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2020年江苏省盐城市中考数学试卷及答案

2020年江苏省盐城市中考数学试卷及答案一、选择题(本大题共有8小题,每小题3分,共24分.在每小题所给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上)1.(3分)(2020•盐城)2020的相反数是()A.﹣2020B.2020C.12020D.−120202.(3分)(2020•盐城)下列图形中,属于中心对称图形的是()A.B.C.D.3.(3分)(2020•盐城)下列运算正确的是()A.2a﹣a=2B.a3•a2=a6C.a3÷a=a2D.(2a2)3=6a5 4.(3分)(2020•盐城)实数a,b在数轴上表示的位置如图所示,则()A.a>0B.a>b C.a<b D.|a|<|b|5.(3分)(2020•盐城)如图是由4个小正方体组合成的几何体,该几何体的俯视图是()A.B.C.D.6.(3分)(2020•盐城)2019年7月盐城黄海湿地申遗成功,它的面积约为400000万平方米.将数据400000用科学记数法表示应为()A.0.4×106B.4×109C.40×104D.4×1057.(3分)(2020•盐城)把1~9这9个数填入3×3方格中,使其任意一行,任意一列及两条对角线上的数之和都相等,这样便构成了一个“九宫格”.它源于我国古代的“洛書”(图①),是世界上最早的“幻方”.图②是仅可以看到部分数值的“九宫格”,则其中x 的值为()A .1B .3C .4D .68.(3分)(2020•盐城)如图,在菱形ABCD 中,对角线AC 、BD 相交于点O ,H 为BC 中点,AC =6,BD =8.则线段OH 的长为( )A .125B .52C .3D .5二、填空题(本大题共有8小题,每小题3分,共24分.不需写出解答过程,请将答案直接写在答题卡的相应位置上).9.(3分)(2020•盐城)如图,直线a 、b 被直线c 所截,a ∥b ,∠1=60°,那么∠2= °.10.(3分)(2020•盐城)一组数据1、4、7、﹣4、2的平均数为 .11.(3分)(2020•盐城)因式分解:x 2﹣y 2= .12.(3分)(2020•盐城)分式方程x−1x =0的解为x = .13.(3分)(2020•盐城)一只不透明的袋中装有2个白球和3个黑球,这些球除颜色外都相同,搅匀后从中任意摸出1个球.摸到白球的概率为 .14.(3分)(2020•盐城)如图,在⊙O 中,点A 在BC ̂上,∠BOC =100°.则∠BAC = °.15.(3分)(2020•盐城)如图,BC ∥DE ,且BC <DE ,AD =BC =4,AB +DE =10.则AE AC 的值为 .16.(3分)(2020•盐城)如图,已知点A (5,2)、B (5,4)、C (8,1).直线l ⊥x 轴,垂足为点M (m ,0).其中m <52,若△A ′B ′C ′与△ABC 关于直线l 对称,且△A ′B ′C ′有两个顶点在函数y =k x (k ≠0)的图象上,则k 的值为 .三、解答题(本大题共有11小题,共102分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤)17.(6分)(2020•盐城)计算:23−√4+(23−π)0. 18.(6分)(2020•盐城)解不等式组:{3x−23≥14x −5<3x +2. 19.(8分)(2020•盐城)先化简,再求值:m m 2−9÷(1+3m−3),其中m =﹣2.20.(8分)(2020•盐城)如图,在△ABC 中,∠C =90°,tan A =√33,∠ABC 的平分线BD交AC 于点D ,CD =√3,求AB 的长?21.(8分)(2020•盐城)如图,点O是正方形ABCD的中心.(1)用直尺和圆规在正方形内部作一点E(异于点O),使得EB=EC;(保留作图痕迹,不写作法)(2)连接EB、EC、EO,求证:∠BEO=∠CEO.22.(10分)(2020•盐城)在某次疫情发生后,根据疾控部门发布的统计数据,绘制出如图统计图:图①为A地区累计确诊人数的条形统计图,图②为B地区新增确诊人数的折线统计图.(1)根据图①中的数据,A地区星期三累计确诊人数为,新增确诊人数为;(2)已知A地区星期一新增确诊人数为14人,在图②中画出表示A地区新增确诊人数的折线统计图.