8．情境应用题问题解决例1 （四川省内江市中考题）小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图所示．若小明把100个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是_______．【答案】106 设叠放时每增加一个纸杯高度增加cm x ，由9(31)14(81)x x --=--得1x =，从侧71(1001)106+⨯-=(cm)．例2 （湖南省常德市中考题）甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，规则是：两人比赛，另一人当裁判，输者将在下一局中担任裁判，每一局比赛没有平局，已知甲、乙各比赛了4局，丙当了3次裁判．问第二局的输者是（ ）．A ．甲B ．乙C ．丙D ．不能确定【答案】C 提示：设总共赛了x 局，则有443x x x -+-=-，则5x =，说明甲、乙、丙三人总共赛了5局，而丙当了3次裁判，说明丙赛了两局，则丙和甲，丙和乙各赛一局，那么甲和乙同时赛了3局．甲和乙同赛不可能出现在任何相邻的两局中，则甲、乙两人同时比赛在第1、3、5局中，第3局丙当裁判，则第2局中丙输了．例3 （江西省中考题）有一个只允许单向通过的窄道口（如图），通常情况下，每分钟可以通过9人．一天，王老师到达道口时，发现由于拥挤，每分钟只能3个人通过道口，此时，自己前面还有36人等待通过（假定先到的先过，王老师过道口的时间忽略不计），通过道口后，还需7分钟到达学校．（1）此时，若绕道而行，要15分钟到达学校，从节省时间考虑，王老师应选择绕道去学校，还是选择通过拥挤的道口去学校？ （2）若在王老师等人维持秩序下，几分钟后，秩序恢复正常（维持秩序期间，每分钟仍有3人通过道口），结果王老师比拥挤的情况下提前了6分钟通过道口，问维持秩序的时间是多少？【答案】（1）36719153+=>，∴王老师应选择绕道而行去学校． （2）设维持秩序时间为t ，则36363639t t -⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，解得3()t =分．例4 （广州市中考题）某商店5月1日举行促销优惠活动，当天到该商店购买商品有两种方案，方案一：用168元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折优惠；方案二：若不购买会员卡，则购买商店内任何商品一律按商品价格的9.5折优惠．已知小敏5月1日前不是该商店的会员．（1）若小敏不购买会员卡，所购买商品的价格为120元时，实际应支付多少元？ （2）请帮小敏算一算，所购买商品的价格在什么范围时，采用方案一更合算？ 【答案】（1）114元（2）当所购商品的价格高于1120时，选方案一更合算． 物尽其用 例5 （《时代学习报》数学文化节试题）自行车轮胎，安装在后轮上，只能行驶300km 就要报废，安装在前轮上，则行驶5000km 才报废．为使一对轮胎能在行驶尽可能多的路后才报废，在自行车行驶一定路程后，就将前后轮胎调整，这样安装在自行车上的一对轮胎最多可行驶多少千米？14cm9cm解法一 列方程求解设自行车行驶了km x 后，互换前、后轮胎再行驶，致使两只轮胎同时报废．因此，前轮胎还可行驶(5000)km x -，后轮胎还可行驶(3000)km x -．当前后轮胎互换后，还可行驶，并有35(5000)(3000)53x x -⨯=-⨯．解此方程，有53200035x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，解得1875(km)x =．这就是说，当自行车行驶了1875km 后，互换前后轮胎，这样还可行驶3(50001875)1875(km)5-⨯=，所以最多可行驶3750km ．解法二 类似工程问题解法设安装在自行车上的一对轮胎最多可行驶km x ，根据题意，自行车每行驶1km ，前轮胎将磨损15000，后轮胎将磨损13000，当两个轮胎磨损之和为单位“1”时，前后轮胎互换，当两个轮胎磨损之和为单位“2”时，两个轮胎同时报废，即行驶路最多．由此可得方程：250003000x x +=，解得3750x =．即自行车最多可行驶3750km ． 例6 （无锡市中考题）十一届全国人大常委会第二十次会议审议的《个人所得税法修正案草案》（简称《个税法草案》），拟将现行个人所得税的起征点由每月2000元提高到3000元，并将9级超额累进税率修改为7级，两种征税方法的1~5级税率情况见下表：注：“月应纳税额”为个人每月收入中超出起征点应该纳税部分的金额． “速算扣除数”是为了快捷简便计算个人所得税而设定的一个数．例如：按现行个人所得税法的规定，某人今年3月的应纳税额为2600元，他应缴税款可以用下面两种方法之一来计算：方法一：按1~3级超额累进税率计算，即5005%150010%60015%265⨯+⨯+⨯=（元）； 方法二：用“月应纳税额⨯适用税率-速算扣除数”计算，即260015%125265⨯-=（元）． （1）请把表中空缺的“速算扣除数”填写完整． （2）甲今年3月缴了个人所得税1060元，若按“个税法草案”计算，则他应缴税款多少元？ （3）乙今年3月缴了个人所得税三千多元，若按“个税法草案”计算，他应缴纳的税款恰好不变，那么，乙今年3月所缴税款的具体数额为多少元？分析与解 在读懂材料并理解题意的基础上，先分别求出甲、乙两人的月应纳税所得额． （1）75；525（2）设甲的月应纳税所得额为x 元，由20%3751060x -=，得7175x =．若按《个税法草案》计算，则他应缴税款为(71751000)20%525710-⨯-=（元）．（3）设乙的月应纳税所得额为x 元，由20%37525%(1000)975x x -=--，得17000x =，乙今年3月所缴税款为1700020%3753025⨯-=（元）．数学冲浪知识技能广场 1．（河北省中考题）如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的13，另一根露出水面的长度是它的15．两根铁棒长度之和为55cm ，此时木桶中水的深度是_______cm ． 【答案】202．王会计在结账时发现现金少了153.9元，查账后得知是一笔支出款的小数点看错了一位，王会计查出这笔看错了的支出款实际是_______元． （山东省烟台市中考题） 【答案】171 3．（《时代学习报》数学文化节试题）乌鸦喝水新编请根据图中信息，列出求大量筒水高x 的方程_________________． 【答案】2286ππ(5)22x x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4．（四川省绵阳市中考题）有一旅客携带30千克行李从某机场乘飞机返回绵阳，按民航规定：旅客最多可免费携带20千克行李，超重部分每千克按飞机票价格的1.5%购行李票，已知该旅客现已购行李票60元，则他的飞机票价为（ ）．A ．300元B ．400元C ．600元D ．800元 【答案】B5．（《时代学习报》数学文化节试题）如果将甲杯中水量的13倒入乙杯（未满）后，甲杯中水量比乙杯中水量少13，那么倒水前甲杯中水量（ ）．A ．比乙杯中水量多13B ．比乙杯中水量多12C ．与乙杯中水量相等D ．可能少于乙杯中水量 【答案】B6．（贵阳市中考题）有一列数12341n n a a a a a a -，，，，，，，其中1a =2521532a ⨯+=⨯+，， 3543a =⨯+，45554565a a =⨯+=⨯+，，，当2009n a =时，n 的值等于（ ）．A ．2010B ．2009C ．401D ．334【答案】D 7．（浙江省绍兴市中考题）七年级（2）班的一个综合实践活动小组去A B 、两个超市调查2011年和2012年“五一”节期间的销售情况，下图是调查后小敏与其他两位同学交流的情况．根据他们的对话，请你分别出A B 、两个超市今年“五一”节期间的销售额．x 8cm 6cm5cmx cm小乌鸦：你飞到装有相同水量的小量筒上，就可以喝到水了！老乌鸦：我喝不到大量筒中的水！B 超市销售额今年比去年增加10%A 超市销售额今年比去年增加15%两超市销售额去年共为150万元，今年共为170万元【答案】设去年A 超市销售额为x 万元，则B 超市销售（150x -）万元，由题意得：(115%)(110%)(150)x x +++-=170，解得10015050x x =-=，．则今年A 超市销售额为(15%)115x +=万元，B 超市为55万元．8．（陕西省中考题）足球比赛的记分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，输一场得0分，一支足球队在某个赛季中共需比赛14场，现已比赛了8场，输了1场，得17分． 请问：（1）前8场比赛中，这支球队共胜了多少场？ （2）这支球队打满14场比赛，最高能得多少分？（3）通过对比赛情况的分析，这支球队打满14场比赛，得分不低于29分，就可达到预期的目标．请你分析一下，在后面的6场比赛中，这支球队至少要胜几场，才能达到预期目标？ 【答案】（1）设这个球队胜x 场，则平了（81x --）场，由题意得：3x +(81--x )=17，解得5x =．（2）打满14场比赛最高能得17(148)335+-⨯=（分）． （3）由题意知，以后的6场比赛中，只要得分不低于12分即可，故胜不少于4场，一定能达到预期目标，而胜3场、平3场，正好达到预期目标，即在以后的比赛中这个球队至少要胜3场． 9．（2012年江西省中考题）小华写信给老家的爷爷，问候“八一”建军节．折叠长方形信纸装入标准信封时发现：若将信纸如图①连续两次对折后，沿着信封口边线装入时，宽绰有3.8cm ；若将信纸如图②三等分折叠后，同样方法装入时，宽绰1.4cm ．试求信纸的纸上和信封的口宽．②宽掉1.4cm宽掉3.8cm【答案】28.8cm ；11cm 思维方法天地 10．（2012年连云港市中考题）今年6月1日起，国家实施了中央财政补贴条例，支持高效节能电器的推广使用，某款定速空调在条例实施后，每购买一台，客户可获财政补贴200元．若同样用11万元所购买的此款空调台数，条例实施后比实施前多10%，则条例实施前此款空调的售价为_______元．【答案】2200 设条例实施前空调的售价为x 元．则110000110000(110%).200x x +=- 11．（“希望杯”竞赛题）甲、乙两个打字员，甲每页打500字，乙每页打600字，已知甲完成8页，乙恰能完成7页．