数学建模及全国历年竞赛题目(2010-09-28 21:58:01)标签：分类：专业教学数学建模应用数学模型教育一、数学建模的涵（一）数学建模的概念数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并"解决"实际问题的一种强有力的数学手段。
使用数学语言描述的事物就称为数学模型，这个建立数学模型的全过程就称为数学建模。
（二）应用数学模型应用数学去解决各类实际问题，把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构。
通过调查、收集数据资料，观察和研究实际对象的固有特征和在规律，抓住问题的主要矛盾，建立起反映实际问题的数量关系，然后利用数学的理论和方法去分析和解决问题。
需要诸如数理统计、最优化、图论、微分方程、计算方法、神经网络、层次分析法、模糊数学，数学软件包如Mathematica,Matlab,Lingo,Spss,Mapple的使用，甚至排版软件等知识的基础。
（三）数学建模的特点数学建模具有难度大、涉及面广、形式灵活，对教师和学生要求高等特点；数学建模的教学本身是一个不断探索、不断创新、不断完善和提高的过程。
（四）数学建模的指导思想数学建模的指导思想就是：以实验室为基础、以学生为中心、以问题为主线、以培养能力为目标来组织教学工作。
（五）数学建模的意义数学建模是联系数学与实际问题的桥梁，是数学在各个领械广泛应用的媒介，是数学科学技术转化的主要途径。
通过教学使学生了解利用数学理论和方法去分析和解决问题的全过程，提高他们分析问题和解决问题的能力；提高他们学习数学的兴趣和应用数学的意识与能力，使他们在以后的工作中能经常性地想到用数学去解决问题，提高他们尽量利用计算机软件及当代高新科技成果的意识，能将数学、计算机有机地结合起来去解决实际问题。
1.培养创新意识和创造能力；2.训练快速获取信息和资料的能力；3.锻炼快速了解和掌握新知识的技能；4.培养团队合作意识和团队合作精神；5.增强写作技能和排版技术；6.训练人的逻辑思维和开放性思考方式。
二、数学建模的过程模型准备：了解问题的实际背景，明确其实际意义，掌握对象的各种信息。
用数学语言来描述问题。
模型假设：根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，并用精确的语言提出一些恰当的假设。
模型建立：在假设的基础上，利用适当的数学工具来刻划各变量之间的数学关系，建立相应的数学结构。
模型求解：利用获取的数据资料，对模型的所有参数做出计算（估计）。
模型分析：对所得的结果进行数学上的分析。
模型检验：将模型分析结果与实际情形进行比较，以此来验证模型的准确性、合理性和适用性。
如果模型与实际较吻合，则要对计算结果给出其实际含义，并进行解释。
如果模型与实际吻合较差,则应该修改假设，再次重复建模过程。
模型应用：应用方式因问题的性质和建模的目的而异。
三、数学建模题目（一）两项题1992年(A) 施肥效果分析问题(理工大学：叶其孝）(B) 实验数据分解问题（华东理工大学:俞文此; 复旦大学：谭永基）1993年(A) 非线性交调的频率设计问题（大学：谢衷洁）(B) 足球排名次问题（清华大学：蔡大用）1994年(A) 逢山开路问题（电子科技大学：何大可）(B) 锁具装箱问题（复旦大学:谭永基，华东理工大学:俞文此）1995年(A) 飞行管理问题（复旦大学:谭永基，华东理工大学:俞文此）(B) 天车与冶炼炉的作业调度问题（大学：祥官,吉鸾）1996年(A) 最优捕鱼策略问题（师大学：来福）(B) 节水洗衣机问题（大学：付鹂）1997年(A) 零件参数设计问题（清华大学：姜启源）(B) 截断切割问题（复旦大学:谭永基，华东理工大学:俞文此）1998年(A) 投资的收益和风险问题（大学：淑平）(B) 灾情巡视路线问题（海运学院：丁颂康）（二）四项题1999年(A) 自动化车床管理问题（大学：山泽）(B) 钻井布局问题（大学：林诒勋）(C) 煤矸石堆积问题（理工大学：贾晓峰）(D) 钻井布局问题（大学：林诒勋）2000年(A) DNA序列分类问题（工业大学：孟大志）(B) 钢管订购和运输问题（大学：费甫生）(C) 飞越北极问题（复旦大学：谭永基）(D) 空洞探测问题（东北电力学院：关信）2001年(A) 血管的三维重建问题（大学：汪国昭）(B) 公交车调度问题（清华大学：谭泽光）(C) 基金使用计划问题（东南大学：恩水）(D) 公交车调度问题（清华大学：谭泽光）2002年(A) 车灯线光源的优化设计问题（复旦大学:谭永基，华东理工大学:俞文此）(B) 彩票中的数学问题（解放军信息工程大学：韩中庚）(C) 车灯线光源的优化设计问题（复旦大学:谭永基，华东理工大学:俞文此）(D) 赛程安排问题（清华大学：姜启源）2003年(A) SARS的传播问题（组委会）(B) 露天矿生产的车辆安排问题（大学：方沛辰）(C) SARS的传播问题（组委会）(D) 抢渡长江问题（华中农业大学：殷建肃）2004年(A) 奥运会临时超市网点设计问题(工业大学：孟大志)(B) 电力市场的输电阻塞管理问题(大学:康生)(C) 酒后开车问题（清华大学：姜启源）(D) 招聘公务员问题（解放军信息工程大学：韩中庚）2005年(A) 