(3)你对这两个地区的疫情做怎样的分析、推断.23.(10分)(2020•盐城)生活在数字时代的我们,很多场合用二维码(如图①)来表示不同的信息,类似地,可通过在矩形网格中,对每一个小方格涂色或不涂色所得的图形来表示不同的信息,例如:网格中只有一个小方格,如图②,通过涂色或不涂色可表示两个不同的信息.(1)用树状图或列表格的方法,求图③可表示不同信息的总个数;(图中标号1、2表示两个不同位置的小方格,下同)(2)图④为2×2的网格图,它可表示不同信息的总个数为;(3)某校需要给每位师生制作一张“校园出入证”,准备在证件的右下角采用n×n的网格图来表示个人身份信息,若该校师生共492人,则n的最小值为.24.(10分)(2020•盐城)如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB是⊙O的直径,∠DCA=∠B.(1)求证:CD是⊙O的切线;(2)若DE⊥AB,垂足为E,DE交AC于点F,求证:△DCF是等腰三角形.25.(10分)(2020•盐城)若二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点M(x1,0),N(x2,0)(0<x1<x2),且经过点A(0,2).过点A的直线l与x轴交于点C,与该函数的图象交于点B(异于点A).满足△ACN是等腰直角三角形,记△AMN的面积为S1,△BMN的面积为S2,且S2=52S1.(1)抛物线的开口方向(填“上”或“下”);(2)求直线l相应的函数表达式;(3)求该二次函数的表达式.26.(12分)(2020•盐城)木门常常需要雕刻美丽的图案.(1)图①为某矩形木门示意图,其中AB长为200厘米,AD长为100厘米,阴影部分是边长为30厘米的正方形雕刻模具,刻刀的位置在模具的中心点P处,在雕刻时始终保持模具的一边紧贴木门的一边,所刻图案如虚线所示,求图案的周长;(2)如图②,对于(1)中的木门,当模具换成边长为30√3厘米的等边三角形时,刻刀的位置仍在模具的中心点P处,雕刻时也始终保持模具的一边紧贴木门的一边,使模具进行滑动雕刻.但当模具的一个顶点与木门的一个顶点重合时,需将模具绕着重合点进行旋转雕刻,直到模具的另一边与木门的另一边重合.再滑动模具进行雕刻,如此雕刻一周,请在图②中画出雕刻所得图案的草图,并求其周长.27.(14分)(2020•盐城)以下虚线框中为一个合作学习小组在一次数学实验中的过程记录,请阅读后完成虚线框下方的问题1~4.(Ⅰ)在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2√2,在探究三边关系时,通过画图,度量和计算,收集到一组数据如下表:(单位:厘米)AC 2.8 2.7 2.6 2.32 1.50.4BC0.40.8 1.2 1.62 2.4 2.8 AC+BC 3.2 3.5 3.8 3.94 3.9 3.2(Ⅱ)根据学习函数的经验,选取上表中BC和AC+BC的数据进行分析:①BC=x,AC+BC=y,以(x,y)为坐标,在图①所示的坐标系中描出对应的点:②连线:观察思考(Ⅲ)结合表中的数据以及所画的图象,猜想.当x=____时,y最大;(Ⅳ)进一步精想:若Rt△ABC中,∠C=90°,斜边AB=2a(a为常数,a>0),则BC=____时,AC+BC最大.推理证明(Ⅴ)对(Ⅳ)中的猜想进行证明.问题1,在图①中完善(Ⅱ)的描点过程,并依次连线;问题2,补全观察思考中的两个猜想:(Ⅲ);(Ⅳ);问题3,证明上述(Ⅴ)中的猜想;问题4,图②中折线B﹣﹣E﹣﹣F﹣﹣G﹣﹣A是一个感光元件的截面设计草图,其中点A,B间的距离是4厘米,AG=BE=1厘米.∠E=∠F=∠G=90°.平行光线从AB区域射入,∠BNE=60°,线段FM、FN为感光区域,当EF的长度为多少时,感光区域长度之和最大,并求出最大值.2020年江苏省盐城市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(本大题共有8小题,每小题3分,共24分.在每小题所给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上)1.(3分)(2020•盐城)2020的相反数是()A.﹣2020B.2020C.12020D.−12020【解答】解:2020的相反数是﹣2020.故选:A.2.