利用复化梯形公式、
复化simpson 公式
计算积分
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2
实验目的或要
求

1、利用复化梯形公式、复化simpson 公式计算积分

2、比较计算误差与实际误差

实
验
原
理
（
算
法
流
程
图
或
者
含
注
释
的
源
代
码
）

取n=2,3,…,10分别利用复化梯形公式、复化simpson 公式计算积分
1
2

0
Ixdx


，并与真值进行比较，并画出计算误差与实际误差之间的曲

线。

利用复化梯形公式的程序代码如下：
function f=fx(x)
f=x.^2; ％首先建立被积函数，以便于计算真实值。

a=0; ％积分下线
b=1; ％积分上线
T=[]; ％用来装不同n值所计算出的结果
for n=2:10;
h=(b-a)/n; ％步长
x=zeros(1,n+1); ％给节点定初值
for i=1:n+1
x(i)=a+(i-1)*h; ％给节点赋值
end
y=x.^2; ％给相应节点处的函数值赋值
t=0;
for i=1:n
t=t+h/2*(y(i)+y(i+1)); ％利用复化梯形公式求值
end
T=[T,t]; ％把不同n值所计算出的结果装入 T中
end
R=ones(1,9)*(-(b-a)/12*h.^ 2*2); ％积分余项（计算误差）
true=quad(@fx,0,1); ％积分的真实值
A=T-true; ％计算的值与真实值之差（实际误差）
x=linspace(0,1,9);
plot(x,A,'r',x,R,'*') ％将计算误差与实际误差用图像画出来

注：由于被积函数是x.^2，它的二阶倒数为2，所以积分余项为：(-(b-
a)/12*h.^ 2*2)
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3
实
验
原
理
（
算
法
流
程
图
或
者
含
注
释
的
源
代
码
）

利用复化simpson 公式的程序代码如下：
同样首先建立被积函数的函数文件：
function f=fx1(x)
f=x.^4;

a=0; ％积分下线
b=1; ％积分上线
T=[]; ％用来装不同n值所计算出的结果
for n=2:10
h=(b-a)/(2*n); ％步长
x=zeros(1,2*n+1); ％给节点定初值
for i=1:2*n+1
x(i)=a+(i-1)*h; ％给节点赋值
end
y=x.^4; ％给相应节点处的函数值赋值
t=0;
for i=1:n
t=t+h/3*(y(2*i-1)+4*y(2*i)+y(2*i+1)); ％利用复化simpson公式求值
end
T=[T,t] ; ％把不同n值所计算出的结果装入 T中
end
R=ones(1,9)*(-(b-a)/180*((b-a)/2).^4*24) ; ％积分余项（计算误差）
true=quad(@fx1,0,1); ％积分的真实值
A=T-true; ％计算的值与真实值之差（实际误差）
x=linspace(0,1,9);
plot(x,A,'r',x,R,'*')
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法二：
a=0;
b=1;
T=[];
for n=2:10
h=(b-a)/(2*n);
x=zeros(1,2*n+1);
for i=1:2*n+1
x(i)=a+(i-1)*h;
end
y=x.^4;
t=y(1)+y(2*n+1);
for i=1:n
t=t+4*y(2*i)+2*y(2*i-1);
end
T=[T,h/3*t];
end
true=quad(@fx1,0,1);
A=T-true;
x=linspace(0,1,9);
plot(x,A)
此法与第一种一样，只是所用的表达式不同。

注：由于被积函数是x.^4，它的四阶倒数是24，所以它的积分余项是：
(-(b-a)/180*((b-a)/2).^4*24)
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5
实
验
结
果
分
析
及
心
得
体
会

上图是利用复化梯形公式所画出的误差。其中：红线是计算误差，‘＊’
号是实际误差。-0.0017是计算误差。0.0417、0.0185、0.0104、0.0067
0.0046、0.0034、0.0026、0.0021、0.0017是n值分别为2到10的实际
误差。

上图是利用复化simpson公式所画出的误差。其中：红线是计算误
差，‘＊’号是实际误差。
注：纵轴是0.0001。
0.5208、0.1029、0.0326、0.0133、0.0064、0.0035、0.0020、0.0013、
0.0008是n值分别为2到10的实际误差，-0.0083是计算误差。

成
绩
评
定
教师签名：

年 月 日