n a b n D a a b b n n +=⎧⎪=--=⎨⎪≥⎩．由定义知n 阶行列式的展开式有!n 项，计算量很大，它主要应用于行列式中许多元素为零的情况．2． 提公因式法根据行列式的性质，把一个行列式中某行（列）所有元素的公因子提到列式符号的外边的方法称为提公因式法．即11121111211212123123n n i i in i i in n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a λλλλ=LL M M L M M M L M L L M M L M M M L M LL例2．计算n 阶行列式n a b b b b a b bD b b a b b b b b a=L L LM M M L L． 解：[][][]121(1)(1)(1)1111100000(1)(1)0000(1)()n n n a b b ba nb a n b a n bb a b br r r b a bD b b a bb b a b b b a b a b b b a ba nb a n b b b a b ba b b b b aba ba nb a b -+-+-+-+++=-=+-=+---=+--L LL L L LM M LM M M M L MLLL L LL LL M M M L M M M M L M LL3．化三角形法利用行列式的性质，将行列式化为上（下）三角行列式，然后再计算行列式的值的方法称为化三角形法．此种方法是把给定的行列式表示为一个非零数与一个三角形行列式之积．所谓三角形行列式是位于对角线一侧的所有元素全部等于零的行列式，三角形行列式的值容易求得，涉及主对角线的n 阶行列式等于主对角线上元素之积，涉及次对角线的n 阶行列式等于次对角线上的元素之积且带符号()12(1)n n --．总结如下：（1） 100na a O = 1na a *O =10na a *O = 12n a a a ⋅⋅⋅．（对角形） （上三角形） （下三角形）（2）10a a nN=1na a *N=1na a *N= ()()12121n n n a a a --⋅⋅⋅．（次对角形） （次上三角形） （次下三角形） 例3．计算n 阶行列式n a b b b a b D b b a=L L M M L M L．解：将行列式的第i 列都加到第1列，()2,3,,i n =L ，可知第1列元素都相同，再提出公因式()1a n b +-⎡⎤⎣⎦，得()()()1100101n n b ba b D a n b a ba nb a b --=+-⎡⎤⎣⎦-=+--⎡⎤⎣⎦LLM M LM L例4．计算n 阶行列式123123123123n n n n x m x x x x x m x x D x x x m x x x x x m--=--L L LMM M L M L．解：将行列式的第i 列都加到第1列，()2,3,,i n =L ，第1列元素都相同，再提出公因式1n i i x m =⎛⎫- ⎪⎝⎭∑，得()2312312312312323231232311111111000000000ni n i ni n i ni n i ni n i n n n i n i n nn i i n n i i x mx x x x mx m x x D x mx x m x x mx x x m x x x x mx x x m x x m x x x x mx x x m x m m mm x m ======-=---=-----⎛⎫=-- ⎪⎝⎭--⎛⎫=-- ⎪⎝⎭-⎛=--⎝∑∑∑∑∑∑∑L LL MM M L M LL LL M M M L M LLL L M M M L M L⎫⎪⎭4．降阶法利用行列式的性质，将行列式的阶数化低；然后再计算行列式之值的方法称为降阶法．根据行列式按行（列）展开法则：n 阶行列式D 等于它的任意一行（列）的所有元素与它们对应代数余子式的乘积的和．即()()112211221,2,,1,2,,i i i i in in j j j j nj njD a A a A a A i n D a A a A a A j n =+++==+++=L L L L值得注意的是在使用时应先利用行列式性质，将某一行（列）元素尽可能多地化成零，然后再展开，使计算简便． 例5．计算n 阶行列式0000000000000000n x y xy x D x y y x=L LL M M M L M M L L． 解：将行列式按第一列展开，得()()()()11110000000000100000000001n n n n n n nx y y x x y D x y x y y xxyx y +--+=+-=+-L L LL M M LM M M M LM M LLL L例6．计算n 阶行列式12323413452121n D n n =-L L LM M M L M L解：将行列式的第i 列都加到第1列，()2,3,,i n =L ，再从第1列中提出公因式()12n n +，得 ()12313411145221121n n n D n +=-LL L M M M L M L从第()1n -行开始，各行乘()1-加到下1行，得：()()()()()()()()112211231110111111110111221110111112n n n n n n n n n n D n n n n D -----++==--+=-⋅*L L L L L MM LM MMM LM LL其中()11111111111n nn D n---=-L L M M L M L．将1D 用三角形法各行减去第1行，得()()()()()()1111112111111101100111211010.1n n n n n n n n n n n n n nD n n nn n n n n n n n n --------------==---------=-=-⋅LL L L M M L M M M L M L LL L M M L M L将1D 代入()*式，得()()()()()()()1211212211111.22n n n n n n n n n n D n n ------++=-⋅⋅-⋅=-⋅⋅5．升阶法前面介绍了在计算行列式时利用依行（列）展开定理使行列式降阶，从而使问题简化．有时与此相反，即在原行列式的基础上添加一行（列），使其升阶构造一个容易计算的新行列式，从而求出原行列式的值，这种计算行列式的方法称为升阶法．凡可利用升阶法计算的行列式具有的特点是：除主对角线上的元素外，其余的元素都相同，或任两行元素成比例．升阶时，新行（列）由哪些元素组成，添加在那个位置，这要根据原行列式的特点作出适当的选择． 例7．计算n 阶行列式2112122122212n n n n n nc a a a a a a a c a a a D a a a a c a ++=+LL M M L ML．