(3分)(2020•盐城)下列图形中,属于中心对称图形的是()A.B.C.D.【解答】解:A.此图案不是中心对称图形,不符合题意;B.此图案是中心对称图形,符合题意;C.此图案不是中心对称图形,不符合题意;D.此图案不是中心对称图形,不符合题意;故选:B.3.(3分)(2020•盐城)下列运算正确的是()A.2a﹣a=2B.a3•a2=a6C.a3÷a=a2D.(2a2)3=6a5【解答】解:A、2a﹣a=a,故此选项错误;B、a3•a2=a5,故此选项错误;C、a3÷a=a2,正确;D、(2a2)3=8a6,故此选项错误;故选:C.4.(3分)(2020•盐城)实数a,b在数轴上表示的位置如图所示,则()A.a>0B.a>b C.a<b D.|a|<|b|【解答】解:根据实数a,b在数轴上表示的位置可知:a<0,b>0,∴a<b.故选:C.5.(3分)(2020•盐城)如图是由4个小正方体组合成的几何体,该几何体的俯视图是()A.B.C.D.【解答】解:观察图形可知,该几何体的俯视图是.故选:A.6.(3分)(2020•盐城)2019年7月盐城黄海湿地申遗成功,它的面积约为400000万平方米.将数据400000用科学记数法表示应为()A.0.4×106B.4×109C.40×104D.4×105【解答】解:400000=4×105.故选:D.7.(3分)(2020•盐城)把1~9这9个数填入3×3方格中,使其任意一行,任意一列及两条对角线上的数之和都相等,这样便构成了一个“九宫格”.它源于我国古代的“洛書”(图①),是世界上最早的“幻方”.图②是仅可以看到部分数值的“九宫格”,则其中x 的值为()A.1B.3C.4D.6【解答】解:由题意,可得8+x=2+7,解得x=1.故选:A.8.(3分)(2020•盐城)如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,H为BC中点,AC =6,BD =8.则线段OH 的长为( )A .125B .52C .3D .5【解答】解:∵四边形ABCD 为菱形,∴AC ⊥BD ,OB =OD =12BD =4,OC =OA =12AC =3,在Rt △BOC 中,BC =√32+42=5,∵H 为BC 中点,∴OH =12BC =52.故选:B .二、填空题(本大题共有8小题,每小题3分,共24分.不需写出解答过程,请将答案直接写在答题卡的相应位置上).9.(3分)(2020•盐城)如图,直线a 、b 被直线c 所截,a ∥b ,∠1=60°,那么∠2= 60 °.【解答】解:∵a ∥b ,∴∠2=∠1=60°.故答案为:60°.10.(3分)(2020•盐城)一组数据1、4、7、﹣4、2的平均数为 2 .【解答】解:数据1、4、7、﹣4、2的平均数为1+4+7−4+25=2, 故答案为:2.11.(3分)(2020•盐城)因式分解:x 2﹣y 2= (x ﹣y )(x +y ) .【解答】解:x 2﹣y 2=(x +y )(x ﹣y ).故答案为:(x +y )(x ﹣y ). 12.(3分)(2020•盐城)分式方程x−1x=0的解为x = 1 .【解答】解:分式方程x−1x=0,去分母得:x ﹣1=0, 解得:x =1,经检验x =1是分式方程的解. 故答案为:1.13.(3分)(2020•盐城)一只不透明的袋中装有2个白球和3个黑球,这些球除颜色外都相同,搅匀后从中任意摸出1个球.摸到白球的概率为25.【解答】解:∵一只不透明的袋中装有2个白球和3个黑球, ∴搅匀后从中任意摸出1个球摸到白球的概率为:25.故答案为:25.14.(3分)(2020•盐城)如图,在⊙O 中,点A 在BC ̂上,∠BOC =100°.则∠BAC = 130 °.【解答】解:如图,取⊙O 上的一点D ,连接BD ,CD , ∵∠BOC =100°, ∴∠D =50°,∴∠BAC =180°﹣50°=130°, 故答案为:130.15.(3分)(2020•盐城)如图,BC ∥DE ,且BC <DE ,AD =BC =4,AB +DE =10.则AE AC的值为 2 .【解答】解:∵BC ∥DE , ∴△ADE ∽△ABC , ∴AD AB=DE BC=AE AC,即4AB=DE 4=AE AC,∴AB •DE =16, ∵AB +DE =10, ∴AB =2,DE =8, ∴AE AC=DE BC=84=2,故答案为:2.16.(3分)(2020•盐城)如图,已知点A (5,2)、B (5,4)、C (8,1).