信号与系统 · 习题解答
第1页
信号 与 系统
Signals
and
Systems
2006
信号分析与信息处理教学中心
5
第五章 离散信号与系统的时域分析
习 题 解 答
信号与系统 · 习题解答
第3页
⎧0 k < 0 ⎧ 0 5-2 已知序列 f1 (k ) = ⎨ ，f 2 (k ) = ⎨ k −1 ⎩k k ≥ 0 ⎩2
⎧C1 = 0 解得 C1 = 0 ， ⎪ 2 ⎨ 2 2 C2 = ⎪2[C1 cos 3 π + C2 sin 3 π ] = 2 3 ⎩
2 2 sin kπ 所以 yzi (k ) = 2 ⋅ 3 3
k
k ≥0
信号与系统 · 习题解答
第19页
5-15 试求下列差分方程的单位函数响应 （1） y (k + 2) + 3 y (k + 1) + 2 y (k ) = x(k + 1) + x(k )
1
x(k )
∑
q(k + 3)
D
q(k + 2)
D
q(k +1)
D
q(k )
2
∑
y(k )
1
−1
信号与系统 · 习题解答
第13页
5-23 设离散系统x(k)表示激励，y(k) 表示响应。试判 断下列离散系统是否是线性系统，是否是时不 变系统？
解： (1) y (k ) = 2 x (k ) + 3
第12页
5-12 试画出下列离散时间系统的模拟图。 (3) y ( k + 3) − y ( k + 2) + y ( k + 1) = x ( k + 2) + 2 x ( k )
解：引入辅助函数q(k)，使
q(k + 3) − q(k + 2) + q(k + 1) = x(k )
即 q(k + 3) = x(k ) + q(k + 2) − q(k + 1) 则 y (k ) = q(k + 2) + 2q(k )
f (k −2)
3 1 2 6 1 4
解： （2） f ( k − 2)
0 k <1 ⎧ = ⎨ −( k − 2) + 3( k − 2) k ≥ 1 ⎩2
1
−1 0 1
2 −1
L
3 4 k
信号与系统 · 习题解答
第7页
解： （5）
0 − k − 2 < −1 ⎧ f ( − k − 2) = ⎨ − ( − k − 2 ) + 3(− k − 2) − k − 2 ≥ −1 ⎩2 0 k > −1 ⎧ = ⎨ k +2 ⎩2 − 3(k + 2) k ≤ −1
1 1 2 4 2 1 −1 0 1
2
L
3
4
k
f2(k +1)
L
3 k
信号与系统 · 习题解答
第4页
改写为：
k <0 ⎧0 ⎧ 0 ⎪ ⎪ f1 (k − 1) = ⎨ 0 k = 0 ， f 2 (k + 1) = ⎨ 1 ⎪2 k ⎪k − 1 k ≥ 1 ⎩ ⎩
f1(k −1) + f2(k +1)
Δ f (k )
1 23 2 4 2
L
2
−2
−1 0
1
−1
k
信号与系统 · 习题解答
第9页
5-6 判断以下序列是否为周期序列，如果是周期序 列，试确定其周期。 3 2 −∞<k <∞ （1） f1 ( k ) = A cos( πk + π ) 7 3 k
−∞<k <∞ （2） f 2 (k ) = e 2π 14 N 3 = = 是有理数， （1）Ω 0 = π ， 解： Ω0 3 M 7 所以 f1 (k)是周期序列，周期 N=14。
信号与系统 · 习题解答
第18页
考虑到A1、A2也是一对共轭复数，设A1 + A2 = C1为 实数， j(A1 - A2 )= C2为实数，有 2 2 k yzi ( k ) = 2 [C1 cos kπ + C2 sin kπ ] 3 3 代入初始条件 yzi (0) = 0 ，yzi (1) = 2 ，有
信号与系统 · 习题解答
第11页
5-8 试用单位阶跃序列表示图示离散信号。 (b) f (k)
2
3
2
1 −2 −1 0 1 2 3
4 5
6
−1
k
解：f 2 (k ) = ε (k + 2) + ε (k ) + ε (k − 2) − 4ε (k − 4) + ε (k − 6)
