第十一章 高考概率与统计考点解析概率与统计试题是高考的必考内容。

当求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率，解此类题目常应用以下知识：(1) 等可能性事件(古典概型)的概率：P (A )＝)()(I card A card ＝n m ; 等可能事件概率的计算步骤：① 计算一次试验的基本事件总数n ;② 设所求事件A ，并计算事件A 包含的基本事件的个数m ;③ 依公式()m P A n=求值;④ 答，即给问题一个明确的答复。

(2) 互斥事件有一个发生的概率：P (A ＋B )＝P (A )＋P (B );特例：对立事件的概率：P (A )＋P (A )＝P (A ＋A )＝1。

(3) 相互独立事件同时发生的概率：P (A ·B )＝P (A )·P (B );特例：独立重复试验的概率：P n (k )＝k n k k n p p C --)1(。

其中P 为事件A 在一次试验中发生的概率，此式为二项式[(1-P)+P]n 展开的第k+1项。

(4) 解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”：① 求概率的步骤是：第一步，确定事件性质⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩等可能事件 互斥事件 独立事件n 次独立重复试验即所给的问题归结为四类事件中的某一种。

第二步，判断事件的运算⎧⎨⎩和事件积事件即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件。

第三步，运用公式()()()()()()()()(1)k k n k n n m P A n P A B P A P B P A B P A P B P k C p p -⎧=⎪⎪⎪+=+⎨⎪⋅=⋅⎪=-⎪⎩等可能事件: 互斥事件： 独立事件： n 次独立重复试验:求解第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复。

考点1 考查等可能事件概率计算在一次实验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等。

如果事件A 包含的结果有m 个，那么P （A ）= nm 。

这就是等可能事件的判断方法及其概率的计算公式。

高考常借助不同背景的材料考查等可能事件概率的计算方法以及分析和解决实际问题的能力。

例1、从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛。

(I) 求所选3人都是男生的概率；(II)求所选3人中恰有1名女生的概率；(III)求所选3人中至少有1名女生的概率。

解：(I) 所选3人都是男生的概率为 34361.5C C =(II) 所选3人中恰有1名女生的概率为 1224363.5C C C = (III) 所选3人中至少有1名女生的概率为12212424364.5C C C C C +=考点2 考查互斥事件至少有一个发生与相互独立事件同时发生概率计算不可能同时发生的两个事件A 、B 叫做互斥事件，它们至少有一个发生的事件为A+B ，用概率的加法公式)()()(B P A P B A P +=+计算。

事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，则A 、B 叫做相互独立事件，它们同时发生的事件为B A ⋅。

用概率的法公式()()()B P A P B A P ⋅=⋅计算。

高考常结合考试竞赛、上网工作等问题对这两个事件的识别及其概率的综合计算能力进行考查。

例2、设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响。

已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125， （Ⅰ）求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少；（Ⅱ）计算这个小时内至少有一台需要照顾的概率。

解：（Ⅰ）记甲、乙、丙三台机器在一小时需要照顾分别为事件A 、B 、C ，……1分则A 、B 、C 相互独立，由题意得：P （AB ）=P （A ）P （B ）=0.05P （AC ）=P （A ）P （C ）=0.1，P （BC ）=P （B ）P （C ）=0.125………4分解得：P （A ）=0.2；P （B ）=0.25；P （C ）=0.5所以， 甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是0.2、0.25、0.5……6分（Ⅱ）∵A 、B 、C 相互独立，∴AB C 、、相互独立，……………………………………7分 ∴甲、乙、丙每台机器在这个小时内需都不需要照顾的概率为()()()()0.80.750.50.3P A B C P A P B P C ⋅⋅==⨯⨯=……………………………10分 ∴这个小时内至少有一台需要照顾的概率为1()10.30.7p P A B C =-⋅⋅=-=……12分考点3 考查对立事件概率计算必有一个发生的两个互斥事件A 、B 叫做互为对立事件。

即-=A B 或-=B A 。

用概率的减法公式()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=_1A P A P 计算其概率。

高考常结合射击、电路、交通等问题对对立事件的判断识别及其概率计算进行考查。

例3、甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为5221与。

（Ⅰ）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求恰好命中一次的概率；（Ⅱ）甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率。

