m1m2
m1m2
6.2 无阻尼多自由度系统自由振动
将两个根代回到系统的齐次线性方程组得到非零解为：
1
11 21
2
12 22
因此，二自由度无阻尼系统可能产生的振动为：
ur
(t
)
r
sin(rt
r
)
1r 2r
sin(rt
r
)
（r =1,2）
每个根对应一种振动
说明，二自由度无阻尼系统的自由振动响应是由两种不同频
6.2 无阻尼二自由度系统自由振动
6.1.1分别以牛顿定律和拉格朗日方程为基础导出振动方程
6.1 建立系统微分方程组
6.1.1分别以牛顿定律和拉格朗日方 程为基础导出振动方程
6.1 建立系统微分方程组
矩阵形式：
m1
0
0 m2
••u••1 u2
c1 c2
c2
c2 c 2 c3
•
u1
•
u2
k1 k2
k2
第六章：二自由度系统的振动
在实际工程中，仅用一个独立坐标常常难以正 确描述系统的运动。本章介绍二自由度系统的动力 学问题。
最简单的多自由度系统是二自由度系统。然而 自由度由一增加到二，会产生质的变化，带来一系 列新的物理概念。而二自由度和三自由度以及更高 自由度的区别，仅仅在数量上和系统的复杂程度上。
k2 (u1 u2 ) c2 (u1 u2 )
u2 f2 m2
k3u2 c3u2
6.1 建立系统微分方程组
写成矩阵形式：
m1
0
0 m2
••u••1 u2
c1 c2
c2
c2 c 2 c3
•
u1
•
u2
k1 k2
k2
k2 k2 k3
u1
u2
f1 f2
m1u1 (c1 c2 )u1 c2u2 (k1 k2 )u1 k2u2 f1
u1 k2
m1 c2
u2 k3
m2 c3
u1
k1u1
k2 (u1 u2 )
c1u1
f1 c2 (u1 u2 ) m1
f2 k2u1 (k2 k3 )u2 (c2 c3 )u2 c2u1 m2u2 m2u2 (c2 c3 )u2 c2u1 k2u1 (k2 k3 )u2 f2
6.2 无阻尼多自由度系统自由振动
将解的形式代入到方程组得到： sin(t )(K 2M ) 0
要使方程任意时刻成立，必须： (K 2M ) 0
即
k11 m12
k21
k22
k12 m2
2
12
0 0
为两个未知数的齐 次线性方程组。
要使方程组有非零解，则它 的系数行列式必须为零，即
初始条件：
u1(0) u2 (0)
u10 u20
uu•• 12((00))
u•• 10 u20
对三个以上自由度系统，可以用同样的方法得到微分方程组。
简写为
Mu(t) Cu(t) Ku(t) f (t)
质量 矩阵
阻尼 刚度 矩阵 矩阵
加速度向量 速度向量 位移向量 激励向量
6.1 建立系统微分方程组
k2 k2 k3
u1
u2
f1 f2
二自由度微分方程组特点：
1、形式上与单自由度系统受迫振动微分方程相同。但M，K，C 不是常数，而是矩阵。
2、通常K，C矩阵不是对角阵，说明系统运动是关联的。这种运 动的关联称为耦合，是二自由度区别于单自由度的基本特征
6.2 无阻尼多自由度系统自由振动
det
k11
m12 k21
k22
k12
m2
2
0
行列式展开得到：
(2 )2 ( k11 k22 )2 k11k22 k122 0
m1 m2
m1m2
可看作是关于ω2的二次方程，解得一对根为：
2 1,2
m1k22 m2k11 2m1m2
1 2
( m1k22 m2k11 ) 4(k11k22 k122 )
12
0 0
线性方程组
k11 m12
k12
k21
k22
m2 2
特征矩阵
r r2
特征值（特征根）
1r 2r
（r
=1,2）
与特征值对应的特征向量
6.2 无阻尼多自由度系统自由振动
将固有频率ω代入系统线性方程，得到系统作第一、二阶
固有振动时两质量块振幅之比，分别为：
s1
def
11 21
因此二自由度系统是本章的重要基础部分。
第六章：二自由度系统的振动
建立系统微分方程 无阻尼二自由度系统自由振动 固有频率和主振型
6.1 建立系统微分方程组
6.1.1 分离体受力分析方法-牛顿定律 k1
假设：u1 u2 u1 u2
c1
k1、c1拉伸；k2、c2压缩； k3、c3压缩
f1 (k1 k2 )u1 k2u2 (c1 c2 )u1 c2u2 m1u1
M
m1
0
0
m2
K
k11 k21
k12
k22
u1
k1
k2
m1
u2 k3 m2
由于单自由度无阻尼系统自由振动是简谐振动，所以可以设 想二自由度无阻尼系统也有类似的作简谐振动的自由振动。
由于系统有两个自有度，它们的各自运动未必有相同 的幅值，所以方程解的形式为：
其中，
uu((tt))为解sin的(二t 维 )向def量，12 φsi表n(示t 振 幅) 的二频 但维率 振向、 幅量相 不。位 同相。 同 ，12
k11
k12 12m1
s2
def
12 22
k11k12Βιβλιοθήκη 22m1定义向量1
21
s1 1
2
22
s2
1
分别为第一、二阶固有振动的振型，简称固有振型。反映了 二自由度系统作固有振动时的形态。
无阻尼系统的固有频率和固有振型称为系统的固有模态，因 此固有振型向量也称为模态向量。
1 2 n 为固有振型矩阵，为所有模态向量组成。
率ω1、 ω2的简谐振动的合成。（ ω1 < ω2 ）
分别将ω1和ω2称为系统的第一阶固有频率和第二阶固有频 率，各阶固有频率所对应的振动分别称为系统的第一阶固 有振动和第二阶固有振动。 每个根对应一种固有振动
6.2 无阻尼多自由度系统自由振动
一些概念：
k11 m12
k21
k22
k12 m22
6.2.1坐标的选择与方程耦合
1 l2
J J
ml22 ml1l2
J J
ml1l2 ml12
••
x1
••
x2
k1 0
0 k2
x1 x2
0 0
6.2 无阻尼多自由度系统自由振动
6.2.1 二自由度无阻尼系统固有振动
微分方程组：
Mu(t) Ku(t) 0 u(0) u0 ,u(0) u0