学号：0 学年论文求极限的方法总结Method of Limit学院理学院专业班级学生指导教师（职称）完成时间年月日至年月日摘要极限的概念是高等数学中最重要、最基本的概念之一。

许多重要的概念如连续、导数、定积分、无穷级数的和及广义积分等都是用极限来定义的。

因此掌握好求极限的方法对学好高等数学是十分重要的。

但求极限的方法因题而异，变化多端，有时甚至感到变幻莫测无从下手，通过通过归纳和总结，我们罗列出一些常用的求法。

本文主要对了数学分析中求极限的方法进行一定的总结，以供参考。

关键词：极限洛必达法则泰勒展开式定积分无穷小量微分中值定理AbstractThe concept of limit is the most important mathematics,one of the most basic important concepts such as continuity,derivative,definite integral,infinite series and generalized integrals and are defined by the mater the methods the Limit learn mathematics integrals and are defined by the limit varies by title,varied,anf sometimes even impossible to start very unpredictable,and summarized through the adoption,we set out the requirements of some commonly used this paper,the mathematical analysis of the method of seeking a certain limit a summary for reference.Keyword:Limit Hospital's Rule Taylor expansion Definite integral Infinitesimal Mean Value Theorem引言极限时分析数学中最基本的概念之一，用以描述变量在一定的变化过程中的终极状态。

早在中国古代，极限的朴素思想和应用就已在文献中有记载。

例如：3世纪中国数学家刘微的割圆术，就是用圆内接正多边形周长的极限时圆周长这一个思想来近似地计算圆周率的。

随着微积分学的诞生，极限作为数学中的一个概念也就明确提出。

但最初提出的这一概念是含糊不清的，因此在数学界引起了不少争论甚至怀疑。

知道19世纪，由A.—L.柯西、K.（.）外尔斯特拉斯等人的工作，才将其置于严密的理论基础之上，从而得到举世一致的公认。

数学分析中的基本概念得表述都可以用极限来描述。

如函数y=f （x ）在0x x =处倒数的定义，定积分的定义，偏导数的定义，二重积分，三重积分的定义，无穷级数收敛的定义等都是用极限来定义的。

极限时研究数学分析的基本工具。

极限时贯穿数学分析的一条主线。

学好极限要学会归纳和掌握求极限的方法。

本文主要是对求极限的方法进行了归纳和总结。

第一章1、1 利用极限的四则运算法则和简单技巧极限四则元素法则的条件是充分而非必要的，因此，用极限四则运算法则求函数极限时，必须对所给的函数逐一验证它是否满足极限四则运算的法则条件，如果满足条件，才能利用极限的四则运算法则进行计算；不满足条件的就不能直接利用极限四则运算法则求解。

但是，并非所有不满足极限四则运算法则条件的函数就没有极限，而是需要将函数进行恒等变形，使其符合条件候再利用四则运算法则求解，而对函数进行恒等变形时，通常运用一些简单技巧比如拆项，分子分母乘以某一因子，变量代换，分子分母有理化等等方法即可进行恒等变换，以便于我们计算。

极限的四则运算法则叙述如下： 定理1. 1（1（2（3）若B ≠0（4（5）[]00lim ()lim ()nnn x x x x f x f x →→⎡⎤==A ⎢⎥⎣⎦（n 为自然数）①由上述的性质和公式我们可以看书函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商。

例1. 求225lim3xxx→+-的极限解：由定理中的第三式可以知道()()22222lim55lim3lim3xxxxxx x→→→++=--22222lim lim5lim lim3x xx xxx→→→→+=+225923+==--以后遇到类似题目，可以分别求子分母的极限，得到的分式就是结果例2. 求32lim3x x→-的极限3222lim3x xx→→=-3x→=14=式子经过化简后就能得到一个只有分母含有未知数的分式，直接求极限即可例3. 已知()11112231nxn n=+++⨯⨯-⨯解：观察11=1122-⨯111=2323-⨯因此得到()11112231nxn n=+++⨯⨯-⨯1111111123311n n n=-+-+-+---所以 1lim lim 11n n n x n →∞→∞⎛⎫=-= ⎪⎝⎭1、2 利用导数的定义求极限导数的定义：函数f(x)如果()()000lim lim x x f x x f x yx x ∆→∆→+∆-∆=∆∆存在，则此极限值就称函数f(x)()0'f x 。

即在这种方法的运用过程中，首先要选好f(x)。

然后把所求极限都表示称f(x)在定点0x 的导数。

例4.()212lim'22x x f x f x f πππ→⎛⎫- ⎪⎝⎭==⎛⎫- ⎪⎝⎭12=1、3 利用两个重要极限公式求极限两个极限公式：（1）0sin lim 1x x x→=，（2）1lim 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭但我们经常使用的是它们的变形：（1）()()()()sin lim1,0x x x ϕϕϕ=→ ， （2）()()()()1lim 1,x e x x ϕϕϕ⎛⎫+=→∞ ⎪ ⎪⎝⎭求极限。

