M A coskl M B
M
2 A
2M
AM
B
coskl
M
2 B
coskx
M A sin kl
M
2 A
2M
AM
B
cosk
l
M
2 B
kl P 故０ kx
PE s in kx 0，coskx 0
M max M x EIyx
M B
(M A / M B )2 2(M A / M B ) coskl 1 sin2 kl
A
ql 2EIk 3
，B
ql 2 EIk 3tg
kl
，C
ql 2EIk 2
，D
ql 2 EIk 3tg
kl
2
2
ql
cos kx
1 kx2
y
2EIk 3
sin kx
tg
kl 2
kx tg kl 2
l
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7
3.1弹性压弯构件的基本微分方程
M max
EI
y x0
EI
y xl
2)
secu 1 1 u2 5 u4 61 u6 2 24 720
考虑到：u2 2 P 2.4674 P
4 PE
PE
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3
3.1弹性压弯构件的基本微分方程
ym a x
0(1 1.0034
P PE
1.0038( P PE
)2
)
0(1
P Pcr
0.610
P Pcr
0.608
P Pcr
1
0.6
P Pcr
1.097
1.030
P Pcr
1.017
P Pcr
2
1.013
P Pcr
3
2020/10/19
8
3.1弹性压弯构件的基本微分方程
1
0.6
P Pcr
1
P Pcr
P Pcr
2
P Pcr
3
2 e( u2 5 u4 61 u6 277 u8 )
2 24 720 8064
e1.234
P PE
1.268( P )2 P4
1.273( P )3 P4
1.273( P )4 P4
e 1.234 P PE
1
1.028
P PE
1.032( P )2 P4
1.032( P )3 P4
2020/10/19
5
3.1弹性压弯构件的基本微分方程
1.234P e PE
Pel2 8EI
Ml2 8EI
0
0
1
1.028
P PE
(1 1.004
P PE
1.004
P2 PE2
)
0
1
1.028
P PE
1
1
P PE
1
0.028
P
0
PE 1 P
PE
１
０
１
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EIyIV Py 0
y Asin kx B coskx Cx D
x 0 y 0 y M A EI
x
l yl
0 yl
MB EI
可求得A
M A coskl M B EIk2 sin kl
，B
MA EIk2
C
MA MB EIk2l
，D
MA EIk2
10
10
3.2端弯矩作用下弹性杆件的变形和内力
ql2 12
3(tgu u)
u2tgu
2EI
式中：u kl
22
P
PE 2
P Pcr
PE Pcr 2
P Pcr
( l )2 2EI
l2
P , 0.5, u2 9.8696 P
2 Pcr
Pcr
2
3
4
3(tgu u) u2tgu
1
0.658
P Pcr
0.618
P PE
( P PE
)2
)
0
1
1
P
PE
M max
ql2 8
P
ql2 8
1
5Pl2 48EI(1
P
)
M
0
1
1.028 P PE
1 P
PE
PE
M
0
( 1
1
P
) 考虑轴力的P
效应
PE
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4
3.1弹性压弯构件的基本微分方程
例2
e(sec kl 1) e(secu 1)
1 0.4 P
1
0.6
P Pcr
1
1 P/
Pcr
Pcr 1 P
Pcr
M
max
1
1
0.4 P Pcr
P
M
0
Pcr
1 P
弯矩放大系数Am
1
Pcr P
m
1 P
Pcr
Pcr
2020/10/19
9
3.2端弯矩作用下弹性杆件的变形和内力
3.2端弯矩作用下弹性杆件的变形和内力
2020/10/19
12
3.2端弯矩作用下弹性杆件的变形和内力
受同向曲率弯矩作用时M B M A
Mmax M B
(M A / M B )2 2(M A / M B ) coskl 1 sin2 kl
1
3.1弹性压弯构件的基本微分方程
例1
解：此时f (x) q x2 qx2
2EIk 2
2P
利用边界条件： x 0时y0 0，y0 0 x l时yl 0，yl 0
可求得： B
D
q k2P
A
C
qlk
q 2P
1 cos kl sin kl
2P
y
3.1弹性压弯构件的基本微分方程
第三章 压弯构件的弯曲屈曲
3.1弹性压弯构件的基本微分方程
2020/10/19
由剪力平衡：dQx dx
qx
由弯矩平衡：dM x dx
Qx
P
dy dx
0
EIyIV Py qx
k 2
P EI
，y IV
k 2 y
qx
/
EI
非齐次四阶微分方程：
y Asin kx B coskx Cx D f (x) 其中f (x)为满足微分方程的特解
P
1 0.234 P
M max P(e ) M secu M (
PE 1 P
)
PE
PE
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6
3.1弹性压弯构件的基本微分方程
例3均匀横向荷载的固端构 件
该情况的特解为 f (x)
qx2
qx2
2EIk 2 2P
边界条件y0 0，y 0，yl 0，yl 0
y
1 EIk2
c osk l sin kl
sin kx
coskx
x l
1M A
1 EIk2
1 sin kl
sin
kx
x l
M
B
取 dM 0，y 0得tgkx M A coskl M B
dx
M A sin kl
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11
3.2端弯矩作用下弹性杆件的变形和内力
由上图知sin kx
q k2P
tg
kl 2
sin
kx
cos kx
1
k2x 2
(l
x)
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2
3.1弹性压弯构件的基本微分方程
ymax
ql4 16u 4 E I
1
cosu cosu
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
u2 2
式中u kl l P P
2 2 EI 2 PE
5ql 4 384EI
12(2 secu u2 5u4