解：（Ⅰ）依题意，记“甲投一次命中”为事件A ，“乙投一次命中”为事件B ，则.53)(,21)(,52)(,21)(====B P A P B P A P ∵“甲、乙两人各投球一次，恰好命中一次”的事件为B A ⋅+⋅.2152215321)()()(=⨯+⨯=⋅+⋅=⋅+⋅∴B A P B A P B A B A P 答：甲、乙两人在罚球线各投球一次，恰好命中一次的概率为.21 （Ⅱ）∵事件“甲、乙两人在罚球线各投球二次均不命中”的概率为100953532121=⨯⨯⨯=P∴甲、乙两人在罚球线各投球两次至少有一次命中的概率.10091100911=-=-=P P 答：甲、乙两人在罚球线各投球二次，至少有一次命中的概率为.10091考点4考查独立重复试验概率计算若在n 次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖其它各次试验的结果，则此试验叫做n 次独立重复试验。

若在1 次试验中事件A 发生的概率为P ，则在n 次独立惩处试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为()()k n kk n n P P C k P --=1。

高考结合实际应用问题考查n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率的计算方法和化归转化、分类讨论等数学思想方法的应用。

例4、某会议室用5盏灯照明，每盏灯各使用灯泡一只，且型号相同。

假定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关，该型号的灯泡寿命为1年以上的概率为p 1，寿命为2年以上的概率为p 2。

从使用之日起每满1年进行一次灯泡更换工作，只更换已坏的灯泡，平时不换。

（Ⅰ）在第一次灯泡更换工作中，求不需要换灯泡的概率和更换2只灯泡的概率；（Ⅱ）在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该盏灯需要更换灯泡的概率； （Ⅲ）当p 1=0.8，p 2=0.3时，求在第二次灯泡更换工作，至少需要更换4只灯泡的概率（结果保留两个有效数字）。

解：（I ）在第一次更换灯泡工作中，不需要换灯泡的概率为,51p 需要更换2只灯泡的概率为;)1(213125p p C -（II ）对该盏灯来说，在第1、2次都更换了灯泡的概率为（1-p 1）2；在第一次未更换灯泡而在第二次需要更换灯泡的概率为p 1(1-p 2)，故所求的概率为);1()1(2121p p p p -+-=（III ）至少换4只灯泡包括换5只和换4只两种情况，换5只的概率为p 5（其中p 为（II ）中所求，下同）换4只的概率为415p C （1-p ），故至少换4只灯泡的概率为.34.042.34.04.06.056.06.07.08.02.0,3.0,8.0).1(45322141553只灯泡的概率为年至少需要换即满时又当=⨯⨯+=∴=⨯+===-+=p p p p p p C p p考点5 考查随机变量概率分布与期望计算1.离散型随机变量的分布列①离散型随机变量的分布列的概念和性质一般地，设离散型随机变量ξ可能取的值为1x ，2x ，……，i x ，……，ξ取每一个值i x （=i 1，2，……）的概率P （i x =ξ）=i P ，则称下表.为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列.由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质：（1）0≥i P ，=i 1，2，...;（2）++21P P (1)②常见的离散型随机变量的分布列：（1）二项分布n 次独立重复试验中，事件A 发生的次数ξ是一个随机变量，其所有可能的取值为0，1，2，…n ，并且k n k kq p C k P P -===)(ξ，其中n k ≤≤0，p q -=1，随机变量ξ的分布列如下：称这样随机变量ξ服从二项分布，记作),(~p n B ξ，其中n 、p 为参数，并记：),;(p n k b q p C k n k k n =- .（2）几何分布在独立重复试验中，某事件第一次发生时所作的试验的次数ξ是一个取值为正整数的离散型随机变量，“k ξ=”表示在第k 次独立重复试验时事件第一次发生.随机变量ξ的概率分布为：2.概率的法公式去计算这些可能取值的概率值即可等到分布列，最后根据分布列和期望、方差公式去获解。

以此考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念和运用概率知识解决实际问题的能力。

例5、某地最近出台一项机动车驾照考试规定；每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，使可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止。

如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，0.9，求在一年内李明参加驾照考试次数ξ的分布列和ξ的期望，并求李明在一年内领到驾照的概率。

解：ξ的取值分别为1，2，3，4。

1=ξ，表明李明第一次参加驾照考试就通过了，故P （1=ξ）=0.6。

2=ξ，表明李明在第一次考试未通过，第二次通过了，故.28.07.0)6.01()2(=⨯-==ξPξ=3，表明李明在第一、二次考试未通过，第三次通过了，故.096.08.0)7.01()6.01()3(=⨯-⨯-==ξPξ=4，表明李明第一、二、三次考试都未通过，故.024.0)8.01()7.01()6.01()4(=-⨯-⨯-==ξP∴ξ李明在一年内领到驾照的概率为1－(1－0.6)(1－0.7)(1-0.8)(1－0.9)=0.9976。

考点6考查随机变量概率分布列与其他知识点结合1、考查随机变量概率分布列与函数结合例6、某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是0.4，0.5，0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值。