直线l ⊥x 轴,垂足为点M (m ,0).其中m <52,若△A ′B ′C ′与△ABC 关于直线l 对称,且△A ′B ′C ′有两个顶点在函数y =kx(k ≠0)的图象上,则k 的值为 ﹣6或﹣4 .【解答】解:∵点A (5,2)、B (5,4)、C (8,1),直线l ⊥x 轴,垂足为点M (m ,0).其中m <52,△A ′B ′C ′与△ABC 关于直线l 对称, ∴A ′(2m ﹣5,2),B ′(2m ﹣5,4),C ′(2m ﹣8,1), ∵A ′、B ′的横坐标相同,∴在函数y =k x (k ≠0)的图象上的两点为,A ′、C ′或B ′、C ′,当A ′、C ′在函数y =kx (k ≠0)的图象上时,则k =2(2m ﹣5)=2m ﹣8,解得m =1, ∴k =﹣6;当B ′、C ′在函数y =kx(k ≠0)的图象上时,则k =4(2m ﹣5)=2m ﹣8,解得m =2, ∴k =﹣4,综上,k 的值为﹣6或﹣4, 故答案为﹣6或﹣4.三、解答题(本大题共有11小题,共102分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤)17.(6分)(2020•盐城)计算:23−√4+(23−π)0.【解答】解:原式=8﹣2+1 =7.18.(6分)(2020•盐城)解不等式组:{3x−23≥14x −5<3x +2.【解答】解:解不等式3x−23≥1,得:x ≥53,解不等式4x ﹣5<3x +2,得:x <7, 则不等式组的解集为53≤x <7.19.(8分)(2020•盐城)先化简,再求值:mm 2−9÷(1+3m−3),其中m =﹣2. 【解答】解:原式=m(m+3)(m−3)÷(m−3m−3+3m−3)=m(m+3)(m−3)÷mm−3 =m(m+3)(m−3)•m−3m=1m+3, 当m =﹣2时, 原式=1−2+3=1.20.(8分)(2020•盐城)如图,在△ABC 中,∠C =90°,tan A =√33,∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ,CD =√3,求AB 的长?【解答】解:在Rt△ABC中,∠C=90°,tan A=√3 3,∴∠A=30°,∴∠ABC=60°,∵BD是∠ABC的平分线,∴∠CBD=∠ABD=30°,又∵CD=√3,∴BC=CDtan30°=3,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,∴AB=BCsin30°=6.答:AB的长为6.21.(8分)(2020•盐城)如图,点O是正方形ABCD的中心.(1)用直尺和圆规在正方形内部作一点E(异于点O),使得EB=EC;(保留作图痕迹,不写作法)(2)连接EB、EC、EO,求证:∠BEO=∠CEO.【解答】解:(1)如图所示,点E即为所求.(2)证明:连结OB,OC,∵点O是正方形ABCD的中心,∴OB=OC,∴∠OBC=∠OCB,∵EB=EC,∴∠EBC=∠ECB,∴∠BEO=∠CEO.22.(10分)(2020•盐城)在某次疫情发生后,根据疾控部门发布的统计数据,绘制出如图统计图:图①为A地区累计确诊人数的条形统计图,图②为B地区新增确诊人数的折线统计图.(1)根据图①中的数据,A地区星期三累计确诊人数为41,新增确诊人数为13;(2)已知A地区星期一新增确诊人数为14人,在图②中画出表示A地区新增确诊人数的折线统计图.(3)你对这两个地区的疫情做怎样的分析、推断.【解答】解:(1)41﹣28=13(人),故答案为:41,13;(2)分别计算A地区一周每一天的“新增确诊人数”为:14,13,16,17,14,10;绘制的折线统计图如图所示:(3)A地区的累计确诊人数可能还会增加,防控形势十分严峻,并且每一天的新增确诊人数均在10人以上,变化不明显,而B地区的“新增确诊人数”不断减少,疫情防控向好的方向发展,说明防控措施落实的比较到位.23.(10分)(2020•盐城)生活在数字时代的我们,很多场合用二维码(如图①)来表示不同的信息,类似地,可通过在矩形网格中,对每一个小方格涂色或不涂色所得的图形来表示不同的信息,例如:网格中只有一个小方格,如图②,通过涂色或不涂色可表示两个不同的信息.