【例 2】 将一个四棱锥的每个顶点 染上一种颜色，并使同一条棱上的 两端异色，如果只有 5 种颜色可供 使用，求不同的涂色方法总数．
解析
本题如果将棱锥的顶点往下作投影，Байду номын сангаас者是将
四棱锥看成是可以拉伸的薄膜状表面进行拉伸，变成 平面图形(图1)，则空间图形的涂色就能变成平面图 形的涂色，继而将点扩展为平面区域，则又可变为平 面内圆形区域的涂色问题(图2)．
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【例 4】 现用 4 种颜色给三棱柱的 6 个顶点涂色， 要求同一条棱的两端点的颜色不同，4 种颜色全 部用上，问有多少种不同的涂色方案？
解析 将左侧图形拉伸为右侧图形，则中间三点不 同色，不妨为三颜色1、2、3，又4种颜色全用上， 故外围三点中一定有一点涂第4种颜色，在此情况 下从其余三色中任挑两色，另外两点都只有一种涂 法． 故共有C3A3C1C2＝216种涂法． 4 3 3 3
方法同例1，解略．有420种涂色方法．
【例 3】 用 5 种颜色给正方体 A BC D —A 1B 1C 1D 1 各 面涂色， 要求相邻两个面不同色， 现已将过顶点 A 的 3 个面涂了颜色，那么其余 3 个面涂色方法有 多少种？
解析 分三类，一是剩余三面的颜色与以A 为顶点 的三面的颜色相同，则只能涂其对面颜色，有1种 涂法，二是只有2种与所涂颜色相同，则有C2种方 3 式，另一种颜色为剩余两种颜色中的一种，故有6 种涂法，三是只有一种颜色与前面所涂相同，有C1 3 种，剩余涂为两种其它颜色，故也有6种涂法，综 上有13种．
图1
种同样颜色的花，问有多少种不同的栽种方法？ 解析 利用欧拉思想进行拉伸变形，
可使图1变形为图2，这两种图形的涂 色其实质是一样的．我们不妨用1、2、 3、4代表四种颜色，在右侧图形中，先 在1、2、3区域涂上1、2、3三种颜色， 然后依次涂第4、5、6三个区域，涂区域 4可用2、4颜色．
图2
①若区域4涂颜色2，则整个花圃有123243、123234 两种涂法． ②若区域4涂颜色4，则整个花圃有123434、 123424、123423三种涂法． 即区域1、2、3颜色确定以后，区域4、5、6有5种 涂法，所以共有不同的栽种方法为A3×5＝120种． 4
备课资讯 20 几何图形的涂色问题
空间图形的涂色问题由于其空间位置的特点， 处理问题时容易受空间想像的限制，使问题变得很 不直观，若利用欧拉定理的思想与方法，通过图形 的变换转化为平面图形的涂色问题，可使一类空间 涂色问题得以简化而使问题变得直观．下面给出几 例来看欧拉思想在涂色问题中的应用．
【例 1】 某城市在中心广场建造一个 扇环形花圃，花圃分为 6 个部分，如 右图，现要栽种 4 种不同颜色的花， 每一部分栽种一种且相邻部分不能栽