长江水质的评价和预测问题（解放军信息工程大学：韩中庚）(B) DVD在线租赁问题(清华大学:谢金星等)(C) 雨量预报方法的评价问题(复旦大学:谭永基)(D) DVD在线租赁问题(清华大学:谢金星等)2006年(A) 的资源配置问题(工业大学：孟大志)(B) 艾滋病疗法的评价及疗效的预测问题（天津大学：边馥萍）(C) 易拉罐的优化设计问题（理工大学：叶其孝）(D) 煤矿瓦斯和煤尘的监测与控制问题（解放军信息工程大学：韩中庚）2007年(A) 中国人口增长预测(B) 乘公交，看奥运(C) 手机“套餐”优惠几何(D) 体能测试时间安排2008年（A）数码相机定位，（B）高等教育学费标准探讨，（C）地面搜索，（D）NBA赛程的分析与评价2009年（A）制动器试验台的控制方法分析（B）眼科病床的合理安排（C）卫星和飞船的跟踪测控（D）会议筹备2010年（A）储油罐的变位识别与罐容表标定（B）2010年世博会影响力的定量评估（C）输油管的布置（D）对学生宿舍设计方案的评价（三）参考答案举例附： 2007年全国数学建模竞赛（B）乘公交、看奥运参考答案.cnblogs./kuaful/articles/1222784.html乘公交看奥运相关文件下载点击此处摘要本设计要解决的是合理给出两站点间的最佳路线选择问题，即给出一条经济且省时的路线。
在处理此问题之前，我们根据调查和分析，对影响线路选择的因素进行筛选，最终确定了以下三个影响较大的因素：第一是换乘次数；第二是乘车时间；第三是乘车费用。
依据各因素对路线选择的影响程度,我们按不同的权重对它们进行考虑。
从实际情况分析，人们通常宁愿多乘坐几站地也不愿换车，所以我们赋予换乘次数较大的权重。
为了解决换乘次数最少，乘车时间相对较短、乘车费用相对较少的问题，经过尝试与探索，我们采用了现代分析的方法，对起始站和终点站有无相交站点进行分类讨论，归纳出直达，换乘一次，换乘两次的情况（三次以上的情形可以类推），并通过Matlab编制程序，给出了任意两站点间的最佳乘车路线以及换车的地点，最后还提出了进一步的意见和建议。
关键词：最佳路线换乘次数乘车时间乘车费用一、问题的重述第29届奥运会明年8月将在举行，作为城市枢纽的公共交通承担着非常重的运输任务。
近年来，市的公交系统有很大的发展，公交线路的条数和公交车数量在迅速增多，给人民生活带来便利的同时，也面临多条线路得选择问题，有时出行往往还需要转乘多辆公交车才能到达目的地。
如何在短时间、换乘次数最少、成本最低的情况到达目的地，是人们所关注的问题。
因此，我们通过建立线路选择的模型与算法，设计一套自主查询计算机系统，查询到出行时所需的最佳公交路线及换乘方法，给人们出行节约更多的时间和金钱。
要求：1、仅考虑公汽线路，建立任意两公汽站点之间线路选择问题的数学模型与算法。
并求出以下6对起始站→终到站之间的最佳路线。
（1）S3359→S1828 （2）S1557→S0481 （3）S0971→S0485（4）S0008→S0073 （5）S0148→S0485 （6）S0087→S36762、同时考虑公汽与地铁线路，解决1中问题。
3、如果所有站点间的步行时间已知，建立任意两站点间路线选择问题的数学模型。
二、模型的假设1、所有公交线路的开班、收班时间相同。
2、公车不会因为堵车等因素延长行驶时间。
3、各条线路不会有新的调整与变化。
4、环线可以以任意站作为起点站和终点站，并且是双向的。
5、除环线以外的线路，到达终点站后，所有的人都必须下车。
6、人们对换乘车次数尽量少的偏好程度总是大于对花费时间相对短和花费金钱相对少的偏好程度。
7、同一地铁站对应的任意两个公汽站之间可以通过地铁站换乘，且无需支付地铁费。
三、符号的说明第条包含初始站点的线路，第条包含目标站点的线路，第条中间线路，上的第个站点，上的第个站点，上的第个站点，乘客在第段线路上乘坐的站数乘客在一次地铁线路上乘坐的总站数公汽换乘公汽的次数地铁换乘地铁的次数地铁换乘公汽的次数公汽换乘地铁的次数四、问题的分析、模型的建立及求解4.1 问题一4.1.1 问题一的分析已知相邻公汽站平均行驶时间(包括停站时间)：3分钟；公汽换乘公汽平均耗时：5分钟(其中步行时间2分钟)。
公汽票价：分为单一票价与分段计价两种，标记于线路后；其中分段估计票价为：0～20站：1元；21～40站：2元；40站以上：3元。
题目要求设计任意两公汽站点之间线路选择问题的数学模型与算法。
对于附录中的1.1 公汽线路信息.txt中的数据进行处理后，以文本文件形式导入Matlab中，找到了站点与站点之间的关系。
进一步发现表明无论试图产生邻接矩阵或边权矩阵因数据太庞大而可行性极低，其运行时间长达50分钟，故考虑按题目给的路线来建立站点矩阵并对此矩阵进行处理后能够清晰有效地应用此矩阵。
4.1.2 模型的建立及求解模型一设为乘坐公交线路的费用函数：，总时间函数：（1）总费用函数：（2）其中表示乘客在公交线路上乘坐的站数；表示公汽换乘公汽的次数。
目标：找出任意给定的两站点的乘车线路，使和相对最小。
算法思路：由于人们的对换乘车次数尽量少的偏好程度总是大于对花费时间和金钱相对少的偏好程度，我们将优先考虑换乘车次数尽量少，然后再考虑花费时间相对短、花费金钱相对少，对得出的所有结果中进行筛选。
换乘次数的大概思路及步骤如下：将所有包含初始站点的线路建成一个集合S，，，所有包含目标站点的线路建成一个集合G，，。