信号与系统 · 习题解答
= (1 − 1)δ (k ) + [−(−1) k −1 − (−2)(−2) k −1 ]ε (k − 1) + [(−1) k −1 − (−2) k −1 ]ε (k − 1) = (−2) k −1 ε (k − 1)
0
f1(k −1)
1 1 2 4 2 1 −1 0 1
2
L
3
4
k
f2(k +1)
L
3 k
16
f1(k −1)⋅ f2(k +1)
4
L
−1 0 1
2
3
k
信号与系统 · 习题解答
第6页
5-3 已知序列
0 ⎧ f (k ) = ⎨ −k ⎩2 + 3k
k < −1 k ≥ −1
试分别写出下列各序列的表达式，并绘出其图形。 （2）f (k-2) （5） f (-k-2) （6）Δf (k)
6 1 4
3
f (−k −2)
1 2
L
1
0 −1
1
− 4 − 3 − 2 −1
k
信号与系统 · 习题解答
第8页
（6） Δf (k ) = 解：
f ( k + 1) − f ( k ) k + 1 < −1 ⎧ 0 −⎨ −k k + 1 ≥ −1 ⎩2 + 3k k < −2 ⎧ 0 −⎨ −k k ≥ −2 ⎩2 + 3k k < −1 k ≥ −1
解： 特征方程为 r + 3r + 2 = 0
2
特征根 r1=-1，r2=-2 求差分方程 有
y ( k + 2) + 3 y ( k + 1) + 2 y ( k ) = x ( k )
对应的冲激响应 h0(k) ：
h0 (k ) = A1( −1)k + A2 ( −2)k
k >0
由差分方程知 h0 (1) = 0 所以
信号与系统 · 习题解答
第17页
y y （3）y ( k ) + 2 y ( k − 1) + 4 y ( k − 2) = 0 ，zi (0) = 0， zi (1) = 2。 2 特征方程为 r + 2 r + 4 = 0 解： r2 = −1 − 3 j r1 = −1 + 3 j 特征根为
k <1 ， k ≥1
求下列各序列的表达式。 （3）f1 (k − 1) + f 2 (k + 1) 解：由 f1(k)、f2(k)的定义得
k <1 ⎧ 0 f 1 (k − 1) = ⎨ ⎩k − 1 k ≥ 1 ⎧0 f 2 (k + 1) = ⎨ k ⎩2 k <0 k ≥0
0
f1(k −1)
⎧ A1 + A2 = 2 ⎨ ⎩− A1 − 2 A2 = 1
k
解得 A1 = 5 ，A2 = −3
k
因此 yzi (k ) = 5( −1) − 3( −2)
k ≥0
信号与系统 · 习题解答
第16页
（2）y ( k + 3) + 3 y ( k + 2) − 4 y ( k ) = 0 yzi (0) = 1 ， yzi (1) = 2 ， yzi (2) = 0 ， 特征方程为 r 3 + 3r 2 − 4 = 0 ， 解： 特征根为 r1=1，r2=-2，r3 =-2 yzi ( k ) = A1 + ( A2 + A3 k )( −2) k 所以
y 代入初始条件 yzi (0) = 1， zi (1) = 2 ，yzi (2) = 0 ，有 1 4 ⎧ A1 + A2 = 1 A2 = − 解得：A1 = ⎪ 3 3 A1 + ( A2 + A3 )( −2) = 2 ⎨ ⎪A + (A + 2A ) ⋅ 4 = 0 A3 = 0 2 3 ⎩ 1 4 1 k k ≥0 因此 yzi ( k ) = − (−2) 3 3
0 ⎧ = ⎨ −( k +1) + 3(k + 1) ⎩2 0 ⎧ = ⎨ −( k +1) + 3( k + 1) ⎩2
k < −1 k ≥ −1 k < −2 k = −2 k ≥ −1
2
k < −2 ⎧ 0 0 ⎧ ⎪ ⎪ k = −2 − ⎨ 0 =⎨ −1 ⎪2 −( k +1) + 3( k + 1) k ≥ −1 ⎪2 − k + 3k ⎩ ⎩ 0 k < −2 ⎧ ⎪ k = −2 =⎨ −1 ⎪− 2 −( k +1) + 3 k ≥ −1 ⎩