§4.3 非线性电路分析法 §4.3.1 幂级数法
例题4.3.1解答（2）
由上面分析可知，差频分量的频率为 500Hz 要求振幅需要计算：

v 0.4 0.3 cos 2000t 0.2 cos 3000t
v V0 0.3 cos2000 t 0.2 cos3000 t

什么是叠加原理？
输入 输出
X1 X 1 2X 2
电路
Y1 Y 1 2Y2
则称该电路满足叠加原理
§4.2 非线性元件的特征
（特征3）非线性电路不满足叠加原理
假如一个非线性元件输 入量v与输出量i的关系是
i k v2
当输入信号 v1 V1 sin 1t时, 输出为i1 k (V1 sin 1t )2 当输入信号 v2 V2 sin 2t时, 输出为i2 k (V2 sin 2t )2
将(v V0 )的表达式代入 i的表达式中
i b0 b1 (V1 cos1t V2 cos2t ) b2 (V1 cos1t V2 cos2t ) 2 b3 (V1 cos1t V2 cos2t )3
b0 b1 (V1 cos1t V2 cos2t ) b2V12 cos2 1t b2V22 cos2 2t 2b2V1 cos1tV2 cos2t
§4.2 非线性元件的特征
§4.3 非线性电路分析法

根据具体电路的不同，分析方法是多种多 样的，最常见也最实用的方法有2种： 幂级数法



用泰勒级数将曲线在某一点展开成级数形式 将曲线近似看成若干首尾相接的线段连接而 成的折线
第四章 非线性电路、时变参量电路和变频器
折线法

§4.3.1 幂级数法
V0
v
如果 v是小交流 ( 动态 ) 电压Vsm sin t
v dv 1 动态电阻为 lim v 0 i di tan
则输出i是小交流 ( 动态 ) 电流 I sm sin t
可见非线性元件的静态电阻与动态电阻是不一样的
（特征2）非线性元件的频率变换作用
假如一个非线性元件输 入量v与输出量i的关系是
b3V13 cos3 1t 3b3V12 cos2 1tV2 cos2t 3b3V1 cos1tV22 cos2 2t b3V23 cos3 2t
对含余弦相乘的项进行积化和差，直到没有余弦相乘的项
§4.3 非线性电路分析法 §4.3.1 幂级数法
两个余弦波的叠加信号经过非线性电路

§4.2 非线性元件的特征

非线性元件的三个主要特征

（1）输出量与输入量不是线性关系；

这将导致静态(直流)电阻与动态(交流)电阻的不一致 混频器正是利用了非线性元件的这个特性

（2）具有频率变换作用；


（3）不满足叠加原理。

这一特征其实是由第(1)个特征决定的
第四章 非线性电路、时变参量电路和变频器
第四章 非线性电路、时变参量电路和变频器
电路性质：非线性 分析方法：幂级数法、折线法 基础知识：泰勒级数、频谱的概念、三角变换
电路基础与模电中的很多结论不再适用
折线法是学习第五章功率 放大器的重要基础！
本章内容
§4.1 概述 §4.2 非线性元件的特征 §4.3 非线性电路分析法 §4.5 变频器的工作原理 §4.6 晶体(三极)管混频器 §4.7 二极管混频器 §4.8 差分对模拟乘法器混频电路 §4.9 混频器中的干扰
当输入信号为 v1 v2 V1 sin 1t V2 sin 2t时
输出信号为 k (V1 sin 1t V2 sin 2t )2
2 2
k V1 sin 1t k V2 sin 2t 2kV1 sin 1t V2 sin 2t
显然不等于i1+i2，即不满足叠加原理

此方程只有b2一个未知数，故可求之。
大家可以对照教材133页的实例理解这个过程
一旦确定了这3个系数，那么任意给定一个输入信号， 我们都可以求出输出信号的表达式了。
§4.3 非线性电路分析法 §4.3.1 幂级数法
两个余弦波的叠加信号经过非线性电路
为什么要分析这种情况？ 因为下节要讲的一种混频器正是根据这个 原理来实现的。 2 3 设i b0 b1 (v V0 ) b2 (v V0 ) b3 (v V0 )
i k v 2 (CMOS器件就有这种特性 )
当输入信号v Vsm cos st的标准余弦波时
注意Vsm是余弦波的振幅，是一个常数
2 输出信号i k(Vsm cos st )2 kVsm cos 2 st
1 2 1 2 1 2 kVsm ( 1 cos 2s t ) kVsm kVsm cos 2st 2 2 2

