一、问的产生1.英国的海岸线有多长？
当你用一把固定长度的直尺(没有刻度)来测量时， 对海岸线上两点间的小于尺子尺寸的曲线，只能用直 线来近似。因此，测得的长度是不精确的。 如果你用更小的尺子来刻画这些细小之处，就会 发现，这些细小之处同样也是无数的曲线近似而成的。 随着你不停地缩短你的尺子，你发现的细小曲线就越 多，你测得的曲线长度也就越大。 如果尺子小到无限，测得的长度也是无限。
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“自相似”的特点
柯克曲线自身的任何一个局部，放大后都与整体非 常相似。
柯克曲线是通过无限的步骤创造的。这无限步骤中
的每一步，都是在上一部图形的每个边上，以中间的 1/3为一边，向外侧突出作一个正三角形，再把原来边 上中间的1/3部分擦掉。这样，柯克曲线自身的任何一 个局部，如此不断地做下去，与整体是非常相似的。
(2)海岸线在各种尺度上都有同样程度的不规则性; (3)海岸线的部分和整体是很相似的，无论从远处观察还是 从近处观察都一样复杂，有自相似性。
B.B.Mandelbrot： “我从拉丁文形容词 fractus（分裂的）造出 了 fractal（分形）这个词．相应的拉丁文动词 fragere 的意义是“使碎裂”、造成不规则的碎 片．……多么符合我们的需要啊！这样，除了“分 裂的”（像在“分数”或“折射”中那样）， fracus 还应该有“不规则的”之意，这两个意义都 继承保留了下来”．
输了一场战斗，亡了一个帝国 。
三、混沌
《礼记·经解》 “君子慎始，差若毫厘，谬以千里”
《魏书·乐志 》 “但气有盈虚，黍有巨细，差之毫厘，失之千里 ”
《致我们终将逝去的青春》 陈孝正：大概是我太小题大做了，不过郑微，我跟你不一样，
我的人生是一栋只能建造一次的楼房，我必须让它精确无比，不 能有一厘米差池——所以，我太紧张，害怕行差步错。
一个美国人抽烟和中国的通货膨胀的关系
假设美国此时有一个人抽烟，不小心把没熄灭的烟头 扔在了床边，然后出门上班了，大约20分钟后，烟头慢慢 引燃床单，火越来越大，逐渐蔓延到左邻右舍，引起煤气 罐的连环爆炸。这时的美国人已经对“恐怖袭击”胆战心 惊，而这个肇事者(扔烟头的人)却忘了自己曾扔过烟头， 于是在一时无法查明原因的情况下，暂时被定为“恐怖袭 击”。这样，惊恐万状的人们纷纷抛售股票，引起股市大 跌。人们下降的消费信心影响了整个美国经济，最后造成 美元贬值，由于美元的持续贬值，使得以美元标价的基础 性原材料价格上扬，盯住美元的人民币价格也相应上扬。 从而导致以原材料为基础的商品价格上涨，引发中国的成 本拉动型通货膨胀。
三、混沌
1.洛仑兹的天气预报
1963年，他在麻省理工学院操作着一台当时比 较的先进工具——计算机进行天气模拟，试图进行 长期天气预报。 Lorenz发现，天气运动的规律不同于人们 通 常研究的物质运动规律。人们通常研究的物质运动， 小的初值改变只会导致结果的小改变。而天气运动 不然，天气运动是“混沌”运动。 Lorenz发现混沌运动的两个重要特点： （1）对初值极端敏感；(2)解并不是完全随机的。 Lorenz之后，混沌学的研究开始蓬勃发展。
海岸线长度问题
《数学文化》课程组
经典的欧氏几何学研究的对象是那些光滑和规则的空间形 体，它们一般都具有整数的维数．比如，零维的点、一维的线 （直线与曲线）、二维的面（平面和曲面）、三维的立体（多 面体和球体等）、四维的时空等．然而，自然界是很复杂的， 还普遍存在不光滑和不规则的空间构形．如弯弯曲曲的海岸线、 起伏不平的山脉，粗糙不堪的断面，变幻无常的浮云，九曲回 肠的河流，纵横交错的血管，令人眼花撩乱的满天繁星等 等．所有这些对象很难、也不可能用欧氏几何来描述，因为它 们的维数不一定是整数，而是存在一个分数维数．正因为如此 这些形体一直被视为“病态”的“数学怪物”，而被排除在传 统数学之外．近几十年，随着科学技术的迅猛发展以及人们对 物质世界和人类社会看法的改变，数学家们开始了对这个“数 学怪物”的探索，产生了几何学的新兴分支——分形几何学．
2.分形图形欣赏
（1）蒙德尔布罗集—— 分形的标志
M集的局部放大
M集的多局部放大
（2）Cantor三分集——最简单的分形
（3）谢尔宾斯基“垫片”
（3）谢尔宾斯基“地毯”
（4）门格尔海绵
（4）门格尔海绵
谢尔宾斯基金字塔
3.分形维数的定义
用迭代函数算法画的树
三、混沌
1.洛仑兹的天气预报
2. 对于气象学研究方面，似乎 混沌动力学的发展排除了长期预报 的可能性。 但是另一方面我们现在对于预 报问题有了更符合实际的态度。其 实对短期预报和长期预报的要求从 来不同。
只有对于短期预报，我们才关 心变化的细节。对于长期预报，人 们更注意各种平均量的发展趋势， 例如今后20年内华北年降水量的多 少。 混沌动力学的进步，恰恰在这 方面提高了人类的预报本领。
三、混沌
洛仑兹：巴西的蝴蝶扇一下翅膀，可能会引起几周后美国 德克萨斯州有一场风暴。（蝴蝶效应——butterfly effect）