解：将原行列式添加1行1列，得1221121221222121000n nn n n n na a a c a a a a a D a a c a a a a a a a c a +=++L L L M M M L M L， 将第1行乘()i a -后，加到第()1i +行，得12121000000n na a a a c D a c a c-=--L L L M M M L M L， 将行列式的第j 列分别乘11j c a --，()2,3,,1j n =+L ，加到第1列，就可以变为上三角形行列式，其对角线上的元素为1211,,,,nii cac c c -=+∑L ．得 1212111n nnn n n i i i i D c c a c c a --==⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭∑∑．例8．计算n 阶行列式1231111111111111111na a D a a ++=++LL LMM M L M L．解：将原行列式添加1行1列，得1231111101111011110111101111na a D a a ++=++L L L LM M M M L M L，将第1行乘()1-加到其余各行上去，得1231111110001000100010na a D a a --=--L L LL M M M M LM L，将第i 列分别乘1ia ，()2,3,,1i n =+L ，全部加到第1列，得 11231111110000000000000ni ina a D a a a =+=∑L L L L M M M M L M L， 变化为上三角形行列式，得12111nn i i D a a a a =⎛⎫=+⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭∑．例9．计算n 阶行列式123123123123n nn nx a a a a a x a a a D a a x a a a a a x a ++=++L L L M M M L M L． 解：将原行列式添加1行1列，得12312312312312310000n n n n na a a a x a a a a a x a a a D a a x a a a a a x a ++=++L L L LM M M M L M L，将第i 行，()2,3,,i n =L ，减去第1行，得123110001000100010n a a a a xxD x x--=--L L L L M M M M LM L， 将第j 列乘1x，()2,3,,j n =L ，加到第1列，得 123111000000000000nini a a a a a x x x D x x=+=∑L L L L M M M M LM L111n ni i x a x =⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑11nn i i x x a -=⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑．若0x =，显然0D =，故上式对一切x 都成立．6．递推法利用行列式的性质，把某一行列式表示为具有相同结构的较低阶行列式的关系式（称为递推关系），根据所得到的递推关系式及低阶某初始行列式的值，便可递推求得所需的结果，这种方法称为递推法． 例10．计算n 阶行列式000100010000001n a b ab a b aba b D a b ab a b+++=++L LL M M M L M M L L． 解：将行列式按第1行展开，得()()1121000000001n n n n aba b D a b D ab a b ab a ba b D abD ---+=+-++=+-LLM M MMML L于是得到一个递推关系 ()12n n n D a b D abD --=+- 变形得 ()112n n n n D bD a D bD ----=-则 ()112n n n n D bD a D bD ----=-()223n n a D bD --=-()221n a D bD -==-L()()22n n a a b ab b a b a -⎡⎤=+--+=⎣⎦所以 1n n n D a bD -=+ ，据此再递推，得 ()11222n n n n n n n D a b a bD a a b b D ----=++=++=L 12211n n n n a a b a b b D ---=++++L 1221n n n n n a a b a b ab b ---=+++++L７．拆开法利用行列式的性质，按某一行（列）将已知行列式拆为易于求值的若干行列式的和的方法，称为拆开法．即把某一行（列）的元素写成两个元素的和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两个行列式的和，使问题简化，易于计算．若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则行列式可按此行（列）拆成两个行列式之和．即11121111211112111221212121212n n n n n n n n n nn n n nn n n nna a a a a a a a a ab a b a b a a a b b b a a a a a a a a a +++=+LLLM M L M M M L M M M L M L L L M M L M M M L M M M L M LLL例11．计算n 阶行列式0000n a a a b a a D b b a b b b =L L LM M M L M L． 