《复变函数与积分变换》期末试卷1
参考答案及评分标准
第一题：填空。

1．1； 2. 连通开集； 3. 奇点； 4. 3-； 5. 圆周； 6.解析； 7. 绝对收敛；
8. 本性奇点； 9. 0
0lim()()z z
z z f z →-； 10. 保角性。

第二题：选择。

1：B ；2：A ；3：C ；4：D ；5：B 。

第三题：计算。

1：13(23)13(arctan 2)22
n n L i l i k ππ-+=+-+，k Z ∈； 模2分，辐角4分 2：C 的参数方程为0(02)i z z re θθπ=+≤≤
22(1)10001()i i n n n in n C
dz ire d e d z z r e r θ
ππθθθθ---==-⎰⎰⎰ 221
1
cos(1)sin(1)n n i i n d n d r
r
π
π
θθθθ--=
-+
-⎰
⎰
（4分）
21
01i n n π=⎧=⎨≠⎩。

（2分）
3：1
10
()1n k k n n k S z z z -+==-=-∑。

（1分）
当1z <时，lim 1n n S →∞
=-，故级数收敛于1-； 当1z =时，lim 0n n S →∞
=，故级数收敛于0； 当1z =-时，lim n n S →∞
不唯一，故级数发散； 当1z =而i z e θ=(0)θ≠时，cos sin n z n i n θθ=+，因为cos n θ和sin n θ的极限都不存在，所以lim n n S →∞
不存在，级数发散；
当1z >时，级数显然发散。

（以下讨论每步1分） 4：显然，点ai 是函数的二阶极点。

2
22
2R e [(),]l i m [()]()
ibz z ai d e s f z ai z az dz z a →=-+2
l i m []()ibz
z ai d e dz z ai →=+ （4分） 2321lim
()4ibz ab
z ai ibz ab ab
e i z ai a e →--+==-+。

（2分）
5：0
()()j t
j t
F f t e dt Ae
dt τ
ωωω+∞
---∞==⎰⎰()(1)0j t j t A A e e j j ωωτω
ω--=-=-。

（第一步4分，结果2
分）
第四题：证明
证明：由连续性可知，对任给的0ε>，存在()0δε>，使得当0r δ≤≤时，有 ()()i f re f θωε-<，(02)θπ≤≤，因此（4分）
220
[()(0)][()(0)]2i i f re f d f re f d π
π
θ
θθθπε-≤-≤⎰
⎰
（4分）
即 20
0l i m [()(0)]0i r f r e f d π
θ
θ→-=⎰，（2分） 故 20
0l i m ()2(0
)i r f r e d f π
θθπ→=⎰。

第五题：解答
1：2
4
024[()]30st st st f t e dt e dt e dt +∞
---=+-+⋅⎰⎰⎰ 24
3102st st
e e s
s
--=-+241
(34)s s e e s
--=-+ 2：令()[()]X s x t =，()[()]Y s y t =，对方程两边取拉氏变换得
2222
2
()1()1()()012()2()1()()1s X s s Y s X s Y s s X s s Y s X s Y s s ⎧+++++=⎪⎨+---+=⎪+⎩
， （4分） 求解得
21
()()1
X s Y s s ==-
+ （4分） 取拉氏逆变换得到原方程的解为
()()sin x t y t t ==-。

（2分）。