其中的v V0 V1 cos1t V2 cos2t 因此(v V0 ) V1 cos1t V2 cos2t 注意(v V0 )项不含直流成分
这一点是大家在做题时一定要注意的地方
§4.3 非线性电路分析法 §4.3.1 幂级数法
两个余弦波的叠加信号经过非线性电路
注意：这只是各系数的数学意义，由于f(v)的表达式 在实际情况下往往不知道，所以不能直接通过这些公式求各系数
如何通过测绘的曲线图近似求得各系数？

一般情况下，只研究f(v)的前3项即可，即 忽略第4项及其以后的各项。
i b0 b1 (v V0 ) b2 (v V0 )
先看b0的物理意义
v
§4.2 非线性元件的特征 （1）输出与输入量的非线性关系
可见线性元件的静态电阻与动态电阻是一样的
非线性元件输入输出关系曲线
i
v
以二极管为例 根据二极管特性可画出i-v曲线 i
v
§4.2 非线性元件的特征 （1）输出与输入量的非线性关系
非线性元件的静态电阻与动态电阻不一样
i
I0


如果v是一个直流 (静态)电压V0 则输出i是一个直流 (静态)电流I 0 V0 1 因此静态电阻为 I 0 tan

§4.3 非线性电路分析法
§4.3.1 幂级数法
例题4.3.1

若一非线性电路满足教材134页的4.3.8式，
i 8 40(v 0.4) 50(v 0.4)
2
当输入信号为 0.4 0.3 cos2000 t 0.2 cos3000 t (伏特)
（1）输出信号都有哪些频率分量？ （2）求输出信号中，差频分量的频率及其振 幅。

§4.4、§4.10不讲
第四章 非线性电路、时变参量电路和变频器
§4.1 概述
常用的无线电元件：
线性电路（谐振电路、滤波器、小信号放大器） 线性元件 元件参数与通过元件的电流或者元件两端的电压无关。 例如：电阻、电容、空芯电感。 非线性电路（功率放大器、振荡器、各种调制和解调器） 非线性元件 元件参数与通过元件的电流或者元件两端的电压有关。 例如：二极管、晶体管、磁芯电感。 时变参量元件 时变参量电路（变频器） 它的参数是按照一定规律随时间变化的。
§4.3 非线性电路分析法
§4.3.1 幂级数法
例题4.3.1解答（1）
因为4.3.8式中最高次项的次数是2
根据幂级数分析法得到 的规律可知 输出信号中含有的频率 成分有p1 q2 (其中p q 2) p 0, q 0 直流成分 2000 分量 ,即 f 1000Hz分量 p 1, q 0 3000 分量 ,即 f 1500Hz分量 p 0, q 1 p 1, q 1, p q 5000 分量 ,即 f 2500Hz分量 1000 分量 ,即 f 500Hz分量 p 1, q 1, p q 4000 分量 ,即 f 2000Hz分量 p 2, q 0 p 0, q 2 6 000 分量 ,即 f 3000Hz分量
（特征1）输出与输入量的非线性关系

为了更好地了解非线性元件，我们先研究 一下线性元件的特点：
输入量v 输出量i
i
纯电阻R
i
1 则有 i v R
v

v
1 1 此直线的斜率为 tan , 即R R tan
第四章 非线性电路、时变参量电路和变频器 §4.2 非线性元件的特征
线性元件的静态电阻与动态电阻是一样的
观察上式可以发现一些规律
§4.3 非线性电路分析法 §4.3.1 幂级数法
两个余弦波的叠加信号经过非线性电路

信号频率变换的规律
（1）含有新的频率成分； （2）如果把频率成分表示成pω1 ± qω2的形式，其 中p和q是大于等于0的整数，则p+q一定小于等于幂 级数表达式中的最高次数； 这两点比较常用 （3）频率组合总是成对出现的； 具体分析k0~k12还可发现 （4）p+q为偶数的项的系数只与b0，b2,„有关，而 与b1,b3,„无关，反之亦然 （5）令p+q=m，则含有pω1 ± qω2的项的系数只与bm 及bm以后的b有关，而与b0至bm-1无关

非线性器件的伏安特性,可用下面的非线 性函数来表示：
i f (v)
根据高等数学知识 , 如果f (v)这个函数在 V0处各阶导数存在
则i可以表示成如下的泰勒 级数的形式:
i b0 b1 (v V0 ) b2 (v V0 )2 b3 (v V0 )3 ... 1 1 其中 b0 f (V0 ), b1 f (V0 ), b2 f (V0 ), b3 f (V0 )... 2! 3!
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