蝴蝶效应是指在一个动力系统中，初始条件下微小的变化 能带动整个系统的长期的巨大的连锁反应。这是一种混沌 现象。 蝴蝶效应的原因就是蝴蝶扇动翅膀的运动，导致其身边 的空气系统发生变化，并产生微弱的气流，而微弱的气 流的产生又会引起四周空气或其他系统产生相应的变化， 由此引起一个连锁反应，最终导致其他系统的极大变化。
刘徽——割圆术
2.柯克曲线
1904年，瑞典数学家柯克（Koch，1870～1924） 构造了一种雪花形状的曲线，我们习惯上称为柯克雪 花曲线．这一曲线巧妙地解释了蒙德尔布罗的分形几 何思想，其构造方法如下：
（1）取一个边长为1的正三角形，在每个边上以中间的1/3为 一边，向外侧凸出作一个正三角形． （2）将原来边上中间的1/3部分擦掉，就构成了一个很像雪 花形状的有12条边的六角星． （3）再以上图中每边上中间的1/3为一边，向外凸出作一个 正三角形，然后把原来边上中间的1/3部分擦掉，就构成了一 个更像雪花的六角星，这个六角星有48条边． （4）重复以上步骤，不断做下去，得到的图形就是柯克雪花 曲线．
三、混沌
蝴蝶效应之所以令人着迷、令人激动、发人深省，不但在 于其大胆的想象力和迷人的美学色彩，更在于其深刻的科 学内涵和内在的哲学魅力。 西方民谣： 钉子缺，蹄铁卸；蹄铁卸，战马蹶；战马蹶， 骑士绝；骑士绝，战事折；战事折，国家灭。
丢失一个钉子，坏了一只蹄铁；坏了一只蹄铁，折了一匹战马 ；
折了一匹战马，伤了一位骑士 ；伤了一位骑士，输了一场战斗 ；
五、混沌学的应用
1.通过对生命现象进行的考察，发现各 种各样的生物节律既非完全周期，又不可能 属于纯粹随机，它们既有与自然界周期（季 节，昼夜等）协调的一面，又有着内在的复 杂性质。 20世纪20年代后期已经有人用非线性电 路模拟过心脏搏动。近几年更发现了心律不 齐等病症与混 沌运动的联系。
如果考察人类脑电波，对比就更为尖锐。 癫痫患者发病时的脑电波呈明显的周期性， 而正常人的脑电波近乎随机讯号。 进 一步测量表明它们不是随机的，而是接近于 混沌系统。 虽然距离最终认清它们还很远，但现在 已有人进行利用混沌过程预测和控制癫痫， 心律不齐等等病症。
美国气象学家E.N.Lorenz在天气预报中的发现是混沌认识 过程中的一个里程碑。 天气预报是怎么做出来的？
（1）分析、研究和总结天气的规律； （2）将这些规律表示成微分方程的形式； （3）编程输入计算机作为一个固定的模式； （4）采样（当地今天各个时间的气温、空气湿度、气压、风向、风力 等数据） （5）将所得的数据输入计算机，通过程序得到明天各个时间的数据； （6）计算机自动将明天各个时间的数据输入，得到后天的数据； （7）重复（6），得到近几天的天气预报。
Koch曲线
雪花曲线令惊异的性质是：它具有有限的面积，但却 有着无限的周长！ 雪花曲线的周长持续增加而没有界限，但整条曲线却 可以画在一张很小的纸上，所以它的面积是有限的，实际 上其面积等于原三角形面积的8／5倍。
二、分形
1.客观世界的“分形”
蒙德尔布罗认为： 海岸线更接近于柯克曲线的形式。
（1）海岸线是没有规则的，不能用函数表达出来；
2.
混沌的意义 1) 混沌的发现与数学史上的数学危机是不同的。 数学危机是人们对于数学根基的质疑，而混沌则 是人们在看似简单的问题中发现了复杂的现象。 2) 混沌绝不单单是有趣的数学现象，混沌是比有 序更为普遍的现象，它使我们对物质世界有了更 深一层的认识，为我们研究自然的复杂性开辟了 一条道路，同时也引出了关于物质世界认识论上 的一些哲学思考。
三、混沌
三、混沌
蝴蝶效应被应用在天气、股票市场等在一定时段难以预测的 比较复杂的系统中。在社会学、心理学领域均有应用。
心理学中的蝴蝶效应是指一件表 面上看来毫无关系、非常微小的 事情，可能带来巨大的改变。此 效应说明，事物发展的结果，对 初始条件具有极为敏感的依赖性， 初始条件的极小偏差，将会引起 结果的极大差异。当一个人小时 候受到微小的心理刺激，长大后 这个刺激会被放大
当增大到3.56，周期又加倍到8；到 3.567，周期达到16，此后便是更快速 的32，64，128…周期倍增数列。 这种倍周期分岔速度如此之快，以 至到3.5699…就结束了，倍周期分岔现 象突然中断： 周期性让位于混沌。
四、关于混沌的思考
1. 混沌的特点 1) 混沌是决定论系统的内在随机性，这种 随机性与我们过去所了解的随机性现象，比 如抛硬币等有很大的区别。 2) 混沌对初值的敏感依赖性。在线性系统 中，小扰动只产生结果的小偏差，但对混沌 系统，则是“失之毫厘，谬以千里”。 3) 混沌不是简单的无序，更不是通常意义 下的有序。
客观世界中更多的是“分形”
平面分形图形：海岸线、柯克曲线、下雨区域 的边界、指纹和掌纹、河流的水系图、蜗牛 爬过的路线等；
空间分形图形：天空中的云、地面上的山、河 流的河道、树皮、DNA螺旋线、人的血管分叉、 闪电的线路、人的经络等等。