算电缆单位长度的自感。
解：根据对称性和安培环路定理，在内圆筒和外圆筒
外的空间磁场为零。两圆筒间Байду номын сангаас场为:
B 0I 2r
(R1 r R2 )
R2 R1
考虑 l长电缆通过面元 ldr 的磁通量为
d m
B
dr
l
0I 2r
ldr
I
l
I
m
R2 0I ldr 0Il ln R2
R1 2r
2 R
电缆单位长度的自感:
回路电流的变化 。
自感 L有维持原电路状态的能力，L就是这种能力 大小的量度，它表征回路电磁惯性的大小。
4
3.自感电动势
由法拉第电磁感应定律
d dt可知：
自感电动势：L
d dt
L dI dt
负号表明自感电动势的方向总是 要阻碍回路本身电流的变化。
注意: L与i符合右手螺旋关系, 即i与i方向一致
这是由于电键 K 闭合瞬间，电路中电流发生变化， 在线圈 L 中产生自感电动势，阻止支路中的电流变化， 电流是渐变的。
2
2.自感系数 L
由毕－萨定理知：B I ,
又由磁通量的定义知 B I
写成等式： LI
L称为自感系数简称自感。 单位：“亨利”（H）
1H 1Wb A1
1H 103 mH 106 μH
7
L
m lI
10 ln 2
R2 R1
该面积的磁通链
二、互感 互感系数
2
1.互感现象
当线圈 1中的电流变化时,所激发 的磁场会在它邻近的另一个线圈 2 中产生感应电动势。
这种现象称为互感现象。该电动势叫互感电动势。
互感电动势与线圈电流变化快慢有关；与两个线圈结构以及它 们之间的相对位置和磁介质的分布有关。
解：设螺线管中通有电流I，则管内的磁感应强度 B=μ0nI
12 N1m12 ln 1B 2S ln 1 n 2 I 2S
l
线圈 2 在线圈 1 中产生的互感系数：
M 12
12 I2
n1n2lS ,
S
I2
n1 n2
由此可看出，两线圈的互感系数相等。
M 21 M 12 M n1n 2lS
12
例2、证明上例中两线圈的互感系数为：M L1L2
证明：线圈1的自感系数为：L1 n12lS 线圈 2 的自感系数为：L2 n22lS L1L2 2n12n 22l2S 2
M 就叫做这两个线圈的互感系数，简称为互感。
M 21 12 I1 I2
单位：亨利（H）
2
要求
:
与对应的I
符合右手螺旋关系
互感系数与两线圈的大小、形状、磁介质和相对位置有关。
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3.互感电动势 由法拉第电磁感应定律可知：
线圈1电流变化在线圈2中产生的互感电动势:
21
d21 dt
M 21
dI1 dt
自感系数 L 取决于回路线圈自身的性质（回路大 小、形状、周围介质等） 。
3
L
d dt
d(LI ) dt
(L
dI dt
I
dL ) dt
如果回路自身性质不随时间变化，则：
L
L
dI dt
结论 ： 回路中的自感系数，在量值上等于电流随时
间的变化率为一个单位时，在回路中产生自感电动势
的绝对值。
式中负号（-）表示：自感电动势的方向总是阻碍本身
n1 、n2，两线圈完全耦合，求两线圈的互感系数。
解：设线圈 1 中的电流为 I1，
线圈 1 在线圈 2 中产生的磁链：
l
21 N2m21 ln 2 B1S
ln 2n1 I1S
S n1 n2
线圈 1 在线圈 2 中产生的互感系数：
M 21
21 I1
n1n 2lS
11
设线圈 2 中的电流为 I2， 线圈 2 在线圈 1 中产生的磁链：
由
L
L
dI知，要求自感电动势，应先求自感系数 dt
自感系数的计算：
①假设线圈中的电流 I ；
②求线圈中的磁通量 m （或 磁链）； ③由定义求出自感系数 L。
对于上述的由一个线圈构成的电子元件称为电感。
5
例1一长直螺线管，线圈密度为 n，长度为 l，横截面
积为 S，插有磁导率为 的磁介质，求线圈的自感系
x
l
a
ab a
0I 2x
ldx
0 Il 2
ln
a
b a
o ab x
互感系数：
M 21
21 I1
m I
0lI 2I
ln
a b a
0l ln a b
考虑：当导线放 在矩形导线框中 部，互感系数为 多大？
I
14 2 a
例4、一长直螺线管,单位长度上的匝数为n，有一半径为r 的圆环放在螺线管内，环平面与管轴垂直，求螺线管与圆 环的互感系数。
第三节 自感和互感
1
一、自感 自感系数
1.自感现象
当线圈中电流变化时，它所 激发的磁场通过线圈自身的磁通 量也在变化，使线圈自身产生感 应电动势的现象叫自感现象。该 电动势称为自感电动势。
演示实验：在实验中，两并联支路中的电阻与电感的纯 电阻相同，当电键 K闭合时，灯泡 1 立刻点亮，而灯 泡 2 为渐亮过程。
L1L2 n1n2lS M 证毕。
对于两线圈不完全耦合时
M k L1L2 其中 k 为耦合系数, （0＜k≤1）
13
例3 、在长直导线旁距 a 放置一长为 l、宽为 b 的矩形 导线框，求两导体的互感系数。
解：设直导线中通有电流 I ，
载流直导线在矩形线圈内产生的 磁通量为：
I
ab
m B dS Bldx
2.互感系数
线圈 1所激发的磁场通过线圈 2的磁通链数 21
21 N2m21,
m21由“1”产生穿过“2”的磁通；
线圈2所激发的磁场通过线圈1的磁通链数为 12
8 12 N1m12 ,
m12由“2”产生穿过“1”的磁通；
21 I1, 12 I2 写成等式：21 M 21I1, 12 M12I2 从能量观点可以证明两个给定的线圈有： M 21 M12 M
M
dI1 dt
线圈2电流变化在线圈1中产生的互感电动势:
12
d12 dt
M12
dI 2 dt
M dI2 dt
互感系数的计算：
①假设线圈中的电流 I ； ②求另一个线圈中的磁通量m （或 磁链）； ③由定义求出互感系数 M。
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例1、长为 l、横截面积为 S 的长直螺线管，插有磁导率
为 的磁介质，绕两个线圈，两线圈的线圈密度分别为
数L 。
l
解： 设线圈中通有电流 I ，
线圈中的磁通量为：
m BS nIS
线圈中的自感系数L为：
S
n
I
L Nm N nIS
II
I
其中匝数：N ln
则自感系数 L NnIS lnnIS n2lS
I
I
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例2一电缆由内外半径分别为R1、R2的两个无限长同轴 圆筒状导体构成。两圆筒电流大小相等方向相反。计