(1)用树状图或列表格的方法,求图③可表示不同信息的总个数;(图中标号1、2表示两个不同位置的小方格,下同)(2)图④为2×2的网格图,它可表示不同信息的总个数为16;(3)某校需要给每位师生制作一张“校园出入证”,准备在证件的右下角采用n×n的网格图来表示个人身份信息,若该校师生共492人,则n的最小值为3.【解答】解:(1)画树状图如下:共有4种等可能结果,∴图③可表示不同信息的总个数为4;(2)画树状图如下:共有16种等可能结果,故答案为:16;(3)由图①得:当n=1时,21=2,由图④得:当n=2时,22×22=16,∴n=3时,23×23×23=512,∵16<492<512,∴n的最小值为3,故答案为:3.24.(10分)(2020•盐城)如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB是⊙O的直径,∠DCA=∠B.(1)求证:CD是⊙O的切线;(2)若DE⊥AB,垂足为E,DE交AC于点F,求证:△DCF是等腰三角形.【解答】证明:(1)连接OC,∵OC=OA,∴∠OCA=∠A,∵AB是⊙O的直径,∴∠BCA=90°,∴∠A+∠B=90°,∵∠DCA=∠B,∴∠OCA+∠DCA=∠OCD=90°,∴OC⊥CD,∴CD是⊙O的切线;(2)∵∠OCA+∠DCA=90°,∠OCA=∠A,∴∠A+∠DCA=90°,∵DE⊥AB,∴∠A+∠EF A=90°,∴∠DCA=∠EF A,∵∠EF A=∠DFC,∴∠DCA=∠DFC,∴△DCF是等腰三角形.25.(10分)(2020•盐城)若二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点M(x1,0),N(x2,0)(0<x1<x2),且经过点A(0,2).过点A的直线l与x轴交于点C,与该函数的图象交于点B(异于点A).满足△ACN是等腰直角三角形,记△AMN的面积为S1,△BMN的面积为S2,且S2=52S1.(1)抛物线的开口方向上(填“上”或“下”);(2)求直线l相应的函数表达式;(3)求该二次函数的表达式.【解答】解:(1)如图,如二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴有两个交点M (x 1,0),N (x 2,0)(0<x 1<x 2),且经过点A (0,2). ∴抛物线开口向上, 故答案为:上;(2)①若∠ACN =90°,则C 与O 重合,直线l 与抛物线交于A 点, 因为直线l 与该函数的图象交于点B (异于点A ),所以不合题意,舍去; ②若∠ANC =90°,则C 在x 轴的下方,与题意不符,舍去; ③若∠CAN =90°,则∠ACN =∠ANC =45°,AO =CO =NO =2, ∴C (﹣2,0),N (2,0),设直线l 为y =kx +b ,将A (0,2)C (﹣2,0)代入得{b =2−2k +b =0,解得{k =1b =2,∴直线l 相应的函数表达式为y =x +2;(3)过B 点作BH ⊥x 轴于H , S 1=12MN ⋅OA ,S 2=12MN ⋅BH , ∵S 2=52S 1, ∴OA =52BH , ∵OA =2, ∴BH =5,即B 点的纵坐标为5,代入y =x +2中,得x =3, ∴B (3,5),将A 、B 、N 三点的坐标代入y =ax 2+bx +c 得{c =24a +2b +c =09a +3b +c =5,解得{a =2b =−5c =2,∴抛物线的解析式为y =2x 2﹣5x +2.26.(12分)(2020•盐城)木门常常需要雕刻美丽的图案.(1)图①为某矩形木门示意图,其中AB 长为200厘米,AD 长为100厘米,阴影部分是边长为30厘米的正方形雕刻模具,刻刀的位置在模具的中心点P 处,在雕刻时始终保持模具的一边紧贴木门的一边,所刻图案如虚线所示,求图案的周长;(2)如图②,对于(1)中的木门,当模具换成边长为30√3厘米的等边三角形时,刻刀的位置仍在模具的中心点P 处,雕刻时也始终保持模具的一边紧贴木门的一边,使模具进行滑动雕刻.但当模具的一个顶点与木门的一个顶点重合时,需将模具绕着重合点进行旋转雕刻,直到模具的另一边与木门的另一边重合.再滑动模具进行雕刻,如此雕刻一周,请在图②中画出雕刻所得图案的草图,并求其周长.