解：将第n 列元素写成两个元素的和，即000000n a a a b a a D b b a b b b a a++=+-L L LM M M L M L， 根据行列式的性质，得0000000000100010001001n a a a a a b a a b a D bb a b b bb b a b b b a a a a a b a b a a bb b b b bbbbb a=-=⨯-L L L L L L M M M L M M M M L M L L L L L L L L M M M L M M M M L M LL对上面的第一个行列式，将第n 列乘()b -加到其余各列上；对第二个行列式按第n 列展开，得：()()()11111001000100001n n nn n n n b a b a b a a a b a b b a a D a a b b b a b b b a b aD ⨯-⨯--------=⨯-⨯-=--LL L L L LMM M L M M M M LM LL于是获得第一个递推关系 ()11n n n D a b aD --=--如果将n D 按下面方式拆项，又得到00000000000000n b b a a a b a a a b a a a b a a b a a a a D b b a b b a b a b b b b b b b b -+==-++L L L L L L LL L M M M L M M M M L M M M M L M LLL又得到另一个递推关系 ()11n n n D b a bD --=--故有递推关系式 ()()1111n nn n n n D a b aD D b a bD ----⎧=--⎪⎨=--⎪⎩ 当a b ≠时，解得()()()1233211111n n a n n n n n n D ab a a b ab b a b aba b--------=-++++-=--L当a b =时，解得()()()()1222221111n n a n n n n nD a a a a a n a------=-++++=--L例12．计算n 阶行列式n x a a a a x a a D a axa a a a x-=-----L L LM M M L M L． 解：将n D 的第n 行可写成0,0,,0,a a a x a a ----+L ，则：00n x a a a x a a a a x a a a x a a D a a x a a axa x aa a a a--=+--------L L L L LLM M M L M M M M L M LL， 对第一个行列式，按最后1行展开；对第二个行列式，将最后1列分别加到第1列，第2列，L ，第n-1列，再按最后1行展开，得：()()()111n n n D x a D a x a --=-++若将n D 的第n 列写成0,0,,0,a a a x a a ++++-L ，则()()()112n n n D x a D a x a --=+--由以上()()1,2两式，可解得()()12n nn D x a x a ⎡⎤=++-⎣⎦ ８．换元法将行列式的元素进行变换，然后再计算行列式之值的方法，称为换元法． 这种方法主要依赖于行列式的下述性质：111111111111n nnnnj kj j k n nn n n nna x a x a a x A a x a x a a ==++=+++∑∑L L MLM M L M LL ．其中kj A 为元素kj a 在行列式1111nn nna a a a LM LM L中的代数余子式． 特别的，如果12n x x x ===L ，则上式变为1111111111n nnnkj j k n nn n nna x a x a a x A a x a xa a ==++=+++∑∑L L MLM M L M LL．例13．计算行列式123n na x x x x a x xD xx a x xx x a =L L L M M M L M L． 解：将n D 的所有元素减去x ，得12300000000000n a x a x D a xa x--=--LL L M M M L M L， D 的非主对角线元素的代数余子式等于零，而每一个主对角线元素的代数余子式等于主对角线其余元素的积，则：()()()()()123111111n nn n iji j nn i i i i D a x a x a x a x x A x a x x a x =====----+⎛⎫=-+ ⎪-⎝⎭∑∑∑∏L9 利用德蒙（Vandermonde ）行列式著名的德蒙行列式，在线性代数中占有重要的地位，在计算行列式的时候，可以直接利用其结果． 德蒙行列式的形式和结果为()1232222123111111231111n n ijj i nn n n n nx x x x x x x x x x x x x x ≤≤≤----=-∏L L LM MM L ML．例14．计算n 阶行列式()()()()()()()()()()()()112233222211223311111122331111111111111111n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x D x x x x x x x x ------------=----LL L M M ML M L．解：将第1列元素变形拆开，得()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()1122331122332222112233111111223312311223322221122331111111111111111111111111n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x D x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ----------------=----------------=L L L M M ML M LL L LM M M LM()()()()1111122331111n n n n n x x x x x x x --------L()()()()()()()()()()()()123112233222211223311111122331111111111111111n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ----------------+----LL L M M ML M L把第一个行列式从第1行起依次将第i 行加到第()1i +行；第二个行列式的第i 列提取()11,2,,i x i n -=L ，得()()()12322221231233333222212312311111123123111111111n n n nn n i ni nn n n n n n n n nn ni i i j i i j i nx x x x x x x x x x x x D x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =----==≤<≤=+-⎡⎤=---⎢⎥⎣⎦∏∏∏∏L L L L L L M M M L M M M M L M LL综上所述，我们介绍了计算n 阶行列式的9种常见方法，最后指出：计算一个n 阶行列式常常有多种方法，有时需要多种方法配合使用，对于给定的n 阶行列式，究竟选择何种计算方法最简便，还需在实践中积累经验．参考文献:[1] 禾瑞，郝炳新．高等代数[M]．第四版．：高等教育，1999． [2] 毛纲源．线性代数解题方法技巧归纳[M]．：华中理工大学，2000．。