第九章 线性系统的状态空间分析与综合9-1 设系统的微分方程为u x x x =++23&&&其中u 为输入量，x 为输出量。

⑴ 设状态变量x x =1，x x &=2，试列写动态方程；⑵ 设状态变换211x x x +=，2122x x x --=，试确定变换矩阵T 及变换后的动态方程。

解：⑴ u x x x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1032102121&&，[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2101x x y ； ⑵ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2121x x T x x ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2111T ；⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-11121T ；AT T A 1-=，B T B 1-=，CT C =； 得，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2111T ；u x x x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1110012121&&，[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2111x x y 。

9-2 设系统的微分方程为u y y y y 66116=+++&&&&&&其中u 、y 分别系统为输入、输出量。

试列写可控标准型(即A 为友矩阵)及可观标准型(即A 为友矩阵转置)状态空间表达式，并画出状态变量图。

解：可控标准型和可观标准型状态空间表达式依次为，[]x y u x x 0061006116100010=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=&；[]xy u x x 1000066101101600=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=&； 可控标准型和可观标准型的状态变量图依次为，9-3 已知系统结构图如图所示，其状态变量为1x 、2x 、3x 。

试求动态方程，并画出状态变量图。

解：由图中信号关系得，31x x =&，u x x x 232212+--=&，32332x x x -=&，1x y =。

动态方程为u x x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=020*********&，[]x y 001；状态变量图为9-4 已知双输入双-输出系统状态方程和输出方程23213213212161162u x x x x u u x x u x x +---=-+=+=&&&，32122112x x x y x x y -+=-=， 写出其向量-矩阵形式并画出状态变量图。

解：状态方程 u x x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=1012016116100010&，x y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=112011； 状态变量图为9-5 已知系统传递函数为3486)(22++++=s s s s s G ，试求出可控标准型(A 为友矩阵)、可观标准型(A 为友矩阵转置)、对角型(A 为对角阵)动态方程。

解：135.015.113452)(2++++=++++=s s s s s s G ；可控标准型、可观标准型和对角型依次为[]u x y u x x +=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=25104310&；[]u x y u x x +=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=10254130&；[]ux y u x x +=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=115.05.13001&。

9-6 已知系统传递函数为)2()1(5)(2++=s s s G ，试求约当型(A 为约当阵)动态方程。

解：2)1(5)1(525)(+++-++=s s s s G ；u x x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=555100110002&，[]x y 011=。

9-7 已知系统的状态方程为u x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=111101&， 初始条件为1)0(1=x ，0)0(2=x 。

试求系统在单位阶跃输入作用下的响应。

解法1：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=Φ--t t t e te e s s L t 01101)(11； ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰---t t t t t t t t t t t t t te e te e te e d e e t e e te e x 212111)(00100τττττ。

解法2：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=+-=-s s s s s s s s s s x s Bu A s s x 21)1(111)1(11)1(1)}0()({)I ()(22221； ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==-t t te e s x L x 212)]([1。

9-8 已知系统的状态转移矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+---=Φ--------t t tt t t tt e e ee e e e e t 222232332223)(， 试求该系统的状态阵A 。

解：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=Φ==4321)(0t t A &。

(注：原题给出的)(t Φ不满足A =Φ)0(&及A t t A t )()()(Φ=Φ=Φ&。

) 9-9 已知系统动态方程u x x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=210311032010&，[]x y 100=， 试求传递函数)(s G 。

解：B A s C s G 1)I ()(--=，[][]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++----+-----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+-=-210231503620396710021031103201100)(22231s s s s s s s s s s s s s s s G ； 67372)(32--++=s s s s s G 。

9-10 试求所示系统的传递函数矩阵。

u x x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=1012016116100010&，x y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=112011。

解：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---+-++++++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--=---2222311611666161166116161161001)I (s s s s s s s s s s s s s s s A s ； ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---+-+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++=1012016116661611611201161161)(22223s s s s s s s s s s s s s G ； ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-++--+++==442845429461161)(22223s s s s s s s s s s G 。

9-11 已知差分方程)(3)1(2)(2)1(3)2(k u k u k y k y k y ++=++++，试列写可控标准型(A 为友矩阵)离散动态方程，并求出1)(=k u 时的系统响应。

给定0)0(=y ，1)1(=y 。

解：系统的脉冲传递函数为2332)(2+++=z z z z G ，1)(-=z zz U ；)(10)(3210)1(k u k x k x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=+，[])(23)(k x k y =。

)2(32)1(2)1(65)2)(1)(1(32)}0(3)1()0()(){()(232++++-=++-+=+++=z z z z z z z z z z z y z y z y z U z G z Y ；322)1(65)(1++-+=k k k y 。

9-12 已知连续系统动态方程为u x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=102010&，[]x y 01=，设采样周期s T 1=，试求离散化动态方程。

解：设)()(k u t u =，T k t kT )1(+<≤；⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=---)2/(10)]2(/[1/1201)(11s s s s s s A sI ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=Φtte e t 220)1(5.01)(； ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=Φ=Φ220)1(5.01)(e e T ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-Φ=Γ⎰)1(5.0)3(25.010)(220e e t d t T T ； )()1(5.0)3(25.0)(0)1(5.01)1(2222k u e e k x e e k x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+，[])(01)(k x k y =。

9-13 判断下列系统的状态可控性：⑴ u x x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=100041020122&； ⑵ u x x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=010*********&；⑶ u x x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=011000010010011&； ⑷ u x x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=121100040004&；⑸ u x x ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=11100000000000012111λλλλ&； ⑹ u x x ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=11000000000100012111λλλλ&。

解：⑴ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=101000210U ，n U <=2rank ； 状态不完全可控；⑵ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=210111210U ，n U <=2rank ； 状态不完全可控；⑶ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1101101010001U ，3rank 1=U ； 状态完全可控；⑷ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=11132821641U ，n U <=2rank ； 状态不完全可控；⑸ ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=3222231211312112111113210λλλλλλλλλλλU ，n U <=3rank ；状态不完全可控；⑹ ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=322223121121111132103100λλλλλλλλλU ，4rank =U ；状态完全可控；9-14 已知bc ad =，试计算=⎥⎦⎤⎢⎣⎡100d c b a ？解：矩阵A 的特征方程为 0)()(2=+-=s d a s s α， 据凯莱哈密尔定理得知：0)(2=+-A d a A ，k k A d a A )(1+=+；A d a A 99100)(+=；⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a d a d c b a 99100)(。