【解答】解:(1)如图①,过点P作PE⊥CD于点E,∵点P是边长为30厘米的正方形雕刻模具的中心,∴PE=15cm,同理:A′B′与AB之间的距离为15cm,A′D′与AD之间的距离为15cm,B′C′与BC之间的距离为15cm,∴A′B′=C′D′=200﹣15﹣15=170(cm),B′C′=A′D′=100﹣15﹣15=70(cm),∴C四边形A′B′C′D′=(170+70)×2=480cm,答:图案的周长为480cm;(2)连接PE、PF、PG,过点P作PQ⊥CD于点Q,如图②∵P点是边长为30√3cm的等边三角形模具的中心,∴PE=PG=PF,∠PGF=30°,∵PQ⊥GF,∴GQ=FQ=15√3cm,∴PQ=GQ•tan30°=15cm,PG=GQcos30°=30cm,当△EFG向上平移至点G与点D重合时,由题意可得,△E′F′G′绕点D顺时针旋转30°,使得E′G′与AD边重合,∴DP′绕点D顺时针旋转30°到DP″,∴l p′p″̂=30π×30180=5πcm,同理可得其余三个角均为弧长为5πcm的圆弧,∴C=(200−30√3+100−30√3)×2+5π×4=600﹣120√3+20π(cm),答:雕刻所得图案的周长为(600﹣120√3+20π)cm.27.(14分)(2020•盐城)以下虚线框中为一个合作学习小组在一次数学实验中的过程记录,请阅读后完成虚线框下方的问题1~4.(Ⅰ)在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2√2,在探究三边关系时,通过画图,度量和计算,收集到一组数据如下表:(单位:厘米)AC 2.8 2.7 2.6 2.32 1.50.4BC0.40.8 1.2 1.62 2.4 2.8 AC+BC 3.2 3.5 3.8 3.94 3.9 3.2(Ⅱ)根据学习函数的经验,选取上表中BC和AC+BC的数据进行分析:①BC=x,AC+BC=y,以(x,y)为坐标,在图①所示的坐标系中描出对应的点:②连线:观察思考(Ⅲ)结合表中的数据以及所画的图象,猜想.当x=____时,y最大;(Ⅳ)进一步精想:若Rt△ABC中,∠C=90°,斜边AB=2a(a为常数,a>0),则BC=____时,AC+BC最大.推理证明(Ⅴ)对(Ⅳ)中的猜想进行证明.问题1,在图①中完善(Ⅱ)的描点过程,并依次连线;问题2,补全观察思考中的两个猜想:(Ⅲ)2;(Ⅳ)BC=√2a;问题3,证明上述(Ⅴ)中的猜想;问题4,图②中折线B﹣﹣E﹣﹣F﹣﹣G﹣﹣A是一个感光元件的截面设计草图,其中点A,B间的距离是4厘米,AG=BE=1厘米.∠E=∠F=∠G=90°.平行光线从AB区域射入,∠BNE=60°,线段FM、FN为感光区域,当EF的长度为多少时,感光区域长度之和最大,并求出最大值.【解答】解:问题1:函数图象如图所示:问题2:(Ⅲ)观察图象可知,x=2时,y有最大值.(Ⅳ)猜想:BC=√2a.故答案为:2,BC=√2a.问题3:设BC=x,AC﹣BC=y,在Rt△ABC中,∵∠C=90°∴AC=√AB2−BC2=√4a2−x2,∴y=x+√4a2−x2,∴y﹣x=√4a2−x2,∴y2﹣2xy+x2=4a2﹣x2,∴2x2﹣2xy+y2﹣4a2=0,∵关于x的一元二次方程有实数根,∴b2﹣4ac=4y2﹣4×2×(y2﹣4a2)≥0,∴y2≤8a2,∵y>0,a>0,∴y≤2√2a,当y=2√2a时,2x2﹣4√2ax+4a2=0∴(√2x﹣2a)2=0,∴x1=x2=√2a,∴当BC=√2a时,y有最大值.问题4:延长AM交EF的延长线于C,过点A作AH⊥EF于H,过点B作BK⊥GF于K 交AH于Q.在Rt△BNE中,∠E=90°,∠BNE=60°,BE=1cm,∴tan∠BNE=BE EN,∴NE=√33(cm),∵AM∥BN,∴∠C=60°,∵∠GFE=90°,∴∠CMF=30°,∴∠AMG=30°,∵∠G=90°,AG=1cm,∠AMG=30°,∴在Rt△AGM中,tan∠AMG=AG GM,∴GM=√3(cm),∵∠G=∠GFH=90°,∠AHF=90°,∴四边形AGFH为矩形,∴AH=FG,∵∠GFH=∠E=90°,∠BKF=90°∴四边形BKFE是矩形,∴BK=FE,∵FN+FM=EF+FG﹣EN﹣GM=BK+AH−√3 3−√3=BQ+AQ+KQ+QH−4√33=BQ+AQ+2−4√33,在Rt△ABQ中,AB=4cm,由问题3可知,当BQ=AQ=2√2cm时,AQ+BQ的值最大,∴BQ=AQ=2√2时,FN+FM的最大值为(4√2+2−4√33)cm.。

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