（3）其中x 都可以看作整体来看待。

其中第一个重要极限是“00”型；第二个重要极限是“1∞”型，在1∞型中满足“外大内小，内外互倒”。

在利用重要极限求函数极限时，关键在于把要求的函数极限化成重要极限标准型或者是它们的变形式，这就要求要抓住它们的特征，并且能够根据它们的特征辨认它们的变形。

若用到第一个重要极限来求极限时，往往要利用三角形公式对变量进行变形，设法化成标准型，所以，要熟练地掌握三角函数的相关公式（如倍角、半角公式、两角和（差）公式、和差化积、积化和差公式等）、如果是用到第二个重要极限求极限时，有时要对自变量作适当的代换，使所求的极限变成这一形式。

例5. 求xxx x x 20sin cos sin 1lim-+→的极限解：这是0型不定式上式=x x x x x x x x cos sin 1(sin cos sin 1lim220++-+→=)cos sin 1(sin sin sin lim220x x x x x x x x +++→=)cos sin 1(sin cos sin 11limx x x x xx x x x +++++→=12121=+例6：xx x x 10)1()21(lim +-→解：为了利用极限e x xx =+→10)1(lim 故把原式括号内式子拆成两项，使得第一项为1，第二项和括号外的指数互为倒数进行配平。

xx x x 10)1()21(lim +-→=xx xx 10)131(lim +-+→1x 13x3x x 1x03x =lim 11x x +-⋅⋅-+→-⎛⎫+ ⎪+⎝⎭=313310])131[(lim -+--+→=+-+e x x xx xx例7：20cos 1limx xx -→解：将分母变形 后再化成“0/0”型 所以20cos 1limx x x -→=2202sin 2limx xx →=21)2(2sin 21lim 220=→x x x1、4 利用函数的连续性因为一切初等函数在其定义区间内都是连续的,所以如果)(x f 是初等函数,且0x 是)(x f 的定义区间内的点, 则)()(lim 00x f x f x x =→。

例8： 612arcsinlim 1+→x x解 :因为复合函数arcsin 是初等函数,而x 1→是其定义区间内的点,所以极限值就等于该点处的函数值.因此612arcsin612arcsinlim 1+=+→x x x1=arcsin =26π例9：求xx sin ln lim 2π→解： 复合函数x sin ln 在2π=x 处是连续的，所以在这点的极限值就等于该点处的函数值即有2sin ln sin ln lim 2ππ=→x x=1ln 2sinlim =π=01、5 利用两个准则求极限。

1、5、1 函数极限的迫敛性（夹逼法则）：若一正整数 N,当n>N 时，有n n nx y z ≤≤且lim lim ,n n x x x z a →∞→∞==则有 lim n x y a →∞=。

②利用夹逼准则求极限关键在于从n x 的表达式中，通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限值的数列{}n y 和 {}n z ，使得n n n y x z ≤≤。

n x =+例10 ： 求n x 的极限解：因为n x 单调递减，所以存在最大项和最小项.......n x ≥++=.......n x ≤=n x ≤≤又因为1x x ==lim 1n x x →∞=1、5、2 单调有界准则：单调有界数列必有极限，而且极限唯一。

利用单调有界准则求极限，关键先要证明数列的存在，然后根据数列的通项递推公式求极限。

定理单调上升( 或单调下降) 有上界( 或有下界) 的数列必有极限。

利用这一定理来求极限时, 首先要研究数列}{n x 的单调性和有界性, 即证明nn x ∞→lim 的存在性, 方法可用数学归纳法或不等式的放缩法; 再令Ax n n =∞→lim , 然后解关于A 的方程, 求得A 的值, 从而得出nn x ∞→lim 。

③例11：证明下列数列的极限存在，并求极限。

123,n y y y y a a a a ===++++证明：从这个数列构造来看 n y 显然是单调增加的。

用归纳法可证。

又因为23,n y y y === 所以得21n n y a y -=+.因为前面证明n y 是单调增加的。

两端除以 n y 得1n nay y <+因为1n y y ≥则从而1n y ≤即n y 是有界的。

根据定理{}n y 有极限，而且极限唯一。

令lim n n y l→∞=则有21lim lim()n n n n y y a -→∞→∞=+所以2l l a =+.又因为 0n y >解方程得所以1lim 2n n y l →∞==例12：设)1110,1,2,n x x n n +===。