若甲打完2页后，乙开始打字，则当甲、乙打的字数相等时，乙打了_______页．【答案】乙每打7页比甲多打200字，乙打7页相当于甲打425页，乙比甲快25页，设当甲、乙打的字数相同时，乙打了x 页，由850025006007x x ⨯+⨯=，得35x =．12．（世界数学团体锦标赛试题）水池有两个进水管A 和B 及一个排水管C ．A B ，两管单独将空水池注满水分别需要12小时、10小时．现在水池中有点儿水，若A 管单独进水，而C 管同时排水，则需1小时将水池中的水放完；若A B ，两管一起进水，C 管同时排水，则7小时可将水池中的水放完．若不开进水管，只开排水管，则需_______分钟可以将水池中的水放完．【答案】35 设水池原来有水a ，由11177121012a a ⎛⎫⎛⎫++⨯=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得760a =．只开排水管，将水池中的水放完需要的时间为771760601212⎛⎫÷+= ⎪⎝⎭（小时）=35（分钟）． 13．一个有弹性的球从A 点落下到地面，弹起后，到B 点后又落到高20厘米的平台后，再弹起到C 点，然后，又落到地面（如图）．每次弹起的高度都是落下高度的80%，已知A 点离地面比C 点离地面高出68厘米，那么A 点离地面的高度是_______厘米． 【答案】200 设A 点离地面x cm ，则[80%(80%20)20]68x x --+=．14．（2012浙江省宁波市中考题）为了款励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息：已知小王家2012年4月份用水20吨，交水费66元；5月份用水25吨，交水费91元． （1）求a b ，的值； （2）随着夏天的到来，用水量将增加．为了节省开支，小王计划把6月份的水费控制在不超过家庭收入的2%．若小王的月收入为9200元，则小王家6月份最多能用水多少吨？ 【答案】（1） 2.2 4.2a b ==， （2）最多用水40吨 15．（福建省福州市中考题）2008年5月12日，四川汶川发生了里氏8.0级大地震，给当地人民造成了巨大的损失．“一方有难，八方支援”，我市锦华中学全体师生积极捐款，其中九年级的3个班学生的捐款金额如下表：吴老师统计时不小心把墨水滴到了其中两个班级的捐款金额上，但他知道下面三条信息：信息一：这三个班的捐款总金额是7700元； 信息二：（2）班的捐款金额比（3）班的捐款金额多300元； 信息三：（1）班学生平均每人捐款的金额大于．．51元． 请根据以上信息，帮助吴老师解决下列问题：（1）求出（2）班与（3）班的捐款金额各是多少元； （2）求出（1）班的学生人数． 【答案】（1）3000元，2700元 （2）40人或41人 应用探究乐园 16．（江苏省数学竞赛题）如图，一个55⨯的方格网，按如下规律在每个格内都填有一个数：同一行中右格中的数与紧邻其左格中的数的差是定值，同一列中上格中的数与紧邻其下格中的数的差也是定值．请根据图中已填好的数，按这个规律将第三行填满．【答案】设第i 行第j 列的数为ij a ,则42412742(274)a a a a =-=--， 1034251a =-，3132312(4251)085025027a a a a a a =--=--=-，，35323(5027)150620a a a a =+-=-=186，是66a =，于是31323334352666106146186.a a a a a =====，，，，17．（深圳市“启智杯”数学思维能力竞赛题）密码的使用对现代社会是极其重要的．有一种密码的明文（真实文），其中的字母按计算机键盘顺序与26个自然数1，2，3，…，25，26对应（见下表），设明文的任一字母对应的自然数为x ，通过某种规定的对应运算把x 转化成对应的自然数x x ''，对应的字母为密文．x x →'，其中x '是（32x +）被26除所得的余数与1之和（126x ≤≤）． 则1x =时，6x '=，即明文Q 译为密文Y ；10x =时，7x '=，即明文P 译为密文U ． 现有某种变换，将明文字母对应的自然数x 变换为密文字母相应的自然数x '：x x x →''，为（3x m +）．被26除所得余数与1之和（126126x m ，≤≤≤≤）． 已知运用此变换，明文H 译为密文T ，则密文QI （“启”的汉语拼音）的明文是字母_______． 【答案】YJ 由于H 和T 对应的数字分别为16和5，按照明密文变换的规则可知：（3×16+m ）被26除所得余数与1之和为5，所以3×16+m =52+4,m =52+4-48=8．因此该变换将明文字母对应的自然数x 变换为密文字母相应的自然数x '的规则是:x '为（38x +）被26除所得余数与1之和．因为密文Q 对应于1x '=，设其明文对应的数字为x ，则x 满足（38x +）被26除所得余数为0，6x =，对应的字母为Y ．因为密文I Ⅰ对应于8x '=，设其明文对应的数字为x ，则x 满足（38x +）被26除所得余数为7，即（31x +）被26整除，得17x =，对应的字母为J ． 因此，密文QI 对应的明文是YJ ．18610374。