可得
r
H 0
uur
由于 H m
2m 0
以上所导出的三个静态场的基本方程表明：静态场可以用
位函数表示，而且位函数在有源区域均满足泊松方程，在
无源区域均满足拉普拉斯方程。因此，静态场的求解问题
就变成了如何求解泊松方程和拉普拉斯方程的问题。这两
个方程是二阶偏微分方程，针对具体的电磁问题，不可能
完全用数学方法求解。在介绍具体的求解方法之前，我们
ur
这时同样可以引入一个标量位函数 使得 E
根据电流连续性方程
ur J
0
及物态方程
ur ur
J E
并设电导率 为一常数（对应于均匀导电媒质），则有
r
J
(
ur
E)
()
2
0
则有 2＝0
这说明，在无源区域，恒定电场的位函数满足拉普拉斯 方程。
3、恒定磁场的位函数分布
(1) 磁场的矢量位函数
恒定磁场是有旋场，即
恒定电流的导体周围或内部不仅存在电场，而且存在
磁场，但这个磁场不随时间变化，是恒定磁场。假设导体
中的传导电流为I，电流密度为
ur J
,则有
ur
B 0
ur r
H J
r
Ñs Br Ñl H
dsr r
dl
0
s
r J
dsr
这是恒定磁场的基本方程。 另外：磁介质中的物态方程为
ur ur
B H
从以上方程可知，恒定磁场是一个旋涡场，电流是这个旋 涡场的源，磁力线是闭合的。
(2) 磁场的标量位函数
在没有电流分布的区域内，恒定磁场的基本方程变为
uur
ur
H 0 B0
这样，在无源区域内，磁场也成了无旋场，具有位场的性
质，因此，象静电场一样，我们可以引入一个标量函数，
即标量磁位函数 m
即令
uur
H m
注意：标量磁位的定义只是在无源区才能应用。
r
rr
当媒质是均匀、线性和各项同性时，由 B 0 和 B H
ur
ur B
r
J
,但它却是无散场，
即 B 0
引入一个矢量磁位
r A
后，由于
ur r
B＝ A
，可得
ur
A
(
ur
A)
2
ur
A
r
J
ur
人为规定 A 0
这个规定被称为库仑规范
于是有
2
r A
r J
此式即为矢量磁位的泊松方程。
r
在没有电流的区域 J 0 ,
2
r A
0
所以有
此式即为矢量磁位 的拉普拉斯方程
J E
2 0
rr I s J d s
ur
ur r
D
ur
E 0
Ñ s uDr
ds r
v
dv
q
Ñl E dl 0
上式表明：静电场中的旋度为0，即静电场中的电场不可 能由旋涡源产生；电荷是产生电场的通量源。
静电场是一个有源无旋场，所以静电场可用电位函数来描
述，即
ur
E
另外：电介质的物态方程为
ur ur
D E
2、恒定电场的基本方程 载有恒定电流的导体内部及其周围介质中产生的电场， 即为恒定电场。当导体中有电流时，由于导体电阻的存在， 要在导体中维持恒定电流，必须依靠外部电源提供能量， 其电源内部的电场也是恒定的。
有了对偶原理后，我们就能把某种场的分析计算结果， 直接推广到其对偶的场中，这也是求解电磁场的一种方法。
1、ρ=0区域的静电场与电源外区域的恒定电场的对偶
静电场
ur
E 0
ur
E uur
D 0 uur ur
D E
2 0
uur r
q Ñs D d s
恒定电场
ur
E 0
ur
E r
ur J ur0
由上述方程组可知，静态场与时变场最基本的区别在于静 态场的电场和磁场是彼此独立存在的，即电场只由电荷产 生，磁场只由电流产生。没有变化的磁场，也没有变化的 电场。既然如此，我们就可以分别写出静电场、恒定电场 和恒定磁场的基本方程。
1、静电场的基本方程
静电场是静止电荷或静止带电体产生的场，其基本方
程为
要先介绍几个重要的基本原理，这些原理将成为以后求解
方程的理论依据。
5.2 对偶原理
如果描述两种物理现象的方程具有相同的数学形式， 并且有相似的边界条件或对应的边界条件，那么它们的数 学解的形式也将是相同的，这就是对偶原理。具有同样数 学形式的两个方程称为对偶性方程，在对偶性方程中，处 于同等地位的量称为对偶量。
在直角坐标系中
2 2 2 2
x2 y2 z2
在圆柱坐标系中
2
1 r
r
(r
)
r
1 r2
2 2
2
z 2
在球坐标系中
2 1 (R2 ) 1 (sin ) 1 2
R2 R R R2 sin
R2 sin2 2
2、恒定电场的位函数
ur 在无源区域，恒定电场是一个位场，即有 E 0
2
上式即为在有电荷分布的区域内，或者说在有“源”的区
域内，静电场的电位函数所满足的方程，我们将这种形式
的方程称为
泊松方程。
如果场中某处有ρ=0，即在无源区域，则上式变为
2 0
我们将这种形式的方程称为
拉普拉斯方程。它
是在不存在电荷的区域内，电位函数 应满足的方程。
拉普拉斯算符 2 在不同的坐标系中有不同的表达形式：
若闭合路径不经过电源，则：
rr
Ñl E dl 0
rr
Ñs J ds 0
这是恒定电场在无源区的基方程积分形式，其微分形式为
ur
r
E 0
J 0
另外：导体中的物态方程为
ur ur
J E
从以上分析可知，恒定电场的无源区域也是一个位场，也
可用一个标量函数来描述。
ur
E
3、恒定磁场的基本方程
5.1.2 泊松方程和拉普拉斯方程
1、静电场的位函数
静电场既然是一个位场，就可以用一个标量函数
的梯度来表示它:
即
ur
E
式中的标量函数 称为
电位函数。
对于均匀、线性、各向同性的介质，ε为常数
所以有
uur
ur
ur
D ( E) E
()
即
2
静电场的位函数 满足的
泊松方程。
重点：
1. 静电场、恒定电场 、恒定磁场的基本方程
2. 静态场的位函数方程 3. 求解静态场位函数方程的方法所依据的理论 ： 4. 镜像对法偶、原分理离、变叠量加法原理、、格唯林一函性数定法理、
有限差分法
5.1 泊松方程和拉普拉斯方程
5.1.1 静态场中的麦克斯韦方程组
对于静态场，各场量只是空间坐标的函数，并不随时
间而变化，即与时间t无关。因此 ，静态场的麦克斯韦方
程组为： uur
D
ur E 0
ur B 0
uur ur H J
电流连续性方程为：
ur r
Ñ s uDr
ds r
v
dv
Ñl Eur
d
l r
0
Ñ s uBur
d
s r
0
ur
r
Ñl H dl s J d s
r
ur r
J 0 Ñs Jd s0